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Theorem ordunidif 4597
Description: The union of an ordinal stays the same if a subset equal to one of its elements is removed. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
ordunidif  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  U. ( A  \  B )  = 
U. A )

Proof of Theorem ordunidif
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordelon 4573 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  On )
2 onelss 4591 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  B  ->  x  C_  B ) )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  (
x  e.  B  ->  x  C_  B ) )
4 eloni 4559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
5 ordirr 4567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
B  ->  -.  B  e.  B )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  On  ->  -.  B  e.  B )
7 eldif 3298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( A  \  B )  <->  ( B  e.  A  /\  -.  B  e.  B ) )
87simplbi2 609 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  A  ->  ( -.  B  e.  B  ->  B  e.  ( A 
\  B ) ) )
96, 8syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  A  ->  ( B  e.  On  ->  B  e.  ( A  \  B ) ) )
109adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  ( B  e.  On  ->  B  e.  ( A  \  B ) ) )
111, 10mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  ( A  \  B
) )
123, 11jctild 528 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  (
x  e.  B  -> 
( B  e.  ( A  \  B )  /\  x  C_  B
) ) )
1312adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  e.  B  ->  ( B  e.  ( A  \  B )  /\  x  C_  B ) ) )
14 sseq2 3338 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  B
) )
1514rspcev 3020 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( A 
\  B )  /\  x  C_  B )  ->  E. y  e.  ( A  \  B ) x 
C_  y )
1613, 15syl6 31 . . . 4  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  e.  B  ->  E. y  e.  ( A  \  B
) x  C_  y
) )
17 eldif 3298 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  <->  ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B ) )
1817biimpri 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  ->  x  e.  ( A  \  B ) )
19 ssid 3335 . . . . . . . 8  |-  x  C_  x
2018, 19jctir 525 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  ( A  \  B
)  /\  x  C_  x
) )
2120ex 424 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  B  ->  ( x  e.  ( A  \  B )  /\  x  C_  x
) ) )
22 sseq2 3338 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  x
) )
2322rspcev 3020 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  B )  /\  x  C_  x )  ->  E. y  e.  ( A  \  B ) x 
C_  y )
2421, 23syl6 31 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  B  ->  E. y  e.  ( A  \  B ) x  C_  y )
)
2524adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -.  x  e.  B  ->  E. y  e.  ( A 
\  B ) x 
C_  y ) )
2616, 25pm2.61d 152 . . 3  |-  ( ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  /\  x  e.  A
)  ->  E. y  e.  ( A  \  B
) x  C_  y
)
2726ralrimiva 2757 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ( A  \  B
) x  C_  y
)
28 unidif 4015 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  ( A  \  B ) x  C_  y  ->  U. ( A  \  B )  =  U. A )
2927, 28syl 16 1  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  U. ( A  \  B )  = 
U. A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675    \ cdif 3285    C_ wss 3288   U.cuni 3983   Ord word 4548   Oncon0 4549
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553
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