Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtop Unicode version

Theorem ordtop 24875
Description: An ordinal is a topology iff it is not its supermum (union), proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtop  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  e.  Top  <->  J  =/=  U. J
) )

Proof of Theorem ordtop
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
21topopn 16652 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
3 nordeq 4411 . . . 4  |-  ( ( Ord  J  /\  U. J  e.  J )  ->  J  =/=  U. J
)
43ex 423 . . 3  |-  ( Ord 
J  ->  ( U. J  e.  J  ->  J  =/=  U. J ) )
52, 4syl5 28 . 2  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  e.  Top  ->  J  =/=  U. J ) )
6 onsuctop 24872 . . 3  |-  ( U. J  e.  On  ->  suc  U. J  e.  Top )
76ordtoplem 24874 . 2  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  =/=  U. J  ->  J  e.  Top ) )
85, 7impbid 183 1  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  e.  Top  <->  J  =/=  U. J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    e. wcel 1684    =/= wne 2446   U.cuni 3827   Ord word 4391   Topctop 16631
This theorem is referenced by:  ordtopcon  24878  ordtopt0  24881  ordcmp  24886
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638
  Copyright terms: Public domain W3C validator