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Theorem ordtuni 16920
Description: Value of the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtval.1  |-  X  =  dom  R
ordtval.2  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
ordtval.3  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
Assertion
Ref Expression
ordtuni  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, X, y    x, V
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    V( y)

Proof of Theorem ordtuni
StepHypRef Expression
1 ordtval.1 . . . . . 6  |-  X  =  dom  R
2 dmexg 4939 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  dom  R  e.  _V )
31, 2syl5eqel 2367 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  X  e.  _V )
4 unisng 3844 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  U. { X }  =  X
)
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  U. { X }  =  X
)
65uneq1d 3328 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  ( U. { X }  u.  U. ( A  u.  B
) )  =  ( X  u.  U. ( A  u.  B )
) )
7 ordtval.2 . . . . . . 7  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
8 ssrab2 3258 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X
93adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  X  e.  _V )
10 elpw2g 4174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  _V  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X ) )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X )
)
128, 11mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X
)
13 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
1412, 13fmptd 5684 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) : X --> ~P X
)
15 frn 5395 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) : X --> ~P X  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) 
C_  ~P X )
1614, 15syl 15 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  V  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  C_  ~P X )
177, 16syl5eqss 3222 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  A  C_ 
~P X )
18 ordtval.3 . . . . . . 7  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
19 ssrab2 3258 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  X  |  -.  x R y }  C_  X
20 elpw2g 4174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  _V  ->  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  x R y } 
C_  X ) )
219, 20syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  C_  X )
)
2219, 21mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  ~P X
)
23 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
2422, 23fmptd 5684 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) : X --> ~P X
)
25 frn 5395 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) : X --> ~P X  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) 
C_  ~P X )
2624, 25syl 15 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  V  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  C_  ~P X )
2718, 26syl5eqss 3222 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  B  C_ 
~P X )
2817, 27unssd 3351 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  ( A  u.  B )  C_ 
~P X )
29 sspwuni 3987 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ~P X  <->  U. ( A  u.  B )  C_  X )
3028, 29sylib 188 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  U. ( A  u.  B )  C_  X )
31 ssequn2 3348 . . . 4  |-  ( U. ( A  u.  B
)  C_  X  <->  ( X  u.  U. ( A  u.  B ) )  =  X )
3230, 31sylib 188 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  ( X  u.  U. ( A  u.  B )
)  =  X )
336, 32eqtr2d 2316 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  ( U. { X }  u.  U. ( A  u.  B )
) )
34 uniun 3846 . 2  |-  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B )
)  =  ( U. { X }  u.  U. ( A  u.  B
) )
3533, 34syl6eqr 2333 1  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690   -->wf 5251
This theorem is referenced by:  ordtbas2  16921  ordtbas  16922  ordttopon  16923  ordtopn1  16924  ordtopn2  16925  ordtrest2  16934  ordthmeolem  17492
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263
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