MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtval Structured version   Unicode version

Theorem ordtval 17253
Description: Value of the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtval.1  |-  X  =  dom  R
ordtval.2  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
ordtval.3  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
Assertion
Ref Expression
ordtval  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, X, y    x, V
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    V( y)

Proof of Theorem ordtval
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2964 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  R  e.  _V )
2 dmeq 5070 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  dom  r  =  dom  R )
3 ordtval.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  dom  R
42, 3syl6eqr 2486 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  dom  r  =  X )
54sneqd 3827 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  { dom  r }  =  { X } )
6 rnun 5280 . . . . . . 7  |-  ran  (
( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  y r x }
)  u.  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x r y } ) )  =  ( ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x } )  u.  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  x r y } ) )
7 breq 4214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
y r x  <->  y R x ) )
87notbid 286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  ( -.  y r x  <->  -.  y R x ) )
94, 8rabeqbidv 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x }  =  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
104, 9mpteq12dv 4287 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y
r x } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) )
1110rneqd 5097 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  y r x }
)  =  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) )
12 ordtval.2 . . . . . . . . 9  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
1311, 12syl6eqr 2486 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  y r x }
)  =  A )
14 breq 4214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
x r y  <->  x R
y ) )
1514notbid 286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  ( -.  x r y  <->  -.  x R y ) )
164, 15rabeqbidv 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  { y  e.  dom  r  |  -.  x r y }  =  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
174, 16mpteq12dv 4287 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
1817rneqd 5097 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  x r y } )  =  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
19 ordtval.3 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
2018, 19syl6eqr 2486 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  x r y } )  =  B )
2113, 20uneq12d 3502 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  y r x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } ) )  =  ( A  u.  B ) )
226, 21syl5eq 2480 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x } )  u.  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } ) )  =  ( A  u.  B ) )
235, 22uneq12d 3502 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( { dom  r }  u.  ran  ( ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x } )  u.  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } ) ) )  =  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )
2423fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( fi `  ( { dom  r }  u.  ran  ( ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x } )  u.  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } ) ) ) )  =  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
2524fveq2d 5732 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { dom  r }  u.  ran  ( ( x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y
r x } )  u.  ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x r y } ) ) ) ) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
26 df-ordt 13725 . . 3  |- ordTop  =  ( r  e.  _V  |->  (
topGen `  ( fi `  ( { dom  r }  u.  ran  ( ( x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y
r x } )  u.  ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x r y } ) ) ) ) ) )
27 fvex 5742 . . 3  |-  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )  e. 
_V
2825, 26, 27fvmpt 5806 . 2  |-  ( R  e.  _V  ->  (ordTop `  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
291, 28syl 16 1  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   _Vcvv 2956    u. cun 3318   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ran crn 4879   ` cfv 5454   ficfi 7415   topGenctg 13665  ordTopcordt 13721
This theorem is referenced by:  ordttopon  17257  ordtopn1  17258  ordtopn2  17259  ordtcnv  17265  ordtrest  17266  ordtrest2  17268  leordtval2  17276  ordthmeolem  17833
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ordt 13725
  Copyright terms: Public domain W3C validator