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Theorem ordtrest2 16950
Description: An interval-closed set  A in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in  RR, but in other sets like  QQ there are interval-closed sets like  ( pi ,  +oo )  i^i  QQ that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtrest2.1  |-  X  =  dom  R
ordtrest2.2  |-  ( ph  ->  R  e.  TosetRel  )
ordtrest2.3  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
ordtrest2.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  C_  A )
Assertion
Ref Expression
ordtrest2  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( (ordTop `  R
)t 
A ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    ph, x, y, z    x, R, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem ordtrest2
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtrest2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  TosetRel  )
2 tsrps 14346 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  R  e.  PosetRel )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  PosetRel )
4 ordtrest2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
5 ordtrest2.1 . . . . 5  |-  X  =  dom  R
6 dmexg 4955 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
71, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  R  e.  _V )
85, 7syl5eqel 2380 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
9 ssexg 4176 . . . 4  |-  ( ( A  C_  X  /\  X  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
104, 8, 9syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
11 ordtrest 16948 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  _V )  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A ) )
123, 10, 11syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
13 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  =  ran  (
z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )
14 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w }
)  =  ran  (
z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w }
)
155, 13, 14ordtval 16935 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  (ordTop `  R )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ) ) )
161, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (ordTop `  R )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ) ) )
1716oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  R
)t 
A )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ) )t  A ) )
18 fibas 16731 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )  e.  TopBases
19 tgrest 16906 . . . . . 6  |-  ( ( ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  ( topGen `
 ( ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )t  A ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ) )t  A ) )
2018, 10, 19sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )t  A ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ) )t  A ) )
2117, 20eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  R
)t 
A )  =  (
topGen `  ( ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )t  A ) ) )
22 firest 13353 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A ) )  =  ( ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )t  A )
2322fveq2i 5544 . . . 4  |-  ( topGen `  ( fi `  (
( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A ) ) )  =  ( topGen `  (
( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )t  A ) )
2421, 23syl6eqr 2346 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  R
)t 
A )  =  (
topGen `  ( fi `  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A ) ) ) )
25 inex1g 4173 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V )
261, 25syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V )
27 ordttop 16946 . . . . 5  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  Top )
2826, 27syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top )
295, 13, 14ordtuni 16936 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )
301, 29syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )
3130, 8eqeltrrd 2371 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  e.  _V )
32 uniexb 4579 . . . . . . 7  |-  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  e.  _V  <->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  e.  _V )
3331, 32sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  e.  _V )
34 restval 13347 . . . . . 6  |-  ( ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A )  =  ran  (
v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) 
|->  ( v  i^i  A
) ) )
3533, 10, 34syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A )  =  ran  (
v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) 
|->  ( v  i^i  A
) ) )
36 dfss1 3386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  X  <->  ( X  i^i  A )  =  A )
374, 36sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  A
)  =  A )
38 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )
3938ordttopon 16939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  (TopOn `  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
4026, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
415psssdm 14341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  C_  X )  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
423, 4, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  =  A )
4342fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (TopOn `  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (TopOn `  A
) )
4440, 43eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  A )
)
45 toponmax 16682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
4644, 45syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
4737, 46eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
48 elsni 3677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  { X }  ->  v  =  X )
4948ineq1d 3382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  { X }  ->  ( v  i^i  A
)  =  ( X  i^i  A ) )
5049eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  { X }  ->  ( ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( X  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
5147, 50syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( v  e.  { X }  ->  ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
5251ralrimiv 2638 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  { X }  ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
53 ordtrest2.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  C_  A )
545, 1, 4, 53ordtrest2lem 16949 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
55 df-rn 4716 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  R  =  dom  `' R
56 cnvtsr 14347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  `' R  e.  TosetRel  )
571, 56syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' R  e.  TosetRel  )
585psrn 14334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  =  ran  R )
593, 58syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  =  ran  R
)
604, 59sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  ran  R )
6159adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  X  =  ran  R )
62 rabeq 2795 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  =  ran  R  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  =  { z  e.  ran  R  |  ( x R z  /\  z R y ) } )
6361, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  =  { z  e.  ran  R  |  ( x R z  /\  z R y ) } )
64 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
65 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
6664, 65brcnv 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y `' R z  <->  z R
y )
67 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
6865, 67brcnv 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z `' R x  <->  x R
z )
6966, 68anbi12ci 679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y `' R z  /\  z `' R x )  <->  ( x R z  /\  z R y ) )
7069a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ran  R  -> 
( ( y `' R z  /\  z `' R x )  <->  ( x R z  /\  z R y ) ) )
7170rabbiia 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z  e.  ran  R  | 
( y `' R
z  /\  z `' R x ) }  =  { z  e. 
ran  R  |  (
x R z  /\  z R y ) }
7263, 71syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  =  { z  e.  ran  R  |  ( y `' R z  /\  z `' R x ) } )
7372, 53eqsstr3d 3226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  ran  R  |  ( y `' R z  /\  z `' R x ) } 
C_  A )
7473ancom2s 777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  x  e.  A ) )  ->  { z  e.  ran  R  |  ( y `' R z  /\  z `' R x ) } 
C_  A )
7555, 57, 60, 74ordtrest2lem 16949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  ran  R 
|->  { w  e.  ran  R  |  -.  w `' R z } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( `' R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
76 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  w  e. 
_V
7776, 65brcnv 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w `' R z  <->  z R w )
7877bicomi 193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z R w  <->  w `' R z )
7978a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( z R w  <-> 
w `' R z ) )
8079notbid 285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( -.  z R w  <->  -.  w `' R z ) )
8159, 80rabeqbidv 2796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { w  e.  X  |  -.  z R w }  =  { w  e.  ran  R  |  -.  w `' R z } )
8259, 81mpteq12dv 4114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } )  =  ( z  e.  ran  R  |->  { w  e.  ran  R  |  -.  w `' R z } ) )
8382rneqd 4922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } )  =  ran  ( z  e.  ran  R  |->  { w  e.  ran  R  |  -.  w `' R
z } ) )
84 cnvin 5104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `' R  i^i  `' ( A  X.  A ) )
85 cnvxp 5113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  `' ( A  X.  A )  =  ( A  X.  A )
8685ineq2i 3380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' R  i^i  `' ( A  X.  A ) )  =  ( `' R  i^i  ( A  X.  A ) )
8784, 86eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `' R  i^i  ( A  X.  A
) )
8887fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (ordTop `  `' ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (ordTop `  ( `' R  i^i  ( A  X.  A ) ) )
89 psss 14339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel )
903, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel )
91 ordtcnv 16947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
9290, 91syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (ordTop `  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
9388, 92syl5reqr 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (ordTop `  ( `' R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
9493eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  ( `' R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
9583, 94raleqbidv 2761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. v  e. 
ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  A. v  e.  ran  ( z  e.  ran  R 
|->  { w  e.  ran  R  |  -.  w `' R z } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( `' R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
9675, 95mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
97 ralunb 3369 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <-> 
( A. v  e. 
ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. v  e.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
9854, 96, 97sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
99 ralunb 3369 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( A. v  e.  { X }  (
v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  /\  A. v  e.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
10052, 98, 99sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
101 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) 
|->  ( v  i^i  A
) )  =  ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) 
|->  ( v  i^i  A
) )
102101fmpt 5697 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) : ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) --> (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
103100, 102sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) : ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) --> (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
104 frn 5411 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) 
|->  ( v  i^i  A
) ) : ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) --> (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ran  ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) 
|->  ( v  i^i  A
) )  C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
105103, 104syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) 
C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
10635, 105eqsstrd 3225 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A )  C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
107 tgfiss 16745 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top  /\  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A )  C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  (
( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A ) ) ) 
C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
10828, 106, 107syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( fi `  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A ) ) )  C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
10924, 108eqsstrd 3225 . 2  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  R
)t 
A )  C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
11012, 109eqssd 3209 1  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( (ordTop `  R
)t 
A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {csn 3653   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ficfi 7180   ↾t crest 13341   topGenctg 13358  ordTopcordt 13414   PosetRelcps 14317    TosetRel ctsr 14318   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   TopBasesctb 16651
This theorem is referenced by:  ordtrestixx  16968  cnvordtrestixx  23312
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-ordt 13418  df-ps 14322  df-tsr 14323  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655
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