MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtt1 Unicode version

Theorem ordtt1 17107
Description: The order topology is T1 for any poset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtt1  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Fre )

Proof of Theorem ordtt1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordttop 16930 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Top )
2 snssi 3759 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  R  ->  { x }  C_  dom  R )
32adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { x }  C_  dom  R )
4 dfss1 3373 . . . . . . 7  |-  ( { x }  C_  dom  R  <-> 
( dom  R  i^i  { x } )  =  { x } )
53, 4sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  -> 
( dom  R  i^i  { x } )  =  { x } )
6 elsn 3655 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { x }  <->  y  =  x )
7 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  R  =  dom  R
87psref 14317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  x R x )
98adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  x R x )
109, 9jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( x R x  /\  x R x ) )
11 breq2 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
x R y  <->  x R x ) )
12 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y R x  <->  x R x ) )
1311, 12anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( x R y  /\  y R x )  <->  ( x R x  /\  x R x ) ) )
1410, 13syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( y  =  x  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
15 psasym 14319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
1615eqcomd 2288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x R y  /\  y R x )  -> 
y  =  x )
17163expib 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x R y  /\  y R x )  -> 
y  =  x ) )
1817ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( (
x R y  /\  y R x )  -> 
y  =  x ) )
1914, 18impbid 183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( y  =  x  <->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
206, 19syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( y  e.  { x }  <->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
2120rabbi2dva 3377 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  -> 
( dom  R  i^i  { x } )  =  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) } )
225, 21eqtr3d 2317 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { x }  =  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) } )
237ordtcld3 16929 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R  /\  x  e.  dom  R )  ->  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
24233anidm23 1241 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
2522, 24eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
2625ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  dom  R { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
277ordttopon 16923 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R ) )
28 toponuni 16665 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R )  ->  dom  R  =  U. (ordTop `  R ) )
2927, 28syl 15 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  =  U. (ordTop `  R )
)
3029raleqdv 2742 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( A. x  e.  dom  R { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R )
)  <->  A. x  e.  U. (ordTop `  R ) { x }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) ) ) )
3126, 30mpbid 201 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  U. (ordTop `  R ) { x }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
32 eqid 2283 . . 3  |-  U. (ordTop `  R )  =  U. (ordTop `  R )
3332ist1 17049 . 2  |-  ( (ordTop `  R )  e.  Fre  <->  (
(ordTop `  R )  e.  Top  /\  A. x  e.  U. (ordTop `  R
) { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) ) )
341, 31, 33sylanbrc 645 1  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Fre )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ` cfv 5255  ordTopcordt 13398   PosetRelcps 14301   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753   Frect1 17035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-ordt 13402  df-ps 14306  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-t1 17042
  Copyright terms: Public domain W3C validator