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Theorem ordunidif 4658
Description: The union of an ordinal stays the same if a subset equal to one of its elements is removed. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
ordunidif  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  U. ( A  \  B )  = 
U. A )

Proof of Theorem ordunidif
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordelon 4634 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  On )
2 onelss 4652 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  B  ->  x  C_  B ) )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  (
x  e.  B  ->  x  C_  B ) )
4 eloni 4620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
5 ordirr 4628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
B  ->  -.  B  e.  B )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  On  ->  -.  B  e.  B )
7 eldif 3316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( A  \  B )  <->  ( B  e.  A  /\  -.  B  e.  B ) )
87simplbi2 610 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  A  ->  ( -.  B  e.  B  ->  B  e.  ( A 
\  B ) ) )
96, 8syl5 31 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  A  ->  ( B  e.  On  ->  B  e.  ( A  \  B ) ) )
109adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  ( B  e.  On  ->  B  e.  ( A  \  B ) ) )
111, 10mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  ( A  \  B
) )
123, 11jctild 529 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  (
x  e.  B  -> 
( B  e.  ( A  \  B )  /\  x  C_  B
) ) )
1312adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  e.  B  ->  ( B  e.  ( A  \  B )  /\  x  C_  B ) ) )
14 sseq2 3356 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  B
) )
1514rspcev 3058 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( A 
\  B )  /\  x  C_  B )  ->  E. y  e.  ( A  \  B ) x 
C_  y )
1613, 15syl6 32 . . . 4  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  e.  B  ->  E. y  e.  ( A  \  B
) x  C_  y
) )
17 eldif 3316 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  <->  ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B ) )
1817biimpri 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  ->  x  e.  ( A  \  B ) )
19 ssid 3353 . . . . . . . 8  |-  x  C_  x
2018, 19jctir 526 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  ( A  \  B
)  /\  x  C_  x
) )
2120ex 425 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  B  ->  ( x  e.  ( A  \  B )  /\  x  C_  x
) ) )
22 sseq2 3356 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  x
) )
2322rspcev 3058 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  B )  /\  x  C_  x )  ->  E. y  e.  ( A  \  B ) x 
C_  y )
2421, 23syl6 32 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  B  ->  E. y  e.  ( A  \  B ) x  C_  y )
)
2524adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -.  x  e.  B  ->  E. y  e.  ( A 
\  B ) x 
C_  y ) )
2616, 25pm2.61d 153 . . 3  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  /\  x  e.  A
)  ->  E. y  e.  ( A  \  B
) x  C_  y
)
2726ralrimiva 2795 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ( A  \  B
) x  C_  y
)
28 unidif 4071 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  ( A  \  B ) x  C_  y  ->  U. ( A  \  B )  =  U. A )
2927, 28syl 16 1  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  U. ( A  \  B )  = 
U. A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   E.wrex 2712    \ cdif 3303    C_ wss 3306   U.cuni 4039   Ord word 4609   Oncon0 4610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pr 4432
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614
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