MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthaus Unicode version

Theorem ordthaus 17112
Description: The order topology of a total order is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordthaus  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Haus )

Proof of Theorem ordthaus
Dummy variables  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . 6  |-  dom  R  =  dom  R
21ordthauslem 17111 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  dom  R  /\  y  e.  dom  R )  -> 
( x R y  ->  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
31ordthauslem 17111 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  y  e.  dom  R  /\  x  e.  dom  R )  -> 
( y R x  ->  ( y  =/=  x  ->  E. n  e.  (ordTop `  R ) E. m  e.  (ordTop `  R ) ( y  e.  n  /\  x  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) ) )
4 necom 2527 . . . . . . . 8  |-  ( y  =/=  x  <->  x  =/=  y )
5 3ancoma 941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  n  /\  x  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
6 incom 3361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  i^i  m )  =  ( m  i^i  n
)
76eqeq1i 2290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  i^i  m )  =  (/)  <->  ( m  i^i  n )  =  (/) )
873anbi3i 1144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
95, 8bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  n  /\  x  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
1092rexbii 2570 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  (ordTop `  R ) E. m  e.  (ordTop `  R )
( y  e.  n  /\  x  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  E. n  e.  (ordTop `  R ) E. m  e.  (ordTop `  R ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
11 rexcom 2701 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  (ordTop `  R ) E. m  e.  (ordTop `  R )
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
1210, 11bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  (ordTop `  R ) E. m  e.  (ordTop `  R )
( y  e.  n  /\  x  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
134, 12imbi12i 316 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =/=  x  ->  E. n  e.  (ordTop `  R ) E. m  e.  (ordTop `  R )
( y  e.  n  /\  x  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )  <-> 
( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
143, 13syl6ib 217 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  y  e.  dom  R  /\  x  e.  dom  R )  -> 
( y R x  ->  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
15143com23 1157 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  dom  R  /\  y  e.  dom  R )  -> 
( y R x  ->  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
161tsrlin 14328 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  dom  R  /\  y  e.  dom  R )  -> 
( x R y  \/  y R x ) )
172, 15, 16mpjaod 370 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  dom  R  /\  y  e.  dom  R )  -> 
( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
18173expb 1152 . . 3  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
x  e.  dom  R  /\  y  e.  dom  R ) )  ->  (
x  =/=  y  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
1918ralrimivva 2635 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
201ordttopon 16923 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R ) )
21 ishaus2 17079 . . 3  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R )  -> 
( (ordTop `  R
)  e.  Haus  <->  A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
2220, 21syl 15 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( (ordTop `  R )  e.  Haus  <->  A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
2319, 22mpbird 223 1  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Haus )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ` cfv 5255  ordTopcordt 13398    TosetRel ctsr 14302  TopOnctopon 16632   Hauscha 17036
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  18339  xrhaus  23257  xrge0haus  23326  xrge0tsmsd  23382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-ordt 13402  df-ps 14306  df-tsr 14307  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-haus 17043
  Copyright terms: Public domain W3C validator