MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtt1 Structured version   Unicode version

Theorem ordtt1 17445
Description: The order topology is T1 for any poset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtt1  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Fre )

Proof of Theorem ordtt1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordttop 17266 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Top )
2 snssi 3944 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  R  ->  { x }  C_  dom  R )
32adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { x }  C_  dom  R )
4 dfss1 3547 . . . . . . 7  |-  ( { x }  C_  dom  R  <-> 
( dom  R  i^i  { x } )  =  { x } )
53, 4sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  -> 
( dom  R  i^i  { x } )  =  { x } )
6 elsn 3831 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { x }  <->  y  =  x )
7 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  R  =  dom  R
87psref 14642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  x R x )
98adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  x R x )
109, 9jca 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( x R x  /\  x R x ) )
11 breq2 4218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
x R y  <->  x R x ) )
12 breq1 4217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y R x  <->  x R x ) )
1311, 12anbi12d 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( x R y  /\  y R x )  <->  ( x R x  /\  x R x ) ) )
1410, 13syl5ibrcom 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( y  =  x  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
15 psasym 14644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
1615eqcomd 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x R y  /\  y R x )  -> 
y  =  x )
17163expib 1157 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x R y  /\  y R x )  -> 
y  =  x ) )
1817ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( (
x R y  /\  y R x )  -> 
y  =  x ) )
1914, 18impbid 185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( y  =  x  <->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
206, 19syl5bb 250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( y  e.  { x }  <->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
2120rabbi2dva 3551 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  -> 
( dom  R  i^i  { x } )  =  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) } )
225, 21eqtr3d 2472 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { x }  =  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) } )
237ordtcld3 17265 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R  /\  x  e.  dom  R )  ->  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
24233anidm23 1244 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
2522, 24eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
2625ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  dom  R { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
277ordttopon 17259 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R ) )
28 toponuni 16994 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R )  ->  dom  R  =  U. (ordTop `  R ) )
2927, 28syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  =  U. (ordTop `  R )
)
3029raleqdv 2912 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( A. x  e.  dom  R { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R )
)  <->  A. x  e.  U. (ordTop `  R ) { x }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) ) ) )
3126, 30mpbid 203 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  U. (ordTop `  R ) { x }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
32 eqid 2438 . . 3  |-  U. (ordTop `  R )  =  U. (ordTop `  R )
3332ist1 17387 . 2  |-  ( (ordTop `  R )  e.  Fre  <->  (
(ordTop `  R )  e.  Top  /\  A. x  e.  U. (ordTop `  R
) { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) ) )
341, 31, 33sylanbrc 647 1  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Fre )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711    i^i cin 3321    C_ wss 3322   {csn 3816   U.cuni 4017   class class class wbr 4214   dom cdm 4880   ` cfv 5456  ordTopcordt 13723   PosetRelcps 14626   Topctop 16960  TopOnctopon 16961   Clsdccld 17082   Frect1 17373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-fin 7115  df-fi 7418  df-topgen 13669  df-ordt 13727  df-ps 14631  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cld 17085  df-t1 17380
  Copyright terms: Public domain W3C validator