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Theorem ordtypelem7 7239
Description: Lemma for ordtype 7247. 
ran  O is an initial segment of  A under the well-order  R. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1  |-  F  = recs ( G )
ordtypelem.2  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
ordtypelem.3  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v ) )
ordtypelem.5  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
ordtypelem.6  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
ordtypelem.7  |-  ( ph  ->  R  We  A )
ordtypelem.8  |-  ( ph  ->  R Se  A )
Assertion
Ref Expression
ordtypelem7  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  A )  /\  M  e.  dom  O )  -> 
( ( O `  M ) R N  \/  N  e.  ran  O ) )
Distinct variable groups:    v, u, C    h, j, t, u, v, w, x, z, M    j, N, u, w    R, h, j, t, u, v, w, x, z    A, h, j, t, u, v, w, x, z    t, O, u, v, x    ph, t, x    h, F, j, t, u, v, w, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w, v, u, h, j)    C( x, z, w, t, h, j)    T( x, z, w, v, u, t, h, j)    G( x, z, w, v, u, t, h, j)    N( x, z, v, t, h)    O( z, w, h, j)

Proof of Theorem ordtypelem7
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3162 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( A  \  ran  O )  <->  ( N  e.  A  /\  -.  N  e.  ran  O ) )
2 ordtypelem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  = recs ( G )
3 ordtypelem.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
4 ordtypelem.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C A. u  e.  C  -.  u R v ) )
5 ordtypelem.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
6 ordtypelem.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
7 ordtypelem.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  We  A )
8 ordtypelem.8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R Se  A )
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8ordtypelem4 7236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  O : ( T  i^i  dom  F ) --> A )
109adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  O : ( T  i^i  dom 
F ) --> A )
11 fdm 5393 . . . . . . . . . 10  |-  ( O : ( T  i^i  dom 
F ) --> A  ->  dom  O  =  ( T  i^i  dom  F )
)
1210, 11syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  dom  O  =  ( T  i^i  dom 
F ) )
13 inss1 3389 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_  T
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8ordtypelem2 7234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Ord  T )
1514adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  Ord  T )
16 ordsson 4581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
T  ->  T  C_  On )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  T  C_  On )
1813, 17syl5ss 3190 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( T  i^i  dom  F )  C_  On )
1912, 18eqsstrd 3212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  dom  O 
C_  On )
2019sseld 3179 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( M  e.  dom  O  ->  M  e.  On )
)
21 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
a  e.  dom  O  <->  b  e.  dom  O ) )
22 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  ( O `  a )  =  ( O `  b ) )
2322breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
( O `  a
) R N  <->  ( O `  b ) R N ) )
2421, 23imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  e.  dom  O  ->  ( O `  a ) R N )  <->  ( b  e. 
dom  O  ->  ( O `
 b ) R N ) ) )
2524imbi2d 307 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  ( a  e. 
dom  O  ->  ( O `
 a ) R N ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  (
b  e.  dom  O  ->  ( O `  b
) R N ) ) ) )
26 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  M  ->  (
a  e.  dom  O  <->  M  e.  dom  O ) )
27 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  M  ->  ( O `  a )  =  ( O `  M ) )
2827breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  M  ->  (
( O `  a
) R N  <->  ( O `  M ) R N ) )
2926, 28imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  M  ->  (
( a  e.  dom  O  ->  ( O `  a ) R N )  <->  ( M  e. 
dom  O  ->  ( O `
 M ) R N ) ) )
3029imbi2d 307 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  M  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  ( a  e. 
dom  O  ->  ( O `
 a ) R N ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( M  e.  dom  O  -> 
( O `  M
) R N ) ) ) )
31 r19.21v 2630 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. b  e.  a  (
( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  (
b  e.  dom  O  ->  ( O `  b
) R N ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  ( A 
\  ran  O )
)  ->  A. b  e.  a  ( b  e.  dom  O  ->  ( O `  b ) R N ) ) )
322tfr1a 6410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Fun 
F  /\  Lim  dom  F
)
3332simpri 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  Lim  dom  F
34 limord 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Lim 
dom  F  ->  Ord  dom  F )
3533, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Ord  dom  F
36 ordin 4422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Ord  T  /\  Ord  dom 
F )  ->  Ord  ( T  i^i  dom  F
) )
3715, 35, 36sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  Ord  ( T  i^i  dom  F
) )
38 ordeq 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( dom 
O  =  ( T  i^i  dom  F )  ->  ( Ord  dom  O  <->  Ord  ( T  i^i  dom  F ) ) )
3912, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( Ord  dom  O  <->  Ord  ( T  i^i  dom  F )
) )
4037, 39mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  Ord  dom 
O )
41 ordelss 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  dom  O  /\  a  e.  dom  O )  ->  a  C_  dom  O )
4240, 41sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  a  e.  dom  O )  -> 
a  C_  dom  O )
4342sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  a  e.  dom  O )  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  dom  O )
44 pm5.5 326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  dom  O  -> 
( ( b  e. 
dom  O  ->  ( O `
 b ) R N )  <->  ( O `  b ) R N ) )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  a  e.  dom  O )  /\  b  e.  a )  ->  (
( b  e.  dom  O  ->  ( O `  b ) R N )  <->  ( O `  b ) R N ) )
4645ralbidva 2559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  a  e.  dom  O )  -> 
( A. b  e.  a  ( b  e. 
dom  O  ->  ( O `
 b ) R N )  <->  A. b  e.  a  ( O `  b ) R N ) )
47 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( A  \  ran  O )  ->  -.  N  e.  ran  O )
4847ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  -.  N  e.  ran  O )
499ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  O :
( T  i^i  dom  F ) --> A )
50 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( O : ( T  i^i  dom 
F ) --> A  ->  O  Fn  ( T  i^i  dom  F ) )
5149, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  O  Fn  ( T  i^i  dom  F
) )
52 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  e.  dom  O )
5349, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  dom  O  =  ( T  i^i  dom  F ) )
5452, 53eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  e.  ( T  i^i  dom  F
) )
55 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( O  Fn  ( T  i^i  dom  F )  /\  a  e.  ( T  i^i  dom  F )
)  ->  ( O `  a )  e.  ran  O )
5651, 54, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( O `  a )  e.  ran  O )
57 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( O `  a )  =  N  ->  (
( O `  a
)  e.  ran  O  <->  N  e.  ran  O ) )
5856, 57syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( ( O `  a )  =  N  ->  N  e. 
ran  O ) )
5948, 58mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  -.  ( O `  a )  =  N )
60 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( A  \  ran  O )  ->  N  e.  A )
6160ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  N  e.  A )
62 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  A. b  e.  a  ( O `  b ) R N )
632, 3, 4, 5, 6, 7, 8ordtypelem1 7233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  O  =  ( F  |`  T ) )
6463ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  O  =  ( F  |`  T ) )
6542adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  C_  dom  O )
6665, 53sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  C_  ( T  i^i  dom  F
) )
6766, 13syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  C_  T )
68 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( O  =  ( F  |`  T )  ->  ( O `  b )  =  ( ( F  |`  T ) `  b
) )
69 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( a  C_  T  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  T )
70 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( b  e.  T  ->  (
( F  |`  T ) `
 b )  =  ( F `  b
) )
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  C_  T  /\  b  e.  a )  ->  ( ( F  |`  T ) `  b
)  =  ( F `
 b ) )
7268, 71sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( O  =  ( F  |`  T )  /\  (
a  C_  T  /\  b  e.  a )
)  ->  ( O `  b )  =  ( F `  b ) )
7372anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( O  =  ( F  |`  T )  /\  a  C_  T )  /\  b  e.  a )  ->  ( O `  b )  =  ( F `  b ) )
7473breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( O  =  ( F  |`  T )  /\  a  C_  T )  /\  b  e.  a )  ->  ( ( O `  b ) R N  <->  ( F `  b ) R N ) )
7574ralbidva 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( O  =  ( F  |`  T )  /\  a  C_  T )  ->  ( A. b  e.  a 
( O `  b
) R N  <->  A. b  e.  a  ( F `  b ) R N ) )
7664, 67, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( A. b  e.  a  ( O `  b ) R N  <->  A. b  e.  a  ( F `  b
) R N ) )
7762, 76mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  A. b  e.  a  ( F `  b ) R N )
7832simpli 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  Fun  F
79 funfn 5283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
8078, 79mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F  Fn  dom  F
81 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
8266, 81syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  C_  dom  F )
83 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  =  ( F `  b )  ->  (
j R N  <->  ( F `  b ) R N ) )
8483ralima 5758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  Fn  dom  F  /\  a  C_  dom  F
)  ->  ( A. j  e.  ( F " a ) j R N  <->  A. b  e.  a  ( F `  b
) R N ) )
8580, 82, 84sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( A. j  e.  ( F " a ) j R N  <->  A. b  e.  a  ( F `  b
) R N ) )
8677, 85mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  A. j  e.  ( F " a
) j R N )
87 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  N  ->  (
j R w  <->  j R N ) )
8887ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  N  ->  ( A. j  e.  ( F " a ) j R w  <->  A. j  e.  ( F " a
) j R N ) )
8988elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a
) j R w }  <->  ( N  e.  A  /\  A. j  e.  ( F " a
) j R N ) )
9061, 86, 89sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  N  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w } )
9164fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( O `  a )  =  ( ( F  |`  T ) `
 a ) )
9213, 54sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  e.  T )
93 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  e.  T  ->  (
( F  |`  T ) `
 a )  =  ( F `  a
) )
9492, 93syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( ( F  |`  T ) `  a )  =  ( F `  a ) )
9591, 94eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( O `  a )  =  ( F `  a ) )
96 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ph )
972, 3, 4, 5, 6, 7, 8ordtypelem3 7235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  a )  e.  { v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R v } )
9896, 54, 97syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( F `  a )  e.  {
v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R v } )
9995, 98eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( O `  a )  e.  {
v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R v } )
100 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  ( O `  a )  ->  (
u R v  <->  u R
( O `  a
) ) )
101100notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  ( O `  a )  ->  ( -.  u R v  <->  -.  u R ( O `  a ) ) )
102101ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( O `  a )  ->  ( A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R v  <->  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R ( O `
 a ) ) )
103102elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( O `  a )  e.  { v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  |  A. u  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R v }  <->  ( ( O `  a )  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  /\  A. u  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R ( O `  a ) ) )
104103simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( O `  a )  e.  { v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  |  A. u  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R v }  ->  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R ( O `  a ) )
10599, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R ( O `
 a ) )
106 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  N  ->  (
u R ( O `
 a )  <->  N R
( O `  a
) ) )
107106notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  N  ->  ( -.  u R ( O `
 a )  <->  -.  N R ( O `  a ) ) )
108107rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a
) j R w }  ->  ( A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R ( O `  a )  ->  -.  N R ( O `  a ) ) )
10990, 105, 108sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  -.  N R ( O `  a ) )
110 weso 4384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  We  A  ->  R  Or  A )
1117, 110syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
112111ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  R  Or  A )
113 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( O : ( T  i^i  dom  F ) --> A  /\  a  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( O `  a )  e.  A )
11449, 54, 113syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( O `  a )  e.  A
)
115 sotric 4340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( ( O `  a )  e.  A  /\  N  e.  A
) )  ->  (
( O `  a
) R N  <->  -.  (
( O `  a
)  =  N  \/  N R ( O `  a ) ) ) )
116112, 114, 61, 115syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( ( O `  a ) R N  <->  -.  ( ( O `  a )  =  N  \/  N R ( O `  a ) ) ) )
117 ioran 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( ( O `  a )  =  N  \/  N R ( O `  a ) )  <->  ( -.  ( O `  a )  =  N  /\  -.  N R ( O `  a ) ) )
118116, 117syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( ( O `  a ) R N  <->  ( -.  ( O `  a )  =  N  /\  -.  N R ( O `  a ) ) ) )
11959, 109, 118mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( O `  a ) R N )
120119expr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  a  e.  dom  O )  -> 
( A. b  e.  a  ( O `  b ) R N  ->  ( O `  a ) R N ) )
12146, 120sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  a  e.  dom  O )  -> 
( A. b  e.  a  ( b  e. 
dom  O  ->  ( O `
 b ) R N )  ->  ( O `  a ) R N ) )
122121ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  (
a  e.  dom  O  ->  ( A. b  e.  a  ( b  e. 
dom  O  ->  ( O `
 b ) R N )  ->  ( O `  a ) R N ) ) )
123122com23 72 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( A. b  e.  a 
( b  e.  dom  O  ->  ( O `  b ) R N )  ->  ( a  e.  dom  O  ->  ( O `  a ) R N ) ) )
124123a2i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  A. b  e.  a  ( b  e.  dom  O  ->  ( O `  b ) R N ) )  -> 
( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  ( a  e. 
dom  O  ->  ( O `
 a ) R N ) ) )
125124a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  On  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  A. b  e.  a  ( b  e.  dom  O  ->  ( O `  b ) R N ) )  ->  (
( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  (
a  e.  dom  O  ->  ( O `  a
) R N ) ) ) )
12631, 125syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  On  ->  ( A. b  e.  a 
( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  ( b  e. 
dom  O  ->  ( O `
 b ) R N ) )  -> 
( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  ( a  e. 
dom  O  ->  ( O `
 a ) R N ) ) ) )
12725, 30, 126tfis3 4648 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  On  ->  (
( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  ( M  e.  dom  O  -> 
( O `  M
) R N ) ) )
128127com3l 75 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( M  e.  dom  O  -> 
( M  e.  On  ->  ( O `  M
) R N ) ) )
12920, 128mpdd 36 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( M  e.  dom  O  -> 
( O `  M
) R N ) )
1301, 129sylan2br 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  e.  ran  O ) )  ->  ( M  e. 
dom  O  ->  ( O `
 M ) R N ) )
131130anassrs 629 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  A )  /\  -.  N  e.  ran  O )  ->  ( M  e. 
dom  O  ->  ( O `
 M ) R N ) )
132131impancom 427 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  A )  /\  M  e.  dom  O )  -> 
( -.  N  e. 
ran  O  ->  ( O `
 M ) R N ) )
133132orrd 367 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  A )  /\  M  e.  dom  O )  -> 
( N  e.  ran  O  \/  ( O `  M ) R N ) )
134133orcomd 377 1  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  A )  /\  M  e.  dom  O )  -> 
( ( O `  M ) R N  \/  N  e.  ran  O ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    Or wor 4313   Se wse 4350    We wwe 4351   Ord word 4391   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   iota_crio 6297  recscrecs 6387  OrdIsocoi 7224
This theorem is referenced by:  ordtypelem9  7241  ordtypelem10  7242  oiiniseg  7248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 6304  df-recs 6388  df-oi 7225
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