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Theorem ordthauslem 17111
Description: Lemma for ordthaus 17112. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordthauslem.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
ordthauslem  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A R B  ->  ( A  =/=  B  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n, A    B, m, n    R, m, n    m, X, n

Proof of Theorem ordthauslem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 994 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  R  e.  TosetRel  )
2 simpll3 996 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  B  e.  X )
3 ordthauslem.1 . . . . . . 7  |-  X  =  dom  R
43ordtopn2 16925 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  B R x }  e.  (ordTop `  R ) )
51, 2, 4syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  { x  e.  X  |  -.  B R x }  e.  (ordTop `  R ) )
6 simpll2 995 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  A  e.  X )
73ordtopn1 16924 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R A }  e.  (ordTop `  R ) )
81, 6, 7syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R A }  e.  (ordTop `  R ) )
9 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  A  =/=  B )
10 simpl1 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  R  e. 
TosetRel  )
11 tsrps 14330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  R  e.  PosetRel )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  R  e. 
PosetRel )
13 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  A R B )
14 psasym 14319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R B  /\  B R A )  ->  A  =  B )
15143expia 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R B )  ->  ( B R A  ->  A  =  B ) )
1612, 13, 15syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( B R A  ->  A  =  B ) )
1716necon3ad 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( A  =/=  B  ->  -.  B R A ) )
189, 17mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  -.  B R A )
1918adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  -.  B R A )
20 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( B R x  <->  B R A ) )
2120notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( -.  B R x  <->  -.  B R A ) )
2221elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { x  e.  X  |  -.  B R x }  <->  ( A  e.  X  /\  -.  B R A ) )
236, 19, 22sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  A  e.  { x  e.  X  |  -.  B R x }
)
24 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
x R A  <->  B R A ) )
2524notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  ( -.  x R A  <->  -.  B R A ) )
2625elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }  <->  ( B  e.  X  /\  -.  B R A ) )
272, 19, 26sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }
)
28 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  { x  e.  X  |  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )
29 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( m  =  { x  e.  X  |  -.  B R x }  ->  ( A  e.  m  <->  A  e.  { x  e.  X  |  -.  B R x }
) )
30 ineq1 3363 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  { x  e.  X  |  -.  B R x }  ->  ( m  i^i  n )  =  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n ) )
3130eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( m  =  { x  e.  X  |  -.  B R x }  ->  ( ( m  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( {
x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  (/) ) )
3229, 313anbi13d 1254 . . . . . 6  |-  ( m  =  { x  e.  X  |  -.  B R x }  ->  ( ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( A  e.  { x  e.  X  |  -.  B R x }  /\  B  e.  n  /\  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  (/) ) ) )
33 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  ( B  e.  n  <->  B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }
) )
34 ineq2 3364 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  { x  e.  X  |  -.  x R A }
) )
35 inrab 3440 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  { x  e.  X  |  -.  x R A } )  =  {
x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }
3634, 35syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  { x  e.  X  |  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) } )
3736eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  (
( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  (/)  <->  {
x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) ) )
3833, 373anbi23d 1255 . . . . . 6  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  (
( A  e.  {
x  e.  X  |  -.  B R x }  /\  B  e.  n  /\  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  (/) ) 
<->  ( A  e.  {
x  e.  X  |  -.  B R x }  /\  B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) ) ) )
3932, 38rspc2ev 2892 . . . . 5  |-  ( ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  e.  (ordTop `  R )  /\  {
x  e.  X  |  -.  x R A }  e.  (ordTop `  R )  /\  ( A  e.  {
x  e.  X  |  -.  B R x }  /\  B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) ) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
405, 8, 23, 27, 28, 39syl113anc 1194 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
4140ex 423 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( { x  e.  X  |  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) 
->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
42 rabn0 3474 . . . 4  |-  ( { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  X  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) )
43 simpll1 994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  R  e.  TosetRel  )
44 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  x  e.  X
)
453ordtopn2 16925 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  (ordTop `  R ) )
4643, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  (ordTop `  R ) )
473ordtopn1 16924 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  (ordTop `  R ) )
4843, 44, 47syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  (ordTop `  R ) )
49 simpll2 995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  A  e.  X
)
50 simprrr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  -.  x R A )
51 breq2 4027 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
x R y  <->  x R A ) )
5251notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x R A ) )
5352elrab 2923 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  { y  e.  X  |  -.  x R y }  <->  ( A  e.  X  /\  -.  x R A ) )
5449, 50, 53sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  A  e.  {
y  e.  X  |  -.  x R y } )
55 simpll3 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  B  e.  X
)
56 simprrl 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  -.  B R x )
57 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
y R x  <->  B R x ) )
5857notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( -.  y R x  <->  -.  B R x ) )
5958elrab 2923 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  { y  e.  X  |  -.  y R x }  <->  ( B  e.  X  /\  -.  B R x ) )
6055, 56, 59sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  B  e.  {
y  e.  X  |  -.  y R x }
)
6143, 44jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  ( R  e.  TosetRel 
/\  x  e.  X
) )
623tsrlin 14328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x R y  \/  y R x ) )
63623expa 1151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x R y  \/  y R x ) )
6461, 63sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x R y  \/  y R x ) )
65 oran 482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x R y  \/  y R x )  <->  -.  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) )
6664, 65sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  /\  y  e.  X
)  ->  -.  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) )
6766ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  A. y  e.  X  -.  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) )
68 rabeq0 3476 . . . . . . . 8  |-  ( { y  e.  X  | 
( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/)  <->  A. y  e.  X  -.  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) )
6967, 68sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/) )
70 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  { y  e.  X  |  -.  x R y }  ->  ( A  e.  m  <->  A  e.  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
71 ineq1 3363 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  { y  e.  X  |  -.  x R y }  ->  ( m  i^i  n )  =  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n ) )
7271eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  { y  e.  X  |  -.  x R y }  ->  ( ( m  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( {
y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  (/) ) )
7370, 723anbi13d 1254 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  { y  e.  X  |  -.  x R y }  ->  ( ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( A  e.  { y  e.  X  |  -.  x R y }  /\  B  e.  n  /\  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  (/) ) ) )
74 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( B  e.  n  <->  B  e.  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) )
75 ineq2 3364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) )
76 inrab 3440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }
7775, 76syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) } )
7877eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  (/)  <->  {
y  e.  X  | 
( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/) ) )
7974, 783anbi23d 1255 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( ( A  e.  {
y  e.  X  |  -.  x R y }  /\  B  e.  n  /\  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  (/) ) 
<->  ( A  e.  {
y  e.  X  |  -.  x R y }  /\  B  e.  {
y  e.  X  |  -.  y R x }  /\  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/) ) ) )
8073, 79rspc2ev 2892 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  (ordTop `  R )  /\  {
y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  (ordTop `  R )  /\  ( A  e.  {
y  e.  X  |  -.  x R y }  /\  B  e.  {
y  e.  X  |  -.  y R x }  /\  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/) ) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
8146, 48, 54, 60, 69, 80syl113anc 1194 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
8281expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( -.  B R x  /\  -.  x R A )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
8382rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( E. x  e.  X  ( -.  B R x  /\  -.  x R A )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
8442, 83syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( { x  e.  X  |  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =/=  (/) 
->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
8541, 84pm2.61dne 2523 . 2  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
8685exp32 588 1  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A R B  ->  ( A  =/=  B  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    i^i cin 3151   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ` cfv 5255  ordTopcordt 13398   PosetRelcps 14301    TosetRel ctsr 14302
This theorem is referenced by:  ordthaus  17112
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-ordt 13402  df-ps 14306  df-tsr 14307  df-bases 16638
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