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Theorem ordtrest2lem 16933
Description: Lemma for ordtrest2 16934. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtrest2.1  |-  X  =  dom  R
ordtrest2.2  |-  ( ph  ->  R  e.  TosetRel  )
ordtrest2.3  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
ordtrest2.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  C_  A )
Assertion
Ref Expression
ordtrest2lem  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
Distinct variable groups:    w, v, x, y, z, A    ph, v, w, x, y, z    v, R, w, x, y, z   
v, X, w, x, y, z

Proof of Theorem ordtrest2lem
StepHypRef Expression
1 inrab2 3441 . . . . 5  |-  ( { w  e.  X  |  -.  w R z }  i^i  A )  =  { w  e.  ( X  i^i  A )  |  -.  w R z }
2 ordtrest2.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
3 dfss1 3373 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  X  <->  ( X  i^i  A )  =  A )
42, 3sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  A
)  =  A )
54adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( X  i^i  A )  =  A )
6 rabeq 2782 . . . . . 6  |-  ( ( X  i^i  A )  =  A  ->  { w  e.  ( X  i^i  A
)  |  -.  w R z }  =  { w  e.  A  |  -.  w R z } )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  { w  e.  ( X  i^i  A
)  |  -.  w R z }  =  { w  e.  A  |  -.  w R z } )
81, 7syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( { w  e.  X  |  -.  w R z }  i^i  A )  =  { w  e.  A  |  -.  w R z } )
9 ordtrest2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  TosetRel  )
10 inex1g 4157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V )
12 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )
1312ordttopon 16923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  (TopOn `  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
1411, 13syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
15 tsrps 14330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  R  e.  PosetRel )
169, 15syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  PosetRel )
17 ordtrest2.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  dom  R
1817psssdm 14325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  C_  X )  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
1916, 2, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  =  A )
2019fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (TopOn `  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (TopOn `  A
) )
2114, 20eleqtrd 2359 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  A )
)
22 toponmax 16666 . . . . . . . 8  |-  ( (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
2321, 22syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
2423adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  A  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
25 rabid2 2717 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { w  e.  A  |  -.  w R z }  <->  A. w  e.  A  -.  w R z )
26 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { w  e.  A  |  -.  w R z }  ->  ( A  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
2725, 26sylbir 204 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  A  -.  w R z  ->  ( A  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
2824, 27syl5ibcom 211 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( A. w  e.  A  -.  w R z  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
29 dfrex2 2556 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  A  w R z  <->  -.  A. w  e.  A  -.  w R z )
30 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
w R z  <->  x R
z ) )
3130cbvrexv 2765 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  A  w R z  <->  E. x  e.  A  x R
z )
3229, 31bitr3i 242 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. w  e.  A  -.  w R z  <->  E. x  e.  A  x R
z )
33 ordttop 16930 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  Top )
3411, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top )
3534adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  Top )
36 0opn 16650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  Top  ->  (/)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (/)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
3837adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
x  e.  A  /\  x R z ) )  ->  (/)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
39 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w  e.  A  |  -.  w R z }  =  (/)  ->  ( { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  (/) 
e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
4038, 39syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
x  e.  A  /\  x R z ) )  ->  ( { w  e.  A  |  -.  w R z }  =  (/) 
->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
41 rabn0 3474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { w  e.  A  |  -.  w R z }  =/=  (/)  <->  E. w  e.  A  -.  w R z )
42 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  (
w R z  <->  y R
z ) )
4342notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  ( -.  w R z  <->  -.  y R z ) )
4443cbvrexv 2765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w  e.  A  -.  w R z  <->  E. y  e.  A  -.  y R z )
4541, 44bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w  e.  A  |  -.  w R z }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  A  -.  y R z )
469ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  A  /\  x R z ) )  /\  y  e.  A )  ->  R  e. 
TosetRel  )
472ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
x  e.  A  /\  x R z ) )  ->  A  C_  X
)
4847sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  A  /\  x R z ) )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  X )
49 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  A  /\  x R z ) )  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  X )
5017tsrlin 14328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y R z  \/  z R y ) )
5146, 48, 49, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  A  /\  x R z ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
y R z  \/  z R y ) )
5251ord 366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  A  /\  x R z ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  y R z  -> 
z R y ) )
53 an4 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( x R z  /\  z R y ) ) )
54 ordtrest2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  C_  A )
55 rabss 3250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { z  e.  X  | 
( x R z  /\  z R y ) }  C_  A  <->  A. z  e.  X  ( ( x R z  /\  z R y )  ->  z  e.  A ) )
5654, 55sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  A. z  e.  X  ( ( x R z  /\  z R y )  ->  z  e.  A ) )
5756r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( x R z  /\  z R y )  ->  z  e.  A ) )
5857an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x R z  /\  z R y )  -> 
z  e.  A ) )
5958impr 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( x R z  /\  z R y ) ) )  ->  z  e.  A )
6053, 59sylan2b 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) ) )  ->  z  e.  A
)
61 brinxp 4752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( w R z  <-> 
w ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) z ) )
6261ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( w R z  <-> 
w ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) z ) )
6362notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( -.  w R z  <->  -.  w ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) z ) )
6463rabbidva 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  A  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  =  { w  e.  A  |  -.  w ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) z } )
6560, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  =  { w  e.  A  |  -.  w ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) z } )
6619ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) ) )  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  =  A )
67 rabeq 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A  ->  { w  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  |  -.  w ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) z }  =  { w  e.  A  |  -.  w
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) z } )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) ) )  ->  { w  e. 
dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  |  -.  w ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) z }  =  { w  e.  A  |  -.  w
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) z } )
6965, 68eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  =  { w  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  w ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) z } )
7011ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) ) )  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V )
7160, 66eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) ) )  ->  z  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )
7212ordtopn1 16924 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  /\  z  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  { w  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  w ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
7370, 71, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) ) )  ->  { w  e. 
dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  |  -.  w ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
7469, 73eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
7574anassrs 629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  A  /\  x R z ) )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
7675expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  A  /\  x R z ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
z R y  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
7752, 76syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  A  /\  x R z ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  y R z  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
7877rexlimdva 2667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
x  e.  A  /\  x R z ) )  ->  ( E. y  e.  A  -.  y R z  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
7945, 78syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
x  e.  A  /\  x R z ) )  ->  ( { w  e.  A  |  -.  w R z }  =/=  (/) 
->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
8040, 79pm2.61dne 2523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
x  e.  A  /\  x R z ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
8180expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  x  e.  A )  ->  (
x R z  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
8281rexlimdva 2667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( E. x  e.  A  x R z  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
8332, 82syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( -.  A. w  e.  A  -.  w R z  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
8428, 83pm2.61d 150 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
858, 84eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( { w  e.  X  |  -.  w R z }  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
8685ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( { w  e.  X  |  -.  w R z }  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
87 dmexg 4939 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
889, 87syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  R  e.  _V )
8917, 88syl5eqel 2367 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
90 rabexg 4164 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  { w  e.  X  |  -.  w R z }  e.  _V )
9189, 90syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  { w  e.  X  |  -.  w R z }  e.  _V )
9291ralrimivw 2627 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  { w  e.  X  |  -.  w R z }  e.  _V )
93 eqid 2283 . . . 4  |-  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  =  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )
94 ineq1 3363 . . . . 5  |-  ( v  =  { w  e.  X  |  -.  w R z }  ->  ( v  i^i  A )  =  ( { w  e.  X  |  -.  w R z }  i^i  A ) )
9594eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( v  =  { w  e.  X  |  -.  w R z }  ->  ( ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( { w  e.  X  |  -.  w R z }  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
9693, 95ralrnmpt 5669 . . 3  |-  ( A. z  e.  X  {
w  e.  X  |  -.  w R z }  e.  _V  ->  ( A. v  e.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  <->  A. z  e.  X  ( {
w  e.  X  |  -.  w R z }  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
9792, 96syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. v  e. 
ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  A. z  e.  X  ( { w  e.  X  |  -.  w R z }  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
9886, 97mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   ` cfv 5255  ordTopcordt 13398   PosetRelcps 14301    TosetRel ctsr 14302   Topctop 16631  TopOnctopon 16632
This theorem is referenced by:  ordtrest2  16934
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-ordt 13402  df-ps 14306  df-tsr 14307  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639
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