Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtopcon Unicode version

Theorem ordtopcon 26097
Description: An ordinal topology is connected. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtopcon  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  e.  Top  <->  J  e.  Con ) )

Proof of Theorem ordtopcon
StepHypRef Expression
1 ordtop 26094 . . 3  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  e.  Top  <->  J  =/=  U. J
) )
2 onsuccon 26096 . . . 4  |-  ( U. J  e.  On  ->  suc  U. J  e.  Con )
32ordtoplem 26093 . . 3  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  =/=  U. J  ->  J  e.  Con ) )
41, 3sylbid 207 . 2  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  e.  Top  ->  J  e.  Con ) )
5 contop 17437 . 2  |-  ( J  e.  Con  ->  J  e.  Top )
64, 5impbid1 195 1  |-  ( Ord 
J  ->  ( J  e.  Top  <->  J  e.  Con ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    e. wcel 1721    =/= wne 2571   U.cuni 3979   Ord word 4544   Topctop 16917   Conccon 17431
This theorem is referenced by:  onintopsscon  26098
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-suc 4551  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-fv 5425  df-topgen 13626  df-top 16922  df-bases 16924  df-cld 17042  df-con 17432
  Copyright terms: Public domain W3C validator