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Theorem ordtypelem3 7481
Description: Lemma for ordtype 7493. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1  |-  F  = recs ( G )
ordtypelem.2  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
ordtypelem.3  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v ) )
ordtypelem.5  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
ordtypelem.6  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
ordtypelem.7  |-  ( ph  ->  R  We  A )
ordtypelem.8  |-  ( ph  ->  R Se  A )
Assertion
Ref Expression
ordtypelem3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  e.  { v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
Distinct variable groups:    v, u, C    h, j, t, u, v, w, x, z, M    R, h, j, t, u, v, w, x, z    A, h, j, t, u, v, w, x, z    t, O, u, v, x    ph, t, x    h, F, j, t, u, v, w, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w, v, u, h, j)    C( x, z, w, t, h, j)    T( x, z, w, v, u, t, h, j)    G( x, z, w, v, u, t, h, j)    O( z, w, h, j)

Proof of Theorem ordtypelem3
StepHypRef Expression
1 inss2 3554 . . . . 5  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
2 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  M  e.  ( T  i^i  dom  F ) )
31, 2sseldi 3338 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  M  e.  dom  F )
4 ordtypelem.1 . . . . 5  |-  F  = recs ( G )
54tfr2a 6648 . . . 4  |-  ( M  e.  dom  F  -> 
( F `  M
)  =  ( G `
 ( F  |`  M ) ) )
63, 5syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  =  ( G `  ( F  |`  M ) ) )
74tfr1a 6647 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  /\  Lim  dom  F
)
87simpri 449 . . . . . . . 8  |-  Lim  dom  F
9 limord 4632 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
dom  F  ->  Ord  dom  F )
108, 9ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  Ord  dom  F
11 ordelord 4595 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  M  e.  dom  F )  ->  Ord  M )
1210, 3, 11sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  Ord  M )
134tfr2b 6649 . . . . . 6  |-  ( Ord 
M  ->  ( M  e.  dom  F  <->  ( F  |`  M )  e.  _V ) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( M  e.  dom  F  <->  ( F  |`  M )  e.  _V ) )
153, 14mpbid 202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F  |`  M )  e. 
_V )
16 ordtypelem.2 . . . . . . 7  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
17 rneq 5087 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ran  h  =  ran  ( F  |`  M ) )
18 df-ima 4883 . . . . . . . . . 10  |-  ( F
" M )  =  ran  ( F  |`  M )
1917, 18syl6eqr 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ran  h  =  ( F " M ) )
2019raleqdv 2902 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ( A. j  e.  ran  h  j R w  <->  A. j  e.  ( F " M ) j R w ) )
2120rabbidv 2940 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }
)
2216, 21syl5eq 2479 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }
)
2322raleqdv 2902 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ( A. u  e.  C  -.  u R v  <->  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
2422, 23riotaeqbidv 6544 . . . . 5  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v )  =  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
25 ordtypelem.3 . . . . 5  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v ) )
26 riotaex 6545 . . . . 5  |-  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )  e.  _V
2724, 25, 26fvmpt 5798 . . . 4  |-  ( ( F  |`  M )  e.  _V  ->  ( G `  ( F  |`  M ) )  =  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
2815, 27syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( G `  ( F  |`  M ) )  =  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
296, 28eqtrd 2467 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  =  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
30 ordtypelem.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  We  A )
3130adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  R  We  A )
32 ordtypelem.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R Se  A )
3332adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  R Se  A )
34 ssrab2 3420 . . . . 5  |-  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  C_  A
3534a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  C_  A
)
36 inss1 3553 . . . . . . . 8  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_  T
3736, 2sseldi 3338 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  M  e.  T )
38 imaeq2 5191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  ( F " x )  =  ( F " M
) )
3938raleqdv 2902 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  ( A. z  e.  ( F " x ) z R t  <->  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
4039rexbidv 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  ( E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t  <->  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
41 ordtypelem.5 . . . . . . . . 9  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
4240, 41elrab2 3086 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  T  <->  ( M  e.  On  /\  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
4342simprbi 451 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  T  ->  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M
) z R t )
4437, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M
) z R t )
45 breq1 4207 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  z  ->  (
j R w  <->  z R w ) )
4645cbvralv 2924 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  ( F " M ) j R w  <->  A. z  e.  ( F " M ) z R w )
47 breq2 4208 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  t  ->  (
z R w  <->  z R
t ) )
4847ralbidv 2717 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  t  ->  ( A. z  e.  ( F " M ) z R w  <->  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
4946, 48syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( w  =  t  ->  ( A. j  e.  ( F " M ) j R w  <->  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
5049cbvrexv 2925 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  A  A. j  e.  ( F " M ) j R w  <->  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M ) z R t )
5144, 50sylibr 204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  E. w  e.  A  A. j  e.  ( F " M
) j R w )
52 rabn0 3639 . . . . 5  |-  ( { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  =/=  (/)  <->  E. w  e.  A  A. j  e.  ( F " M ) j R w )
5351, 52sylibr 204 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  =/=  (/) )
54 wereu2 4571 . . . 4  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w }  C_  A  /\  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  =/=  (/) ) )  ->  E! v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )
5531, 33, 35, 53, 54syl22anc 1185 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  E! v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )
56 riotacl2 6555 . . 3  |-  ( E! v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v  -> 
( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )  e. 
{ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
5755, 56syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )  e.  { v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
5829, 57eqeltrd 2509 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  e.  { v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   E!wreu 2699   {crab 2701   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   Se wse 4531    We wwe 4532   Ord word 4572   Oncon0 4573   Lim wlim 4574   dom cdm 4870   ran crn 4871    |` cres 4872   "cima 4873   Fun wfun 5440   ` cfv 5446   iota_crio 6534  recscrecs 6624  OrdIsocoi 7470
This theorem is referenced by:  ordtypelem4  7482  ordtypelem6  7484  ordtypelem7  7485
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-riota 6541  df-recs 6625
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