Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtopcon Unicode version

Theorem ordtopcon 25437
Description: An ordinal topology is connected. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtopcon  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  e.  Top  <->  J  e.  Con ) )

Proof of Theorem ordtopcon
StepHypRef Expression
1 ordtop 25434 . . 3  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  e.  Top  <->  J  =/=  U. J
) )
2 onsuccon 25436 . . . 4  |-  ( U. J  e.  On  ->  suc  U. J  e.  Con )
32ordtoplem 25433 . . 3  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  =/=  U. J  ->  J  e.  Con ) )
41, 3sylbid 206 . 2  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  e.  Top  ->  J  e.  Con ) )
5 contop 17243 . 2  |-  ( J  e.  Con  ->  J  e.  Top )
64, 5impbid1 194 1  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  e.  Top  <->  J  e.  Con ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    e. wcel 1710    =/= wne 2521   U.cuni 3906   Ord word 4470   Topctop 16731   Conccon 17237
This theorem is referenced by:  onintopsscon  25438
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-suc 4477  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-fv 5342  df-topgen 13437  df-top 16736  df-bases 16738  df-cld 16856  df-con 17238
  Copyright terms: Public domain W3C validator