Theorem ordtri3 2983

Description: A trichotomy law for ordinals.

Assertion

Ref	Expression
ordtri3	|- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> -. (A e. B \/ B e. A)))

Proof of Theorem ordtri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1535	. . . . . . 7 |- (A = B -> (A e. A <-> A e. B))
2	1	negbid 611	. . . . . 6 |- (A = B -> (-. A e. A <-> -. A e. B))
3		ordirr 2966	. . . . . 6 |- (Ord A -> -. A e. A)
4	2, 3	syl5bi 208	. . . . 5 |- (A = B -> (Ord A -> -. A e. B))
5		eleq2 1535	. . . . . . 7 |- (A = B -> (B e. A <-> B e. B))
6	5	negbid 611	. . . . . 6 |- (A = B -> (-. B e. A <-> -. B e. B))
7		ordirr 2966	. . . . . 6 |- (Ord B -> -. B e. B)
8	6, 7	syl5bir 210	. . . . 5 |- (A = B -> (Ord B -> -. B e. A))
9	4, 8	anim12d 558	. . . 4 |- (A = B -> ((Ord A /\ Ord B) -> (-. A e. B /\ -. B e. A)))
10		ioran 306	. . . 4 |- (-. (A e. B \/ B e. A) <-> (-. A e. B /\ -. B e. A))
11	9, 10	syl6ibr 213	. . 3 |- (A = B -> ((Ord A /\ Ord B) -> -. (A e. B \/ B e. A)))
12	11	com12 11	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B -> -. (A e. B \/ B e. A)))
13		ordtri3or 2979	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B \/ A = B \/ B e. A))
14		df-3or 776	. . . 4 |- ((A e. B \/ A = B \/ B e. A) <-> ((A e. B \/ A = B) \/ B e. A))
15		or23 263	. . . 4 |- (((A e. B \/ A = B) \/ B e. A) <-> ((A e. B \/ B e. A) \/ A = B))
16		df-or 224	. . . 4 |- (((A e. B \/ B e. A) \/ A = B) <-> (-. (A e. B \/ B e. A) -> A = B))
17	14, 15, 16	3bitr 177	. . 3 |- ((A e. B \/ A = B \/ B e. A) <-> (-. (A e. B \/ B e. A) -> A = B))
18	13, 17	sylib 198	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (-. (A e. B \/ B e. A) -> A = B))
19	12, 18	impbid 516	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> -. (A e. B \/ B e. A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   \/ w3o 774   = wceq 956   e. wcel 958  Ord word 2947

This theorem is referenced by:  ordtri4 2984  ordunisuc2 3115  tz7.48lem 3955  oacan 4182  omcan 4200  oecan 4216  omsmo 4257  inf3lem6 4618  om2uzf1o 6301

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951

Copyright terms: Public domain