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Theorem ordtopn2 17217
Description: A downward ray  (  -oo ,  P ) is open. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
ordtopn2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  P R x }  e.  (ordTop `  R ) )
Distinct variable groups:    x, P    x, R    x, V    x, X

Proof of Theorem ordtopn2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordttopon.3 . . . . . . . . 9  |-  X  =  dom  R
2 eqid 2408 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ran  (
y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )
3 eqid 2408 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x }
)  =  ran  (
y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x }
)
41, 2, 3ordtuni 17212 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )
54adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )
6 dmexg 5093 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  V  ->  dom  R  e.  _V )
71, 6syl5eqel 2492 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  X  e.  _V )
87adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  X  e.  _V )
95, 8eqeltrrd 2483 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  e.  _V )
10 uniexb 4715 . . . . . 6  |-  ( ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  e.  _V  <->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  e.  _V )
119, 10sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  e.  _V )
12 ssfii 7386 . . . . 5  |-  ( ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  e.  _V  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) )
14 fibas 17001 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )  e.  TopBases
15 bastg 16990 . . . . 5  |-  ( ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )  e.  TopBases  ->  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . 4  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) )
1713, 16syl6ss 3324 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) ) )
181, 2, 3ordtval 17211 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) ) )
1918adantr 452 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  (ordTop `  R )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) ) )
2017, 19sseqtr4d 3349 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  C_  (ordTop `  R ) )
21 ssun2 3475 . . 3  |-  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) )  C_  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )
22 ssun2 3475 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x }
)  C_  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) )
23 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  P  e.  X )
24 eqidd 2409 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  P R x }  =  { x  e.  X  |  -.  P R x } )
25 breq1 4179 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  P  ->  (
y R x  <->  P R x ) )
2625notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  P  ->  ( -.  y R x  <->  -.  P R x ) )
2726rabbidv 2912 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  P  ->  { x  e.  X  |  -.  y R x }  =  { x  e.  X  |  -.  P R x } )
2827eqeq2d 2419 . . . . . . 7  |-  ( y  =  P  ->  ( { x  e.  X  |  -.  P R x }  =  { x  e.  X  |  -.  y R x }  <->  { x  e.  X  |  -.  P R x }  =  { x  e.  X  |  -.  P R x } ) )
2928rspcev 3016 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  X  /\  { x  e.  X  |  -.  P R x }  =  { x  e.  X  |  -.  P R x } )  ->  E. y  e.  X  { x  e.  X  |  -.  P R x }  =  { x  e.  X  |  -.  y R x } )
3023, 24, 29syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  E. y  e.  X  { x  e.  X  |  -.  P R x }  =  { x  e.  X  |  -.  y R x } )
31 rabexg 4317 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  { x  e.  X  |  -.  P R x }  e.  _V )
32 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } )
3332elrnmpt 5080 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  X  |  -.  P R x }  e.  _V  ->  ( {
x  e.  X  |  -.  P R x }  e.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } )  <->  E. y  e.  X  { x  e.  X  |  -.  P R x }  =  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) )
348, 31, 333syl 19 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { x  e.  X  |  -.  P R x }  e.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } )  <->  E. y  e.  X  { x  e.  X  |  -.  P R x }  =  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) )
3530, 34mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  P R x }  e.  ran  (
y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x }
) )
3622, 35sseldi 3310 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  P R x }  e.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )
3721, 36sseldi 3310 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  P R x }  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )
3820, 37sseldd 3313 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  P R x }  e.  (ordTop `  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2671   {crab 2674   _Vcvv 2920    u. cun 3282    C_ wss 3284   {csn 3778   U.cuni 3979   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   dom cdm 4841   ran crn 4842   ` cfv 5417   ficfi 7377   topGenctg 13624  ordTopcordt 13680   TopBasesctb 16921
This theorem is referenced by:  ordtopn3  17218  ordtcld2  17220  ordtrest  17224  ordthauslem  17405  ordthmeolem  17790
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-en 7073  df-fin 7076  df-fi 7378  df-topgen 13626  df-ordt 13684  df-bases 16924
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