Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtt1 Structured version   Unicode version

Theorem ordtt1 17445
 Description: The order topology is T1 for any poset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtt1 ordTop

Proof of Theorem ordtt1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordttop 17266 . 2 ordTop
2 snssi 3944 . . . . . . . 8
32adantl 454 . . . . . . 7
4 dfss1 3547 . . . . . . 7
53, 4sylib 190 . . . . . 6
6 elsn 3831 . . . . . . . 8
7 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13
87psref 14642 . . . . . . . . . . . 12
98adantr 453 . . . . . . . . . . 11
109, 9jca 520 . . . . . . . . . 10
11 breq2 4218 . . . . . . . . . . 11
12 breq1 4217 . . . . . . . . . . 11
1311, 12anbi12d 693 . . . . . . . . . 10
1410, 13syl5ibrcom 215 . . . . . . . . 9
15 psasym 14644 . . . . . . . . . . . 12
1615eqcomd 2443 . . . . . . . . . . 11
17163expib 1157 . . . . . . . . . 10
1817ad2antrr 708 . . . . . . . . 9
1914, 18impbid 185 . . . . . . . 8
206, 19syl5bb 250 . . . . . . 7
2120rabbi2dva 3551 . . . . . 6
225, 21eqtr3d 2472 . . . . 5
237ordtcld3 17265 . . . . . 6 ordTop
24233anidm23 1244 . . . . 5 ordTop
2522, 24eqeltrd 2512 . . . 4 ordTop
2625ralrimiva 2791 . . 3 ordTop
277ordttopon 17259 . . . . 5 ordTop TopOn
28 toponuni 16994 . . . . 5 ordTop TopOn ordTop
2927, 28syl 16 . . . 4 ordTop
3029raleqdv 2912 . . 3 ordTop ordTop ordTop
3126, 30mpbid 203 . 2 ordTop ordTop
32 eqid 2438 . . 3 ordTop ordTop
3332ist1 17387 . 2 ordTop ordTop ordTop ordTop
341, 31, 33sylanbrc 647 1 ordTop
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  crab 2711   cin 3321   wss 3322  csn 3816  cuni 4017   class class class wbr 4214   cdm 4880  cfv 5456  ordTopcordt 13723  cps 14626  ctop 16960  TopOnctopon 16961  ccld 17082  ct1 17373 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-fin 7115  df-fi 7418  df-topgen 13669  df-ordt 13727  df-ps 14631  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cld 17085  df-t1 17380
 Copyright terms: Public domain W3C validator