MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthaus Structured version   Unicode version

Theorem ordthaus 17453
Description: The order topology of a total order is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordthaus  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Haus )

Proof of Theorem ordthaus
Dummy variables  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . . 6  |-  dom  R  =  dom  R
21ordthauslem 17452 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  dom  R  /\  y  e.  dom  R )  -> 
( x R y  ->  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
31ordthauslem 17452 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  y  e.  dom  R  /\  x  e.  dom  R )  -> 
( y R x  ->  ( y  =/=  x  ->  E. n  e.  (ordTop `  R ) E. m  e.  (ordTop `  R ) ( y  e.  n  /\  x  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) ) )
4 necom 2687 . . . . . . . 8  |-  ( y  =/=  x  <->  x  =/=  y )
5 3ancoma 944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  n  /\  x  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
6 incom 3535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  i^i  m )  =  ( m  i^i  n
)
76eqeq1i 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  i^i  m )  =  (/)  <->  ( m  i^i  n )  =  (/) )
873anbi3i 1147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
95, 8bitri 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  n  /\  x  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
1092rexbii 2734 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  (ordTop `  R ) E. m  e.  (ordTop `  R )
( y  e.  n  /\  x  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  E. n  e.  (ordTop `  R ) E. m  e.  (ordTop `  R ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
11 rexcom 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  (ordTop `  R ) E. m  e.  (ordTop `  R )
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
1210, 11bitri 242 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  (ordTop `  R ) E. m  e.  (ordTop `  R )
( y  e.  n  /\  x  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
134, 12imbi12i 318 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =/=  x  ->  E. n  e.  (ordTop `  R ) E. m  e.  (ordTop `  R )
( y  e.  n  /\  x  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )  <-> 
( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
143, 13syl6ib 219 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  y  e.  dom  R  /\  x  e.  dom  R )  -> 
( y R x  ->  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
15143com23 1160 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  dom  R  /\  y  e.  dom  R )  -> 
( y R x  ->  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
161tsrlin 14656 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  dom  R  /\  y  e.  dom  R )  -> 
( x R y  \/  y R x ) )
172, 15, 16mpjaod 372 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  dom  R  /\  y  e.  dom  R )  -> 
( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
18173expb 1155 . . 3  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
x  e.  dom  R  /\  y  e.  dom  R ) )  ->  (
x  =/=  y  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
1918ralrimivva 2800 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
201ordttopon 17262 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R ) )
21 ishaus2 17420 . . 3  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R )  -> 
( (ordTop `  R
)  e.  Haus  <->  A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
2220, 21syl 16 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( (ordTop `  R )  e.  Haus  <->  A. x  e.  dom  R A. y  e.  dom  R ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
2319, 22mpbird 225 1  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Haus )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    i^i cin 3321   (/)c0 3630   class class class wbr 4215   dom cdm 4881   ` cfv 5457  ordTopcordt 13726    TosetRel ctsr 14630  TopOnctopon 16964   Hauscha 17377
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  18870  xrhaus  24133  xrge0tsmsd  24228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-fin 7116  df-fi 7419  df-topgen 13672  df-ordt 13730  df-ps 14634  df-tsr 14635  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-haus 17384
  Copyright terms: Public domain W3C validator