MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthmeo Structured version   Unicode version

Theorem ordthmeo 17834
Description: An order isomorphism is a homeomorphism on the respective order topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordthmeo.1  |-  X  =  dom  R
ordthmeo.2  |-  Y  =  dom  S
Assertion
Ref Expression
ordthmeo  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F  e.  ( (ordTop `  R )  Homeo  (ordTop `  S )
) )

Proof of Theorem ordthmeo
StepHypRef Expression
1 ordthmeo.1 . . 3  |-  X  =  dom  R
2 ordthmeo.2 . . 3  |-  Y  =  dom  S
31, 2ordthmeolem 17833 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F  e.  ( (ordTop `  R )  Cn  (ordTop `  S )
) )
4 isocnv 6050 . . 3  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( X ,  Y )  ->  `' F  Isom  S ,  R  ( Y ,  X ) )
52, 1ordthmeolem 17833 . . . 4  |-  ( ( S  e.  W  /\  R  e.  V  /\  `' F  Isom  S ,  R  ( Y ,  X ) )  ->  `' F  e.  (
(ordTop `  S )  Cn  (ordTop `  R )
) )
653com12 1157 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  `' F  Isom  S ,  R  ( Y ,  X ) )  ->  `' F  e.  (
(ordTop `  S )  Cn  (ordTop `  R )
) )
74, 6syl3an3 1219 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  `' F  e.  ( (ordTop `  S
)  Cn  (ordTop `  R ) ) )
8 ishmeo 17791 . 2  |-  ( F  e.  ( (ordTop `  R )  Homeo  (ordTop `  S ) )  <->  ( F  e.  ( (ordTop `  R
)  Cn  (ordTop `  S ) )  /\  `' F  e.  (
(ordTop `  S )  Cn  (ordTop `  R )
) ) )
93, 7, 8sylanbrc 646 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F  e.  ( (ordTop `  R )  Homeo  (ordTop `  S )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ` cfv 5454    Isom wiso 5455  (class class class)co 6081  ordTopcordt 13721    Cn ccn 17288    Homeo chmeo 17785
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  18968  iccpnfhmeo  18970  xrhmeo  18971  xrge0iifhmeo  24322
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-fin 7113  df-fi 7416  df-topgen 13667  df-ordt 13725  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cn 17291  df-hmeo 17787
  Copyright terms: Public domain W3C validator