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Theorem ordthmeolem 17492
Description: Lemma for ordthmeo 17493. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordthmeo.1  |-  X  =  dom  R
ordthmeo.2  |-  Y  =  dom  S
Assertion
Ref Expression
ordthmeolem  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F  e.  ( (ordTop `  R )  Cn  (ordTop `  S )
) )

Proof of Theorem ordthmeolem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isof1o 5822 . . . 4  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( X ,  Y )  ->  F : X -1-1-onto-> Y
)
213ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
3 f1of 5472 . . 3  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X
--> Y )
42, 3syl 15 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F : X
--> Y )
5 fimacnv 5657 . . . . . . 7  |-  ( F : X --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  X )
64, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  ( `' F " Y )  =  X )
7 ordthmeo.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  dom  R
87ordttopon 16923 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X ) )
983ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  (ordTop `  R
)  e.  (TopOn `  X ) )
10 toponmax 16666 . . . . . . 7  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X )  ->  X  e.  (ordTop `  R )
)
119, 10syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  X  e.  (ordTop `  R ) )
126, 11eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  ( `' F " Y )  e.  (ordTop `  R )
)
13 elsni 3664 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { Y }  ->  z  =  Y )
1413imaeq2d 5012 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { Y }  ->  ( `' F "
z )  =  ( `' F " Y ) )
1514eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( z  e.  { Y }  ->  ( ( `' F " z )  e.  (ordTop `  R )  <->  ( `' F " Y )  e.  (ordTop `  R )
) )
1612, 15syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  ( z  e.  { Y }  ->  ( `' F " z )  e.  (ordTop `  R
) ) )
1716ralrimiv 2625 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  A. z  e.  { Y }  ( `' F " z )  e.  (ordTop `  R
) )
18 cnvimass 5033 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) 
C_  dom  F
19 f1odm 5476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  dom  F  =  X )
202, 19syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  dom  F  =  X )
2120adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  dom  F  =  X )
2218, 21syl5sseq 3226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  C_  X
)
23 dfss1 3373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) 
C_  X  <->  ( X  i^i  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) )  =  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) )
2422, 23sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  i^i  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) )  =  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) )
252ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
26 f1ofn 5473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F  Fn  X )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  F  Fn  X )
28 elpreima 5645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  X  ->  (
z  e.  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  <-> 
( z  e.  X  /\  ( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) ) )
2927, 28syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  <-> 
( z  e.  X  /\  ( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) ) )
30 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
3130biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  y S x }  <->  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) ) )
324adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  F : X --> Y )
33 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : X --> Y  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  e.  Y )
3432, 33sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  e.  Y )
35 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( F `  z )  ->  (
y S x  <->  ( F `  z ) S x ) )
3635notbid 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F `  z )  ->  ( -.  y S x  <->  -.  ( F `  z ) S x ) )
3736elrab3 2924 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  z )  e.  Y  ->  (
( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  y S x }  <->  -.  ( F `  z ) S x ) )
3834, 37syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  y S x }  <->  -.  ( F `  z ) S x ) )
39 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )
40 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
41 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
422, 40, 413syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  `' F : Y --> X )
43 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F `  x )  e.  X
)
4442, 43sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F `  x )  e.  X
)
4544adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  ( `' F `  x )  e.  X )
46 isorel 5823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  ( `' F `  x )  e.  X ) )  ->  ( z R ( `' F `  x )  <->  ( F `  z ) S ( F `  ( `' F `  x ) ) ) )
4739, 30, 45, 46syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
z R ( `' F `  x )  <-> 
( F `  z
) S ( F `
 ( `' F `  x ) ) ) )
48 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
492, 48sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
5049adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  ( `' F `  x )
)  =  x )
5150breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
) S ( F `
 ( `' F `  x ) )  <->  ( F `  z ) S x ) )
5247, 51bitrd 244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
z R ( `' F `  x )  <-> 
( F `  z
) S x ) )
5352notbid 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  ( -.  z R ( `' F `  x )  <->  -.  ( F `  z
) S x ) )
5438, 53bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  y S x }  <->  -.  z R ( `' F `  x ) ) )
5529, 31, 543bitr2d 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  <->  -.  z R ( `' F `  x ) ) )
5655rabbi2dva 3377 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  i^i  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) )  =  { z  e.  X  |  -.  z R ( `' F `  x ) } )
5724, 56eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  =  {
z  e.  X  |  -.  z R ( `' F `  x ) } )
58 simpl1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  R  e.  V )
597ordtopn1 16924 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( `' F `  x )  e.  X )  ->  { z  e.  X  |  -.  z R ( `' F `  x ) }  e.  (ordTop `  R ) )
6058, 44, 59syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  { z  e.  X  |  -.  z R ( `' F `  x ) }  e.  (ordTop `  R ) )
6157, 60eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  e.  (ordTop `  R ) )
6261ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  A. x  e.  Y  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  e.  (ordTop `  R
) )
63 ordthmeo.2 . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  dom  S
64 dmexg 4939 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  W  ->  dom  S  e.  _V )
6563, 64syl5eqel 2367 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  W  ->  Y  e.  _V )
66653ad2ant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  Y  e.  _V )
67 rabexg 4164 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  _V  ->  { y  e.  Y  |  -.  y S x }  e.  _V )
6866, 67syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  { y  e.  Y  |  -.  y S x }  e.  _V )
6968ralrimivw 2627 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  A. x  e.  Y  { y  e.  Y  |  -.  y S x }  e.  _V )
70 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  =  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )
71 imaeq2 5008 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { y  e.  Y  |  -.  y S x }  ->  ( `' F " z )  =  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) )
7271eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { y  e.  Y  |  -.  y S x }  ->  ( ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R )  <->  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  e.  (ordTop `  R
) ) )
7370, 72ralrnmpt 5669 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  Y  {
y  e.  Y  |  -.  y S x }  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R )  <->  A. x  e.  Y  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  e.  (ordTop `  R
) ) )
7469, 73syl 15 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R )  <->  A. x  e.  Y  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  e.  (ordTop `  R
) ) )
7562, 74mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  A. z  e.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R ) )
76 cnvimass 5033 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) 
C_  dom  F
7776, 21syl5sseq 3226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  C_  X
)
78 dfss1 3373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) 
C_  X  <->  ( X  i^i  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) )  =  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) )
7977, 78sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  i^i  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) )  =  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) )
80 elpreima 5645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  X  ->  (
z  e.  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  <-> 
( z  e.  X  /\  ( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) )
8127, 80syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  <-> 
( z  e.  X  /\  ( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) )
8230biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  x S y }  <->  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) )
83 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( F `  z )  ->  (
x S y  <->  x S
( F `  z
) ) )
8483notbid 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F `  z )  ->  ( -.  x S y  <->  -.  x S ( F `  z ) ) )
8584elrab3 2924 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  z )  e.  Y  ->  (
( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  x S y }  <->  -.  x S ( F `  z ) ) )
8634, 85syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  x S y }  <->  -.  x S ( F `  z ) ) )
87 isorel 5823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y )  /\  (
( `' F `  x )  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  x ) R z  <-> 
( F `  ( `' F `  x ) ) S ( F `
 z ) ) )
8839, 45, 30, 87syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( `' F `  x ) R z  <-> 
( F `  ( `' F `  x ) ) S ( F `
 z ) ) )
8950breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  ( `' F `  x ) ) S ( F `
 z )  <->  x S
( F `  z
) ) )
9088, 89bitrd 244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( `' F `  x ) R z  <-> 
x S ( F `
 z ) ) )
9190notbid 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  ( -.  ( `' F `  x ) R z  <->  -.  x S ( F `
 z ) ) )
9286, 91bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  x S y }  <->  -.  ( `' F `  x ) R z ) )
9381, 82, 923bitr2d 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  <->  -.  ( `' F `  x ) R z ) )
9493rabbi2dva 3377 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  i^i  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) )  =  { z  e.  X  |  -.  ( `' F `  x ) R z } )
9579, 94eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  =  {
z  e.  X  |  -.  ( `' F `  x ) R z } )
967ordtopn2 16925 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( `' F `  x )  e.  X )  ->  { z  e.  X  |  -.  ( `' F `  x ) R z }  e.  (ordTop `  R ) )
9758, 44, 96syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  { z  e.  X  |  -.  ( `' F `  x ) R z }  e.  (ordTop `  R ) )
9895, 97eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  e.  (ordTop `  R ) )
9998ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  A. x  e.  Y  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  e.  (ordTop `  R
) )
100 rabexg 4164 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  _V  ->  { y  e.  Y  |  -.  x S y }  e.  _V )
10166, 100syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  { y  e.  Y  |  -.  x S y }  e.  _V )
102101ralrimivw 2627 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  A. x  e.  Y  { y  e.  Y  |  -.  x S y }  e.  _V )
103 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  =  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } )
104 imaeq2 5008 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { y  e.  Y  |  -.  x S y }  ->  ( `' F " z )  =  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) )
105104eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { y  e.  Y  |  -.  x S y }  ->  ( ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R )  <->  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  e.  (ordTop `  R
) ) )
106103, 105ralrnmpt 5669 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  Y  {
y  e.  Y  |  -.  x S y }  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ( `' F " z )  e.  (ordTop `  R
)  <->  A. x  e.  Y  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  e.  (ordTop `  R
) ) )
107102, 106syl 15 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R )  <->  A. x  e.  Y  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  e.  (ordTop `  R
) ) )
10899, 107mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  A. z  e.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R ) )
109 ralunb 3356 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) ( `' F " z )  e.  (ordTop `  R
)  <->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R )  /\  A. z  e.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R ) ) )
11075, 108, 109sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) ( `' F " z )  e.  (ordTop `  R ) )
111 ralunb 3356 . . 3  |-  ( A. z  e.  ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) ) ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R )  <->  ( A. z  e.  { Y }  ( `' F " z )  e.  (ordTop `  R )  /\  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) ( `' F " z )  e.  (ordTop `  R
) ) )
11217, 110, 111sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  A. z  e.  ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) ) ( `' F " z )  e.  (ordTop `  R
) )
113 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x }
)  =  ran  (
x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x }
)
114 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  =  ran  (
x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } )
11563, 113, 114ordtuni 16920 . . . . . 6  |-  ( S  e.  W  ->  Y  =  U. ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) ) )
116115, 65eqeltrrd 2358 . . . . 5  |-  ( S  e.  W  ->  U. ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) )  e.  _V )
117 uniexb 4563 . . . . 5  |-  ( ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) )  e.  _V  <->  U. ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) )  e.  _V )
118116, 117sylibr 203 . . . 4  |-  ( S  e.  W  ->  ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) )  e.  _V )
1191183ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) )  e.  _V )
12063, 113, 114ordtval 16919 . . . 4  |-  ( S  e.  W  ->  (ordTop `  S )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) ) ) ) )
1211203ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  (ordTop `  S
)  =  ( topGen `  ( fi `  ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) ) ) ) )
12263ordttopon 16923 . . . 4  |-  ( S  e.  W  ->  (ordTop `  S )  e.  (TopOn `  Y ) )
1231223ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  (ordTop `  S
)  e.  (TopOn `  Y ) )
1249, 119, 121, 123subbascn 16984 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  ( F  e.  ( (ordTop `  R
)  Cn  (ordTop `  S ) )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. z  e.  ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) ) ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R ) ) ) )
1254, 112, 124mpbir2and 888 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F  e.  ( (ordTop `  R )  Cn  (ordTop `  S )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255    Isom wiso 5256  (class class class)co 5858   ficfi 7164   topGenctg 13342  ordTopcordt 13398  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954
This theorem is referenced by:  ordthmeo  17493  xrmulc1cn  23303
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-ordt 13402  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957
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