Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtopcon Structured version   Unicode version

Theorem ordtopcon 26194
Description: An ordinal topology is connected. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtopcon  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  e.  Top  <->  J  e.  Con ) )

Proof of Theorem ordtopcon
StepHypRef Expression
1 ordtop 26191 . . 3  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  e.  Top  <->  J  =/=  U. J
) )
2 onsuccon 26193 . . . 4  |-  ( U. J  e.  On  ->  suc  U. J  e.  Con )
32ordtoplem 26190 . . 3  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  =/=  U. J  ->  J  e.  Con ) )
41, 3sylbid 208 . 2  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  e.  Top  ->  J  e.  Con ) )
5 contop 17485 . 2  |-  ( J  e.  Con  ->  J  e.  Top )
64, 5impbid1 196 1  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  e.  Top  <->  J  e.  Con ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    e. wcel 1726    =/= wne 2601   U.cuni 4017   Ord word 4583   Topctop 16963   Conccon 17479
This theorem is referenced by:  onintopsscon  26195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-suc 4590  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-fv 5465  df-topgen 13672  df-top 16968  df-bases 16970  df-cld 17088  df-con 17480
  Copyright terms: Public domain W3C validator