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Theorem ordtuni 16936
Description: Value of the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtval.1  |-  X  =  dom  R
ordtval.2  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
ordtval.3  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
Assertion
Ref Expression
ordtuni  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, X, y    x, V
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    V( y)

Proof of Theorem ordtuni
StepHypRef Expression
1 ordtval.1 . . . . . 6  |-  X  =  dom  R
2 dmexg 4955 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  dom  R  e.  _V )
31, 2syl5eqel 2380 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  X  e.  _V )
4 unisng 3860 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  U. { X }  =  X
)
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  U. { X }  =  X
)
65uneq1d 3341 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  ( U. { X }  u.  U. ( A  u.  B
) )  =  ( X  u.  U. ( A  u.  B )
) )
7 ordtval.2 . . . . . . 7  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
8 ssrab2 3271 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X
93adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  X  e.  _V )
10 elpw2g 4190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  _V  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X ) )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X )
)
128, 11mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X
)
13 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
1412, 13fmptd 5700 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) : X --> ~P X
)
15 frn 5411 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) : X --> ~P X  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) 
C_  ~P X )
1614, 15syl 15 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  V  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  C_  ~P X )
177, 16syl5eqss 3235 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  A  C_ 
~P X )
18 ordtval.3 . . . . . . 7  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
19 ssrab2 3271 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  X  |  -.  x R y }  C_  X
20 elpw2g 4190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  _V  ->  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  x R y } 
C_  X ) )
219, 20syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  C_  X )
)
2219, 21mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  ~P X
)
23 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
2422, 23fmptd 5700 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) : X --> ~P X
)
25 frn 5411 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) : X --> ~P X  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) 
C_  ~P X )
2624, 25syl 15 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  V  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  C_  ~P X )
2718, 26syl5eqss 3235 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  B  C_ 
~P X )
2817, 27unssd 3364 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  ( A  u.  B )  C_ 
~P X )
29 sspwuni 4003 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ~P X  <->  U. ( A  u.  B )  C_  X )
3028, 29sylib 188 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  U. ( A  u.  B )  C_  X )
31 ssequn2 3361 . . . 4  |-  ( U. ( A  u.  B
)  C_  X  <->  ( X  u.  U. ( A  u.  B ) )  =  X )
3230, 31sylib 188 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  ( X  u.  U. ( A  u.  B )
)  =  X )
336, 32eqtr2d 2329 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  ( U. { X }  u.  U. ( A  u.  B )
) )
34 uniun 3862 . 2  |-  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B )
)  =  ( U. { X }  u.  U. ( A  u.  B
) )
3533, 34syl6eqr 2346 1  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706   -->wf 5267
This theorem is referenced by:  ordtbas2  16937  ordtbas  16938  ordttopon  16939  ordtopn1  16940  ordtopn2  16941  ordtrest2  16950  ordthmeolem  17508
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279
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