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Theorem ordtypelem6 7254
Description: Lemma for ordtype 7263. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1  |-  F  = recs ( G )
ordtypelem.2  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
ordtypelem.3  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v ) )
ordtypelem.5  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
ordtypelem.6  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
ordtypelem.7  |-  ( ph  ->  R  We  A )
ordtypelem.8  |-  ( ph  ->  R Se  A )
Assertion
Ref Expression
ordtypelem6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  ( N  e.  M  ->  ( O `  N ) R ( O `  M ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, C    h, j, t, u, v, w, x, z, M    j, N, u, w    R, h, j, t, u, v, w, x, z    A, h, j, t, u, v, w, x, z    t, O, u, v, x    ph, t, x    h, F, j, t, u, v, w, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w, v, u, h, j)    C( x, z, w, t, h, j)    T( x, z, w, v, u, t, h, j)    G( x, z, w, v, u, t, h, j)    N( x, z, v, t, h)    O( z, w, h, j)

Proof of Theorem ordtypelem6
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  N  e.  M )
2 ssrab2 3271 . . . . . . . 8  |-  { v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } 
C_  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w }
3 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  M  e.  dom  O )
4 ordtypelem.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  = recs ( G )
5 ordtypelem.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
6 ordtypelem.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v ) )
7 ordtypelem.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
8 ordtypelem.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
9 ordtypelem.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  We  A )
10 ordtypelem.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R Se  A )
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10ordtypelem4 7252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  O : ( T  i^i  dom  F ) --> A )
12 fdm 5409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( O : ( T  i^i  dom 
F ) --> A  ->  dom  O  =  ( T  i^i  dom  F )
)
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  O  =  ( T  i^i  dom  F
) )
1413adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  dom  O  =  ( T  i^i  dom 
F ) )
153, 14eleqtrd 2372 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  M  e.  ( T  i^i  dom  F ) )
164, 5, 6, 7, 8, 9, 10ordtypelem3 7251 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  e.  { v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
1715, 16syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  ( F `  M )  e.  { v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
182, 17sseldi 3191 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  ( F `  M )  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }
)
19 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( F `  M )  ->  (
j R w  <->  j R
( F `  M
) ) )
2019ralbidv 2576 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( F `  M )  ->  ( A. j  e.  ( F " M ) j R w  <->  A. j  e.  ( F " M
) j R ( F `  M ) ) )
2120elrab 2936 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  M )  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w }  <->  ( ( F `
 M )  e.  A  /\  A. j  e.  ( F " M
) j R ( F `  M ) ) )
2221simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  M )  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w }  ->  A. j  e.  ( F " M
) j R ( F `  M ) )
2318, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  A. j  e.  ( F " M
) j R ( F `  M ) )
244tfr1a 6426 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  /\  Lim  dom  F
)
2524simpli 444 . . . . . . . 8  |-  Fun  F
26 funfn 5299 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
2725, 26mpbi 199 . . . . . . 7  |-  F  Fn  dom  F
2824simpri 448 . . . . . . . . 9  |-  Lim  dom  F
29 limord 4467 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
dom  F  ->  Ord  dom  F )
3028, 29ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  Ord  dom  F
31 inss2 3403 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
3213sseq1d 3218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( dom  O  C_  dom  F  <->  ( T  i^i  dom 
F )  C_  dom  F ) )
3331, 32mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  O  C_  dom  F )
3433sselda 3193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  M  e.  dom  F )
35 ordelss 4424 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  M  e.  dom  F )  ->  M  C_  dom  F )
3630, 34, 35sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  M  C_ 
dom  F )
37 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( F `  a )  ->  (
j R ( F `
 M )  <->  ( F `  a ) R ( F `  M ) ) )
3837ralima 5774 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  dom  F  /\  M  C_  dom  F
)  ->  ( A. j  e.  ( F " M ) j R ( F `  M
)  <->  A. a  e.  M  ( F `  a ) R ( F `  M ) ) )
3927, 36, 38sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  ( A. j  e.  ( F " M ) j R ( F `  M )  <->  A. a  e.  M  ( F `  a ) R ( F `  M ) ) )
4023, 39mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  A. a  e.  M  ( F `  a ) R ( F `  M ) )
4140adantrr 697 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  A. a  e.  M  ( F `  a ) R ( F `  M ) )
42 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  ( F `  a )  =  ( F `  N ) )
4342breq1d 4049 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
( F `  a
) R ( F `
 M )  <->  ( F `  N ) R ( F `  M ) ) )
4443rspcv 2893 . . . 4  |-  ( N  e.  M  ->  ( A. a  e.  M  ( F `  a ) R ( F `  M )  ->  ( F `  N ) R ( F `  M ) ) )
451, 41, 44sylc 56 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( F `  N
) R ( F `
 M ) )
464, 5, 6, 7, 8, 9, 10ordtypelem1 7249 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  =  ( F  |`  T ) )
4746adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  O  =  ( F  |`  T ) )
4847fveq1d 5543 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( O `  N
)  =  ( ( F  |`  T ) `  N ) )
494, 5, 6, 7, 8, 9, 10ordtypelem2 7250 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Ord  T )
5049adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  Ord  T )
51 inss1 3402 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_  T
5213sseq1d 3218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( dom  O  C_  T 
<->  ( T  i^i  dom  F )  C_  T )
)
5351, 52mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  O  C_  T
)
5453sselda 3193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  M  e.  T )
5554adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  M  e.  T )
56 ordelss 4424 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  T  /\  M  e.  T )  ->  M  C_  T )
5750, 55, 56syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  M  C_  T )
5857, 1sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  N  e.  T )
59 fvres 5558 . . . . 5  |-  ( N  e.  T  ->  (
( F  |`  T ) `
 N )  =  ( F `  N
) )
6058, 59syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( ( F  |`  T ) `  N
)  =  ( F `
 N ) )
6148, 60eqtrd 2328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( O `  N
)  =  ( F `
 N ) )
6247fveq1d 5543 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( O `  M
)  =  ( ( F  |`  T ) `  M ) )
63 fvres 5558 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  ->  (
( F  |`  T ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
6455, 63syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( ( F  |`  T ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
6562, 64eqtrd 2328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( O `  M
)  =  ( F `
 M ) )
6645, 61, 653brtr4d 4069 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( O `  N
) R ( O `
 M ) )
6766expr 598 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  ( N  e.  M  ->  ( O `  N ) R ( O `  M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   Se wse 4366    We wwe 4367   Ord word 4407   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271   iota_crio 6313  recscrecs 6403  OrdIsocoi 7240
This theorem is referenced by:  ordtypelem8  7256
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 6320  df-recs 6404  df-oi 7241
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