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Theorem ordtopn1 17250
Description: An upward ray  ( P ,  +oo ) is open. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
ordtopn1  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  (ordTop `  R ) )
Distinct variable groups:    x, P    x, R    x, V    x, X

Proof of Theorem ordtopn1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordttopon.3 . . . . . . . . 9  |-  X  =  dom  R
2 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ran  (
y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )
3 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x }
)  =  ran  (
y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x }
)
41, 2, 3ordtuni 17246 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )
54adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )
6 dmexg 5122 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  V  ->  dom  R  e.  _V )
71, 6syl5eqel 2519 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  X  e.  _V )
87adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  X  e.  _V )
95, 8eqeltrrd 2510 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  e.  _V )
10 uniexb 4744 . . . . . 6  |-  ( ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  e.  _V  <->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  e.  _V )
119, 10sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  e.  _V )
12 ssfii 7416 . . . . 5  |-  ( ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  e.  _V  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) )
14 fibas 17034 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )  e.  TopBases
15 bastg 17023 . . . . 5  |-  ( ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )  e.  TopBases  ->  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . 4  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) )
1713, 16syl6ss 3352 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) ) )
181, 2, 3ordtval 17245 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) ) )
1918adantr 452 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  (ordTop `  R )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) ) )
2017, 19sseqtr4d 3377 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  C_  (ordTop `  R ) )
21 ssun2 3503 . . 3  |-  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) )  C_  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )
22 ssun1 3502 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  C_  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) )
23 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  P  e.  X )
24 eqidd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  { x  e.  X  |  -.  x R P } )
25 breq2 4208 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  P  ->  (
x R y  <->  x R P ) )
2625notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  P  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x R P ) )
2726rabbidv 2940 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  P  ->  { x  e.  X  |  -.  x R y }  =  { x  e.  X  |  -.  x R P } )
2827eqeq2d 2446 . . . . . . 7  |-  ( y  =  P  ->  ( { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  { x  e.  X  |  -.  x R y }  <->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  { x  e.  X  |  -.  x R P } ) )
2928rspcev 3044 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  X  /\  { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  { x  e.  X  |  -.  x R P } )  ->  E. y  e.  X  { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  { x  e.  X  |  -.  x R y } )
3023, 24, 29syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  E. y  e.  X  { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  { x  e.  X  |  -.  x R y } )
31 rabexg 4345 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  _V )
32 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )
3332elrnmpt 5109 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  _V  ->  ( {
x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  <->  E. y  e.  X  { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  { x  e.  X  |  -.  x R y } ) )
348, 31, 333syl 19 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  <->  E. y  e.  X  { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  { x  e.  X  |  -.  x R y } ) )
3530, 34mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  ran  (
y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } ) )
3622, 35sseldi 3338 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )
3721, 36sseldi 3338 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )
3820, 37sseldd 3341 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  (ordTop `  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948    u. cun 3310    C_ wss 3312   {csn 3806   U.cuni 4007   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   ran crn 4871   ` cfv 5446   ficfi 7407   topGenctg 13657  ordTopcordt 13713   TopBasesctb 16954
This theorem is referenced by:  ordtopn3  17252  ordtcld1  17253  ordtrest  17258  ordtrest2lem  17259  ordthauslem  17439  ordthmeolem  17825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-topgen 13659  df-ordt 13717  df-bases 16957
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