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Theorem ordtypelem6 7484
Description: Lemma for ordtype 7493. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1  |-  F  = recs ( G )
ordtypelem.2  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
ordtypelem.3  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v ) )
ordtypelem.5  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
ordtypelem.6  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
ordtypelem.7  |-  ( ph  ->  R  We  A )
ordtypelem.8  |-  ( ph  ->  R Se  A )
Assertion
Ref Expression
ordtypelem6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  ( N  e.  M  ->  ( O `  N ) R ( O `  M ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, C    h, j, t, u, v, w, x, z, M    j, N, u, w    R, h, j, t, u, v, w, x, z    A, h, j, t, u, v, w, x, z    t, O, u, v, x    ph, t, x    h, F, j, t, u, v, w, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w, v, u, h, j)    C( x, z, w, t, h, j)    T( x, z, w, v, u, t, h, j)    G( x, z, w, v, u, t, h, j)    N( x, z, v, t, h)    O( z, w, h, j)

Proof of Theorem ordtypelem6
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 734 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  N  e.  M )
2 ssrab2 3420 . . . . . . . 8  |-  { v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } 
C_  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w }
3 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  M  e.  dom  O )
4 ordtypelem.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  = recs ( G )
5 ordtypelem.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
6 ordtypelem.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v ) )
7 ordtypelem.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
8 ordtypelem.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
9 ordtypelem.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  We  A )
10 ordtypelem.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R Se  A )
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10ordtypelem4 7482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  O : ( T  i^i  dom  F ) --> A )
12 fdm 5587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( O : ( T  i^i  dom 
F ) --> A  ->  dom  O  =  ( T  i^i  dom  F )
)
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  O  =  ( T  i^i  dom  F
) )
1413adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  dom  O  =  ( T  i^i  dom 
F ) )
153, 14eleqtrd 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  M  e.  ( T  i^i  dom  F ) )
164, 5, 6, 7, 8, 9, 10ordtypelem3 7481 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  e.  { v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
1715, 16syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  ( F `  M )  e.  { v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
182, 17sseldi 3338 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  ( F `  M )  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }
)
19 breq2 4208 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( F `  M )  ->  (
j R w  <->  j R
( F `  M
) ) )
2019ralbidv 2717 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( F `  M )  ->  ( A. j  e.  ( F " M ) j R w  <->  A. j  e.  ( F " M
) j R ( F `  M ) ) )
2120elrab 3084 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  M )  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w }  <->  ( ( F `
 M )  e.  A  /\  A. j  e.  ( F " M
) j R ( F `  M ) ) )
2221simprbi 451 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  M )  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w }  ->  A. j  e.  ( F " M
) j R ( F `  M ) )
2318, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  A. j  e.  ( F " M
) j R ( F `  M ) )
244tfr1a 6647 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  /\  Lim  dom  F
)
2524simpli 445 . . . . . . . 8  |-  Fun  F
26 funfn 5474 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
2725, 26mpbi 200 . . . . . . 7  |-  F  Fn  dom  F
2824simpri 449 . . . . . . . . 9  |-  Lim  dom  F
29 limord 4632 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
dom  F  ->  Ord  dom  F )
3028, 29ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  Ord  dom  F
31 inss2 3554 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
3213, 31syl6eqss 3390 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  O  C_  dom  F )
3332sselda 3340 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  M  e.  dom  F )
34 ordelss 4589 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  M  e.  dom  F )  ->  M  C_  dom  F )
3530, 33, 34sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  M  C_ 
dom  F )
36 breq1 4207 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( F `  a )  ->  (
j R ( F `
 M )  <->  ( F `  a ) R ( F `  M ) ) )
3736ralima 5970 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  dom  F  /\  M  C_  dom  F
)  ->  ( A. j  e.  ( F " M ) j R ( F `  M
)  <->  A. a  e.  M  ( F `  a ) R ( F `  M ) ) )
3827, 35, 37sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  ( A. j  e.  ( F " M ) j R ( F `  M )  <->  A. a  e.  M  ( F `  a ) R ( F `  M ) ) )
3923, 38mpbid 202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  A. a  e.  M  ( F `  a ) R ( F `  M ) )
4039adantrr 698 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  A. a  e.  M  ( F `  a ) R ( F `  M ) )
41 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  ( F `  a )  =  ( F `  N ) )
4241breq1d 4214 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
( F `  a
) R ( F `
 M )  <->  ( F `  N ) R ( F `  M ) ) )
4342rspcv 3040 . . . 4  |-  ( N  e.  M  ->  ( A. a  e.  M  ( F `  a ) R ( F `  M )  ->  ( F `  N ) R ( F `  M ) ) )
441, 40, 43sylc 58 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( F `  N
) R ( F `
 M ) )
454, 5, 6, 7, 8, 9, 10ordtypelem1 7479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  =  ( F  |`  T ) )
4645adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  O  =  ( F  |`  T ) )
4746fveq1d 5722 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( O `  N
)  =  ( ( F  |`  T ) `  N ) )
484, 5, 6, 7, 8, 9, 10ordtypelem2 7480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Ord  T )
4948adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  Ord  T )
50 inss1 3553 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_  T
5113, 50syl6eqss 3390 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  O  C_  T
)
5251sselda 3340 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  M  e.  T )
5352adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  M  e.  T )
54 ordelss 4589 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  T  /\  M  e.  T )  ->  M  C_  T )
5549, 53, 54syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  M  C_  T )
5655, 1sseldd 3341 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  N  e.  T )
57 fvres 5737 . . . . 5  |-  ( N  e.  T  ->  (
( F  |`  T ) `
 N )  =  ( F `  N
) )
5856, 57syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( ( F  |`  T ) `  N
)  =  ( F `
 N ) )
5947, 58eqtrd 2467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( O `  N
)  =  ( F `
 N ) )
6046fveq1d 5722 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( O `  M
)  =  ( ( F  |`  T ) `  M ) )
61 fvres 5737 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  ->  (
( F  |`  T ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
6253, 61syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( ( F  |`  T ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
6360, 62eqtrd 2467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( O `  M
)  =  ( F `
 M ) )
6444, 59, 633brtr4d 4234 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( O `  N
) R ( O `
 M ) )
6564expr 599 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  ( N  e.  M  ->  ( O `  N ) R ( O `  M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   Se wse 4531    We wwe 4532   Ord word 4572   Oncon0 4573   Lim wlim 4574   dom cdm 4870   ran crn 4871    |` cres 4872   "cima 4873   Fun wfun 5440    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446   iota_crio 6534  recscrecs 6624  OrdIsocoi 7470
This theorem is referenced by:  ordtypelem8  7486
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-riota 6541  df-recs 6625  df-oi 7471
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