Theorem ordunidif 2995

Description: The union of an ordinal stays the same if a subset equal to one of its elements is removed.

Assertion

Ref	Expression
ordunidif	|- ((Ord A /\ B e. A) -> U.(A \ B) = U.A)

Proof of Theorem ordunidif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelon 2961	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ B e. A) -> B e. On)
2		onelsst 2990	. . . . . . . 8 |- (B e. On -> (x e. B -> x (_ B))
3	1, 2	syl 10	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (x e. B -> x (_ B))
4		eldif 2047	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. (A \ B) <-> (B e. A /\ -. B e. B))
5	4	biimpr 152	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. A /\ -. B e. B) -> B e. (A \ B))
6	5	ex 373	. . . . . . . . . 10 |- (B e. A -> (-. B e. B -> B e. (A \ B)))
7		eloni 2948	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. On -> Ord B)
8		ordirr 2956	. . . . . . . . . . 11 |- (Ord B -> -. B e. B)
9	7, 8	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (B e. On -> -. B e. B)
10	6, 9	syl5 21	. . . . . . . . 9 |- (B e. A -> (B e. On -> B e. (A \ B)))
11	10	adantl 388	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (B e. On -> B e. (A \ B)))
12	1, 11	mpd 26	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ B e. A) -> B e. (A \ B))
13	3, 12	jctild 599	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (x e. B -> (B e. (A \ B) /\ x (_ B)))
14	13	adantr 389	. . . . 5 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> (x e. B -> (B e. (A \ B) /\ x (_ B)))
15		sseq2 2073	. . . . . 6 |- (y = B -> (x (_ y <-> x (_ B))
16	15	rcla4ev 1868	. . . . 5 |- ((B e. (A \ B) /\ x (_ B) -> E.y e. (A \ B)x (_ y)
17	14, 16	syl6 22	. . . 4 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> (x e. B -> E.y e. (A \ B)x (_ y))
18		eldif 2047	. . . . . . . . 9 |- (x e. (A \ B) <-> (x e. A /\ -. x e. B))
19	18	biimpr 152	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ -. x e. B) -> x e. (A \ B))
20		ssid 2070	. . . . . . . 8 |- x (_ x
21	19, 20	jctir 293	. . . . . . 7 |- ((x e. A /\ -. x e. B) -> (x e. (A \ B) /\ x (_ x))
22	21	ex 373	. . . . . 6 |- (x e. A -> (-. x e. B -> (x e. (A \ B) /\ x (_ x)))
23		sseq2 2073	. . . . . . 7 |- (y = x -> (x (_ y <-> x (_ x))
24	23	rcla4ev 1868	. . . . . 6 |- ((x e. (A \ B) /\ x (_ x) -> E.y e. (A \ B)x (_ y)
25	22, 24	syl6 22	. . . . 5 |- (x e. A -> (-. x e. B -> E.y e. (A \ B)x (_ y))
26	25	adantl 388	. . . 4 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> (-. x e. B -> E.y e. (A \ B)x (_ y))
27	17, 26	pm2.61d 127	. . 3 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> E.y e. (A \ B)x (_ y)
28	27	r19.21aiva 1706	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A) -> A.x e. A E.y e. (A \ B)x (_ y)
29		unidif 2520	. 2 |- (A.x e. A E.y e. (A \ B)x (_ y -> U.(A \ B) = U.A)
30	28, 29	syl 10	1 |- ((Ord A /\ B e. A) -> U.(A \ B) = U.A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638   \ cdif 2034   (_ wss 2037  U.cuni 2493  Ord word 2937  Oncon0 2938

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942

Copyright terms: Public domain