MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtt1 Unicode version

Theorem ordtt1 17123
Description: The order topology is T1 for any poset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtt1  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Fre )

Proof of Theorem ordtt1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordttop 16946 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Top )
2 snssi 3775 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  R  ->  { x }  C_  dom  R )
32adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { x }  C_  dom  R )
4 dfss1 3386 . . . . . . 7  |-  ( { x }  C_  dom  R  <-> 
( dom  R  i^i  { x } )  =  { x } )
53, 4sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  -> 
( dom  R  i^i  { x } )  =  { x } )
6 elsn 3668 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { x }  <->  y  =  x )
7 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  R  =  dom  R
87psref 14333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  x R x )
98adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  x R x )
109, 9jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( x R x  /\  x R x ) )
11 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
x R y  <->  x R x ) )
12 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y R x  <->  x R x ) )
1311, 12anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( x R y  /\  y R x )  <->  ( x R x  /\  x R x ) ) )
1410, 13syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( y  =  x  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
15 psasym 14335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
1615eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x R y  /\  y R x )  -> 
y  =  x )
17163expib 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x R y  /\  y R x )  -> 
y  =  x ) )
1817ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( (
x R y  /\  y R x )  -> 
y  =  x ) )
1914, 18impbid 183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( y  =  x  <->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
206, 19syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( y  e.  { x }  <->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
2120rabbi2dva 3390 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  -> 
( dom  R  i^i  { x } )  =  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) } )
225, 21eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { x }  =  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) } )
237ordtcld3 16945 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R  /\  x  e.  dom  R )  ->  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
24233anidm23 1241 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
2522, 24eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
2625ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  dom  R { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
277ordttopon 16939 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R ) )
28 toponuni 16681 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R )  ->  dom  R  =  U. (ordTop `  R ) )
2927, 28syl 15 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  =  U. (ordTop `  R )
)
3029raleqdv 2755 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( A. x  e.  dom  R { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R )
)  <->  A. x  e.  U. (ordTop `  R ) { x }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) ) ) )
3126, 30mpbid 201 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  U. (ordTop `  R ) { x }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
32 eqid 2296 . . 3  |-  U. (ordTop `  R )  =  U. (ordTop `  R )
3332ist1 17065 . 2  |-  ( (ordTop `  R )  e.  Fre  <->  (
(ordTop `  R )  e.  Top  /\  A. x  e.  U. (ordTop `  R
) { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) ) )
341, 31, 33sylanbrc 645 1  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Fre )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {csn 3653   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   ` cfv 5271  ordTopcordt 13414   PosetRelcps 14317   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   Clsdccld 16769   Frect1 17051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-ordt 13418  df-ps 14322  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-t1 17058
  Copyright terms: Public domain W3C validator