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Theorem ordtrest2lem 17190
Description: Lemma for ordtrest2 17191. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtrest2.1  |-  X  =  dom  R
ordtrest2.2  |-  ( ph  ->  R  e.  TosetRel  )
ordtrest2.3  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
ordtrest2.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  C_  A )
Assertion
Ref Expression
ordtrest2lem  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
Distinct variable groups:    w, v, x, y, z, A    ph, v, w, x, y, z    v, R, w, x, y, z   
v, X, w, x, y, z

Proof of Theorem ordtrest2lem
StepHypRef Expression
1 inrab2 3558 . . . . 5  |-  ( { w  e.  X  |  -.  w R z }  i^i  A )  =  { w  e.  ( X  i^i  A )  |  -.  w R z }
2 ordtrest2.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
3 dfss1 3489 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  X  <->  ( X  i^i  A )  =  A )
42, 3sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  A
)  =  A )
54adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( X  i^i  A )  =  A )
6 rabeq 2894 . . . . . 6  |-  ( ( X  i^i  A )  =  A  ->  { w  e.  ( X  i^i  A
)  |  -.  w R z }  =  { w  e.  A  |  -.  w R z } )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  { w  e.  ( X  i^i  A
)  |  -.  w R z }  =  { w  e.  A  |  -.  w R z } )
81, 7syl5eq 2432 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( { w  e.  X  |  -.  w R z }  i^i  A )  =  { w  e.  A  |  -.  w R z } )
9 ordtrest2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  TosetRel  )
10 inex1g 4288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V )
12 eqid 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )
1312ordttopon 17180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  (TopOn `  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
1411, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
15 tsrps 14581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  R  e.  PosetRel )
169, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  PosetRel )
17 ordtrest2.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  dom  R
1817psssdm 14576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  C_  X )  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
1916, 2, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  =  A )
2019fveq2d 5673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (TopOn `  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (TopOn `  A
) )
2114, 20eleqtrd 2464 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  A )
)
22 toponmax 16917 . . . . . . . 8  |-  ( (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
2423adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  A  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
25 rabid2 2829 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { w  e.  A  |  -.  w R z }  <->  A. w  e.  A  -.  w R z )
26 eleq1 2448 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { w  e.  A  |  -.  w R z }  ->  ( A  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
2725, 26sylbir 205 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  A  -.  w R z  ->  ( A  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
2824, 27syl5ibcom 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( A. w  e.  A  -.  w R z  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
29 dfrex2 2663 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  A  w R z  <->  -.  A. w  e.  A  -.  w R z )
30 breq1 4157 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
w R z  <->  x R
z ) )
3130cbvrexv 2877 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  A  w R z  <->  E. x  e.  A  x R
z )
3229, 31bitr3i 243 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. w  e.  A  -.  w R z  <->  E. x  e.  A  x R
z )
33 ordttop 17187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  Top )
3411, 33syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top )
3534adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  Top )
36 0opn 16901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  Top  ->  (/)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (/)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
3837adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
x  e.  A  /\  x R z ) )  ->  (/)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
39 eleq1 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( { w  e.  A  |  -.  w R z }  =  (/)  ->  ( { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  (/) 
e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
4038, 39syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
x  e.  A  /\  x R z ) )  ->  ( { w  e.  A  |  -.  w R z }  =  (/) 
->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
41 rabn0 3591 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w  e.  A  |  -.  w R z }  =/=  (/)  <->  E. w  e.  A  -.  w R z )
42 breq1 4157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
w R z  <->  y R
z ) )
4342notbid 286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( -.  w R z  <->  -.  y R z ) )
4443cbvrexv 2877 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  e.  A  -.  w R z  <->  E. y  e.  A  -.  y R z )
4541, 44bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( { w  e.  A  |  -.  w R z }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  A  -.  y R z )
469ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  A  /\  x R z ) )  /\  y  e.  A )  ->  R  e. 
TosetRel  )
472ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
x  e.  A  /\  x R z ) )  ->  A  C_  X
)
4847sselda 3292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  A  /\  x R z ) )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  X )
49 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  A  /\  x R z ) )  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  X )
5017tsrlin 14579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y R z  \/  z R y ) )
5146, 48, 49, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  A  /\  x R z ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
y R z  \/  z R y ) )
5251ord 367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  A  /\  x R z ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  y R z  -> 
z R y ) )
53 an4 798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( x R z  /\  z R y ) ) )
54 ordtrest2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  C_  A )
55 rabss 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( { z  e.  X  | 
( x R z  /\  z R y ) }  C_  A  <->  A. z  e.  X  ( ( x R z  /\  z R y )  ->  z  e.  A ) )
5654, 55sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  A. z  e.  X  ( ( x R z  /\  z R y )  ->  z  e.  A ) )
5756r19.21bi 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( x R z  /\  z R y )  ->  z  e.  A ) )
5857an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x R z  /\  z R y )  -> 
z  e.  A ) )
5958impr 603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( x R z  /\  z R y ) ) )  ->  z  e.  A )
6053, 59sylan2b 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) ) )  ->  z  e.  A
)
61 brinxp 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( w R z  <-> 
w ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) z ) )
6261ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( w R z  <-> 
w ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) z ) )
6362notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( -.  w R z  <->  -.  w ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) z ) )
6463rabbidva 2891 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  A  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  =  { w  e.  A  |  -.  w ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) z } )
6560, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  =  { w  e.  A  |  -.  w ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) z } )
6619ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) ) )  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  =  A )
67 rabeq 2894 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A  ->  { w  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  |  -.  w ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) z }  =  { w  e.  A  |  -.  w
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) z } )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) ) )  ->  { w  e. 
dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  |  -.  w ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) z }  =  { w  e.  A  |  -.  w
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) z } )
6965, 68eqtr4d 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  =  { w  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  w ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) z } )
7011ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) ) )  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V )
7160, 66eleqtrrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) ) )  ->  z  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )
7212ordtopn1 17181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  /\  z  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  { w  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  w ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
7370, 71, 72syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) ) )  ->  { w  e. 
dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  |  -.  w ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
7469, 73eqeltrd 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
( x  e.  A  /\  x R z )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
7574anassrs 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  A  /\  x R z ) )  /\  ( y  e.  A  /\  z R y ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
7675expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  A  /\  x R z ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
z R y  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
7752, 76syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  A  /\  x R z ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  y R z  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
7877rexlimdva 2774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
x  e.  A  /\  x R z ) )  ->  ( E. y  e.  A  -.  y R z  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
7945, 78syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
x  e.  A  /\  x R z ) )  ->  ( { w  e.  A  |  -.  w R z }  =/=  (/) 
->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
8040, 79pm2.61dne 2628 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
x  e.  A  /\  x R z ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
8180rexlimdvaa 2775 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( E. x  e.  A  x R z  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
8232, 81syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( -.  A. w  e.  A  -.  w R z  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
8328, 82pm2.61d 152 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  { w  e.  A  |  -.  w R z }  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
848, 83eqeltrd 2462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( { w  e.  X  |  -.  w R z }  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
8584ralrimiva 2733 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( { w  e.  X  |  -.  w R z }  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
86 dmexg 5071 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
879, 86syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  R  e.  _V )
8817, 87syl5eqel 2472 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
89 rabexg 4295 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  { w  e.  X  |  -.  w R z }  e.  _V )
9088, 89syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  { w  e.  X  |  -.  w R z }  e.  _V )
9190ralrimivw 2734 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  { w  e.  X  |  -.  w R z }  e.  _V )
92 eqid 2388 . . . 4  |-  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  =  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )
93 ineq1 3479 . . . . 5  |-  ( v  =  { w  e.  X  |  -.  w R z }  ->  ( v  i^i  A )  =  ( { w  e.  X  |  -.  w R z }  i^i  A ) )
9493eleq1d 2454 . . . 4  |-  ( v  =  { w  e.  X  |  -.  w R z }  ->  ( ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( { w  e.  X  |  -.  w R z }  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
9592, 94ralrnmpt 5818 . . 3  |-  ( A. z  e.  X  {
w  e.  X  |  -.  w R z }  e.  _V  ->  ( A. v  e.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  <->  A. z  e.  X  ( {
w  e.  X  |  -.  w R z }  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
9691, 95syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. v  e. 
ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  A. z  e.  X  ( { w  e.  X  |  -.  w R z }  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
9785, 96mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651   {crab 2654   _Vcvv 2900    i^i cin 3263    C_ wss 3264   (/)c0 3572   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208    X. cxp 4817   dom cdm 4819   ran crn 4820   ` cfv 5395  ordTopcordt 13649   PosetRelcps 14552    TosetRel ctsr 14553   Topctop 16882  TopOnctopon 16883
This theorem is referenced by:  ordtrest2  17191
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-fin 7050  df-fi 7352  df-topgen 13595  df-ordt 13653  df-ps 14557  df-tsr 14558  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890
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