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Theorem ordthauslem 17447
Description: Lemma for ordthaus 17448. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordthauslem.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
ordthauslem  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A R B  ->  ( A  =/=  B  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n, A    B, m, n    R, m, n    m, X, n

Proof of Theorem ordthauslem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 996 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  R  e.  TosetRel  )
2 simpll3 998 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  B  e.  X )
3 ordthauslem.1 . . . . . . 7  |-  X  =  dom  R
43ordtopn2 17259 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  B R x }  e.  (ordTop `  R ) )
51, 2, 4syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  { x  e.  X  |  -.  B R x }  e.  (ordTop `  R ) )
6 simpll2 997 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  A  e.  X )
73ordtopn1 17258 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R A }  e.  (ordTop `  R ) )
81, 6, 7syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R A }  e.  (ordTop `  R ) )
9 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  A  =/=  B )
10 simpl1 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  R  e. 
TosetRel  )
11 tsrps 14653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  R  e.  PosetRel )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  R  e. 
PosetRel )
13 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  A R B )
14 psasym 14642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R B  /\  B R A )  ->  A  =  B )
15143expia 1155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R B )  ->  ( B R A  ->  A  =  B ) )
1612, 13, 15syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( B R A  ->  A  =  B ) )
1716necon3ad 2637 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( A  =/=  B  ->  -.  B R A ) )
189, 17mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  -.  B R A )
1918adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  -.  B R A )
20 breq2 4216 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( B R x  <->  B R A ) )
2120notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( -.  B R x  <->  -.  B R A ) )
2221elrab 3092 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { x  e.  X  |  -.  B R x }  <->  ( A  e.  X  /\  -.  B R A ) )
236, 19, 22sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  A  e.  { x  e.  X  |  -.  B R x }
)
24 breq1 4215 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
x R A  <->  B R A ) )
2524notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  ( -.  x R A  <->  -.  B R A ) )
2625elrab 3092 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }  <->  ( B  e.  X  /\  -.  B R A ) )
272, 19, 26sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }
)
28 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  { x  e.  X  |  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )
29 eleq2 2497 . . . . . . 7  |-  ( m  =  { x  e.  X  |  -.  B R x }  ->  ( A  e.  m  <->  A  e.  { x  e.  X  |  -.  B R x }
) )
30 ineq1 3535 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  { x  e.  X  |  -.  B R x }  ->  ( m  i^i  n )  =  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n ) )
3130eqeq1d 2444 . . . . . . 7  |-  ( m  =  { x  e.  X  |  -.  B R x }  ->  ( ( m  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( {
x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  (/) ) )
3229, 313anbi13d 1256 . . . . . 6  |-  ( m  =  { x  e.  X  |  -.  B R x }  ->  ( ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( A  e.  { x  e.  X  |  -.  B R x }  /\  B  e.  n  /\  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  (/) ) ) )
33 eleq2 2497 . . . . . . 7  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  ( B  e.  n  <->  B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }
) )
34 ineq2 3536 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  { x  e.  X  |  -.  x R A }
) )
35 inrab 3613 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  { x  e.  X  |  -.  x R A } )  =  {
x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }
3634, 35syl6eq 2484 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  { x  e.  X  |  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) } )
3736eqeq1d 2444 . . . . . . 7  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  (
( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  (/)  <->  {
x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) ) )
3833, 373anbi23d 1257 . . . . . 6  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  (
( A  e.  {
x  e.  X  |  -.  B R x }  /\  B  e.  n  /\  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  (/) ) 
<->  ( A  e.  {
x  e.  X  |  -.  B R x }  /\  B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) ) ) )
3932, 38rspc2ev 3060 . . . . 5  |-  ( ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  e.  (ordTop `  R )  /\  {
x  e.  X  |  -.  x R A }  e.  (ordTop `  R )  /\  ( A  e.  {
x  e.  X  |  -.  B R x }  /\  B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) ) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
405, 8, 23, 27, 28, 39syl113anc 1196 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
4140ex 424 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( { x  e.  X  |  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) 
->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
42 rabn0 3647 . . . 4  |-  ( { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  X  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) )
43 simpll1 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  R  e.  TosetRel  )
44 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  x  e.  X
)
453ordtopn2 17259 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  (ordTop `  R ) )
4643, 44, 45syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  (ordTop `  R ) )
473ordtopn1 17258 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  (ordTop `  R ) )
4843, 44, 47syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  (ordTop `  R ) )
49 simpll2 997 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  A  e.  X
)
50 simprrr 742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  -.  x R A )
51 breq2 4216 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
x R y  <->  x R A ) )
5251notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x R A ) )
5352elrab 3092 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  { y  e.  X  |  -.  x R y }  <->  ( A  e.  X  /\  -.  x R A ) )
5449, 50, 53sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  A  e.  {
y  e.  X  |  -.  x R y } )
55 simpll3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  B  e.  X
)
56 simprrl 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  -.  B R x )
57 breq1 4215 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
y R x  <->  B R x ) )
5857notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  ( -.  y R x  <->  -.  B R x ) )
5958elrab 3092 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  { y  e.  X  |  -.  y R x }  <->  ( B  e.  X  /\  -.  B R x ) )
6055, 56, 59sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  B  e.  {
y  e.  X  |  -.  y R x }
)
6143, 44jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  ( R  e.  TosetRel 
/\  x  e.  X
) )
623tsrlin 14651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x R y  \/  y R x ) )
63623expa 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x R y  \/  y R x ) )
6461, 63sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x R y  \/  y R x ) )
65 oran 483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x R y  \/  y R x )  <->  -.  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) )
6664, 65sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  /\  y  e.  X
)  ->  -.  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) )
6766ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  A. y  e.  X  -.  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) )
68 rabeq0 3649 . . . . . . 7  |-  ( { y  e.  X  | 
( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/)  <->  A. y  e.  X  -.  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) )
6967, 68sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/) )
70 eleq2 2497 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  { y  e.  X  |  -.  x R y }  ->  ( A  e.  m  <->  A  e.  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
71 ineq1 3535 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  { y  e.  X  |  -.  x R y }  ->  ( m  i^i  n )  =  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n ) )
7271eqeq1d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  { y  e.  X  |  -.  x R y }  ->  ( ( m  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( {
y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  (/) ) )
7370, 723anbi13d 1256 . . . . . . 7  |-  ( m  =  { y  e.  X  |  -.  x R y }  ->  ( ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( A  e.  { y  e.  X  |  -.  x R y }  /\  B  e.  n  /\  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  (/) ) ) )
74 eleq2 2497 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( B  e.  n  <->  B  e.  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) )
75 ineq2 3536 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) )
76 inrab 3613 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }
7775, 76syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) } )
7877eqeq1d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  (/)  <->  {
y  e.  X  | 
( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/) ) )
7974, 783anbi23d 1257 . . . . . . 7  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( ( A  e.  {
y  e.  X  |  -.  x R y }  /\  B  e.  n  /\  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  (/) ) 
<->  ( A  e.  {
y  e.  X  |  -.  x R y }  /\  B  e.  {
y  e.  X  |  -.  y R x }  /\  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/) ) ) )
8073, 79rspc2ev 3060 . . . . . 6  |-  ( ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  (ordTop `  R )  /\  {
y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  (ordTop `  R )  /\  ( A  e.  {
y  e.  X  |  -.  x R y }  /\  B  e.  {
y  e.  X  |  -.  y R x }  /\  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/) ) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
8146, 48, 54, 60, 69, 80syl113anc 1196 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
8281rexlimdvaa 2831 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( E. x  e.  X  ( -.  B R x  /\  -.  x R A )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
8342, 82syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( { x  e.  X  |  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =/=  (/) 
->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
8441, 83pm2.61dne 2681 . 2  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
8584exp32 589 1  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A R B  ->  ( A  =/=  B  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    i^i cin 3319   (/)c0 3628   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   ` cfv 5454  ordTopcordt 13721   PosetRelcps 14624    TosetRel ctsr 14625
This theorem is referenced by:  ordthaus  17448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113  df-fi 7416  df-topgen 13667  df-ordt 13725  df-ps 14629  df-tsr 14630  df-bases 16965
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