Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthaus Structured version   Unicode version

Theorem ordthaus 17453
 Description: The order topology of a total order is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordthaus ordTop

Proof of Theorem ordthaus
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . . 6
21ordthauslem 17452 . . . . 5 ordTop ordTop
31ordthauslem 17452 . . . . . . 7 ordTop ordTop
4 necom 2687 . . . . . . . 8
5 3ancoma 944 . . . . . . . . . . 11
6 incom 3535 . . . . . . . . . . . . 13
76eqeq1i 2445 . . . . . . . . . . . 12
873anbi3i 1147 . . . . . . . . . . 11
95, 8bitri 242 . . . . . . . . . 10
1092rexbii 2734 . . . . . . . . 9 ordTop ordTop ordTop ordTop
11 rexcom 2871 . . . . . . . . 9 ordTop ordTop ordTop ordTop
1210, 11bitri 242 . . . . . . . 8 ordTop ordTop ordTop ordTop
134, 12imbi12i 318 . . . . . . 7 ordTop ordTop ordTop ordTop
143, 13syl6ib 219 . . . . . 6 ordTop ordTop
15143com23 1160 . . . . 5 ordTop ordTop
161tsrlin 14656 . . . . 5
172, 15, 16mpjaod 372 . . . 4 ordTop ordTop
18173expb 1155 . . 3 ordTop ordTop
1918ralrimivva 2800 . 2 ordTop ordTop
201ordttopon 17262 . . 3 ordTop TopOn
21 ishaus2 17420 . . 3 ordTop TopOn ordTop ordTop ordTop
2220, 21syl 16 . 2 ordTop ordTop ordTop
2319, 22mpbird 225 1 ordTop
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708   cin 3321  c0 3630   class class class wbr 4215   cdm 4881  cfv 5457  ordTopcordt 13726   ctsr 14630  TopOnctopon 16964  cha 17377 This theorem is referenced by:  xrge0tsms  18870  xrhaus  24133  xrge0tsmsd  24228 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-fin 7116  df-fi 7419  df-topgen 13672  df-ordt 13730  df-ps 14634  df-tsr 14635  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-haus 17384
 Copyright terms: Public domain W3C validator