MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtval Unicode version

Theorem ordtval 16935
Description: Value of the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtval.1  |-  X  =  dom  R
ordtval.2  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
ordtval.3  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
Assertion
Ref Expression
ordtval  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, X, y    x, V
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    V( y)

Proof of Theorem ordtval
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  R  e.  _V )
2 dmeq 4895 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  dom  r  =  dom  R )
3 ordtval.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  dom  R
42, 3syl6eqr 2346 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  dom  r  =  X )
54sneqd 3666 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  { dom  r }  =  { X } )
6 rnun 5105 . . . . . . 7  |-  ran  (
( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  y r x }
)  u.  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x r y } ) )  =  ( ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x } )  u.  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  x r y } ) )
7 breq 4041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
y r x  <->  y R x ) )
87notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  ( -.  y r x  <->  -.  y R x ) )
94, 8rabeqbidv 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x }  =  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
104, 9mpteq12dv 4114 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y
r x } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) )
1110rneqd 4922 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  y r x }
)  =  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) )
12 ordtval.2 . . . . . . . . 9  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
1311, 12syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  y r x }
)  =  A )
14 breq 4041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
x r y  <->  x R
y ) )
1514notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  ( -.  x r y  <->  -.  x R y ) )
164, 15rabeqbidv 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  { y  e.  dom  r  |  -.  x r y }  =  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
174, 16mpteq12dv 4114 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
1817rneqd 4922 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  x r y } )  =  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
19 ordtval.3 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
2018, 19syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  x r y } )  =  B )
2113, 20uneq12d 3343 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  y r x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } ) )  =  ( A  u.  B ) )
226, 21syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x } )  u.  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } ) )  =  ( A  u.  B ) )
235, 22uneq12d 3343 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( { dom  r }  u.  ran  ( ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x } )  u.  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } ) ) )  =  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )
2423fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( fi `  ( { dom  r }  u.  ran  ( ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x } )  u.  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } ) ) ) )  =  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
2524fveq2d 5545 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { dom  r }  u.  ran  ( ( x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y
r x } )  u.  ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x r y } ) ) ) ) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
26 df-ordt 13418 . . 3  |- ordTop  =  ( r  e.  _V  |->  (
topGen `  ( fi `  ( { dom  r }  u.  ran  ( ( x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y
r x } )  u.  ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x r y } ) ) ) ) ) )
27 fvex 5555 . . 3  |-  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )  e. 
_V
2825, 26, 27fvmpt 5618 . 2  |-  ( R  e.  _V  ->  (ordTop `  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
291, 28syl 15 1  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801    u. cun 3163   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706   ` cfv 5271   ficfi 7180   topGenctg 13358  ordTopcordt 13414
This theorem is referenced by:  ordttopon  16939  ordtopn1  16940  ordtopn2  16941  ordtcnv  16947  ordtrest  16948  ordtrest2  16950  leordtval2  16958  ordthmeolem  17508
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ordt 13418
  Copyright terms: Public domain W3C validator