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Theorem ordtypelem3 7251
Description: Lemma for ordtype 7263. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1  |-  F  = recs ( G )
ordtypelem.2  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
ordtypelem.3  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v ) )
ordtypelem.5  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
ordtypelem.6  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
ordtypelem.7  |-  ( ph  ->  R  We  A )
ordtypelem.8  |-  ( ph  ->  R Se  A )
Assertion
Ref Expression
ordtypelem3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  e.  { v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
Distinct variable groups:    v, u, C    h, j, t, u, v, w, x, z, M    R, h, j, t, u, v, w, x, z    A, h, j, t, u, v, w, x, z    t, O, u, v, x    ph, t, x    h, F, j, t, u, v, w, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w, v, u, h, j)    C( x, z, w, t, h, j)    T( x, z, w, v, u, t, h, j)    G( x, z, w, v, u, t, h, j)    O( z, w, h, j)

Proof of Theorem ordtypelem3
StepHypRef Expression
1 inss2 3403 . . . . 5  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
2 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  M  e.  ( T  i^i  dom  F ) )
31, 2sseldi 3191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  M  e.  dom  F )
4 ordtypelem.1 . . . . 5  |-  F  = recs ( G )
54tfr2a 6427 . . . 4  |-  ( M  e.  dom  F  -> 
( F `  M
)  =  ( G `
 ( F  |`  M ) ) )
63, 5syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  =  ( G `  ( F  |`  M ) ) )
74tfr1a 6426 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  /\  Lim  dom  F
)
87simpri 448 . . . . . . . 8  |-  Lim  dom  F
9 limord 4467 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
dom  F  ->  Ord  dom  F )
108, 9ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  Ord  dom  F
11 ordelord 4430 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  M  e.  dom  F )  ->  Ord  M )
1210, 3, 11sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  Ord  M )
134tfr2b 6428 . . . . . 6  |-  ( Ord 
M  ->  ( M  e.  dom  F  <->  ( F  |`  M )  e.  _V ) )
1412, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( M  e.  dom  F  <->  ( F  |`  M )  e.  _V ) )
153, 14mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F  |`  M )  e. 
_V )
16 ordtypelem.2 . . . . . . 7  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
17 rneq 4920 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ran  h  =  ran  ( F  |`  M ) )
18 df-ima 4718 . . . . . . . . . 10  |-  ( F
" M )  =  ran  ( F  |`  M )
1917, 18syl6eqr 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ran  h  =  ( F " M ) )
2019raleqdv 2755 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ( A. j  e.  ran  h  j R w  <->  A. j  e.  ( F " M ) j R w ) )
2120rabbidv 2793 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }
)
2216, 21syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }
)
2322raleqdv 2755 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ( A. u  e.  C  -.  u R v  <->  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
2422, 23riotaeqbidv 6323 . . . . 5  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v )  =  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
25 ordtypelem.3 . . . . 5  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v ) )
26 riotaex 6324 . . . . 5  |-  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )  e.  _V
2724, 25, 26fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( ( F  |`  M )  e.  _V  ->  ( G `  ( F  |`  M ) )  =  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
2815, 27syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( G `  ( F  |`  M ) )  =  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
296, 28eqtrd 2328 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  =  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
30 ordtypelem.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  We  A )
3130adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  R  We  A )
32 ordtypelem.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R Se  A )
3332adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  R Se  A )
34 ssrab2 3271 . . . . 5  |-  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  C_  A
3534a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  C_  A
)
36 inss1 3402 . . . . . . . 8  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_  T
3736, 2sseldi 3191 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  M  e.  T )
38 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  ( F " x )  =  ( F " M
) )
3938raleqdv 2755 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  ( A. z  e.  ( F " x ) z R t  <->  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
4039rexbidv 2577 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  ( E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t  <->  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
41 ordtypelem.5 . . . . . . . . 9  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
4240, 41elrab2 2938 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  T  <->  ( M  e.  On  /\  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
4342simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  T  ->  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M
) z R t )
4437, 43syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M
) z R t )
45 breq1 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  z  ->  (
j R w  <->  z R w ) )
4645cbvralv 2777 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  ( F " M ) j R w  <->  A. z  e.  ( F " M ) z R w )
47 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  t  ->  (
z R w  <->  z R
t ) )
4847ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  t  ->  ( A. z  e.  ( F " M ) z R w  <->  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
4946, 48syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( w  =  t  ->  ( A. j  e.  ( F " M ) j R w  <->  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
5049cbvrexv 2778 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  A  A. j  e.  ( F " M ) j R w  <->  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M ) z R t )
5144, 50sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  E. w  e.  A  A. j  e.  ( F " M
) j R w )
52 rabn0 3487 . . . . 5  |-  ( { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  =/=  (/)  <->  E. w  e.  A  A. j  e.  ( F " M ) j R w )
5351, 52sylibr 203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  =/=  (/) )
54 wereu2 4406 . . . 4  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w }  C_  A  /\  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  =/=  (/) ) )  ->  E! v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )
5531, 33, 35, 53, 54syl22anc 1183 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  E! v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )
56 riotacl2 6334 . . 3  |-  ( E! v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v  -> 
( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )  e. 
{ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
5755, 56syl 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )  e.  { v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
5829, 57eqeltrd 2370 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  e.  { v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   E!wreu 2558   {crab 2560   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   Se wse 4366    We wwe 4367   Ord word 4407   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708   Fun wfun 5265   ` cfv 5271   iota_crio 6313  recscrecs 6403  OrdIsocoi 7240
This theorem is referenced by:  ordtypelem4  7252  ordtypelem6  7254  ordtypelem7  7255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 6320  df-recs 6404
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