Theorem orduniorsuc 3087

Description: An ordinal class is either its union or the successor of its union.

Assertion

Ref	Expression
orduniorsuc	|- (Ord A -> (A = U.A \/ A = suc U.A))

Proof of Theorem orduniorsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orduniss 3076	. . . . . 6 |- (Ord A -> U.A (_ A)
2		orduni 2997	. . . . . . . 8 |- (Ord A -> Ord U.A)
3		ordelssne 2974	. . . . . . . 8 |- ((Ord U.A /\ Ord A) -> (U.A e. A <-> (U.A (_ A /\ U.A =/= A)))
4	2, 3	mpancom 705	. . . . . . 7 |- (Ord A -> (U.A e. A <-> (U.A (_ A /\ U.A =/= A)))
5	4	biimprd 154	. . . . . 6 |- (Ord A -> ((U.A (_ A /\ U.A =/= A) -> U.A e. A))
6	1, 5	mpand 701	. . . . 5 |- (Ord A -> (U.A =/= A -> U.A e. A))
7		ordsucss 3069	. . . . 5 |- (Ord A -> (U.A e. A -> suc U.A (_ A))
8	6, 7	syld 27	. . . 4 |- (Ord A -> (U.A =/= A -> suc U.A (_ A))
9		ordsucuni 3086	. . . 4 |- (Ord A -> A (_ suc U.A)
10	8, 9	jctild 601	. . 3 |- (Ord A -> (U.A =/= A -> (A (_ suc U.A /\ suc U.A (_ A)))
11		df-ne 1587	. . . 4 |- (A =/= U.A <-> -. A = U.A)
12		necom 1636	. . . 4 |- (A =/= U.A <-> U.A =/= A)
13	11, 12	bitr3 175	. . 3 |- (-. A = U.A <-> U.A =/= A)
14		eqss 2077	. . 3 |- (A = suc U.A <-> (A (_ suc U.A /\ suc U.A (_ A))
15	10, 13, 14	3imtr4g 553	. 2 |- (Ord A -> (-. A = U.A -> A = suc U.A))
16	15	orrd 233	1 |- (Ord A -> (A = U.A \/ A = suc U.A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585   (_ wss 2047  U.cuni 2503  Ord word 2947  suc csuc 2950

This theorem is referenced by:  onsucuni2 3091  onuniorsuc 3107

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-suc 2954

Copyright terms: Public domain