MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthmeo Unicode version

Theorem ordthmeo 17493
Description: An order isomorphism is a homeomorphism on the respective order topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordthmeo.1  |-  X  =  dom  R
ordthmeo.2  |-  Y  =  dom  S
Assertion
Ref Expression
ordthmeo  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F  e.  ( (ordTop `  R )  Homeo  (ordTop `  S )
) )

Proof of Theorem ordthmeo
StepHypRef Expression
1 ordthmeo.1 . . 3  |-  X  =  dom  R
2 ordthmeo.2 . . 3  |-  Y  =  dom  S
31, 2ordthmeolem 17492 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F  e.  ( (ordTop `  R )  Cn  (ordTop `  S )
) )
4 isocnv 5827 . . 3  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( X ,  Y )  ->  `' F  Isom  S ,  R  ( Y ,  X ) )
52, 1ordthmeolem 17492 . . . 4  |-  ( ( S  e.  W  /\  R  e.  V  /\  `' F  Isom  S ,  R  ( Y ,  X ) )  ->  `' F  e.  (
(ordTop `  S )  Cn  (ordTop `  R )
) )
653com12 1155 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  `' F  Isom  S ,  R  ( Y ,  X ) )  ->  `' F  e.  (
(ordTop `  S )  Cn  (ordTop `  R )
) )
74, 6syl3an3 1217 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  `' F  e.  ( (ordTop `  S
)  Cn  (ordTop `  R ) ) )
8 ishmeo 17450 . 2  |-  ( F  e.  ( (ordTop `  R )  Homeo  (ordTop `  S ) )  <->  ( F  e.  ( (ordTop `  R
)  Cn  (ordTop `  S ) )  /\  `' F  e.  (
(ordTop `  S )  Cn  (ordTop `  R )
) ) )
93, 7, 8sylanbrc 645 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F  e.  ( (ordTop `  R )  Homeo  (ordTop `  S )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ` cfv 5255    Isom wiso 5256  (class class class)co 5858  ordTopcordt 13398    Cn ccn 16954    Homeo chmeo 17444
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  18441  iccpnfhmeo  18443  xrhmeo  18444  xrge0iifhmeo  23318
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-ordt 13402  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-hmeo 17446
  Copyright terms: Public domain W3C validator