Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oriso Unicode version

Theorem oriso 25317
Description: If  F is an order isomorphism so is  `' F. (Contributed by FL, 11-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isoriso.1  |-  X  =  ( Base `  A
)
isoriso.2  |-  Y  =  ( Base `  B
)
isoriso.3  |- &lea  =  ( le `  A )
isoriso.4  |- &leb  =  ( le `  B )
Assertion
Ref Expression
oriso  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( F  e.  ( A  OrIso  B )  ->  `' F  e.  ( B  OrIso  A ) ) )

Proof of Theorem oriso
Dummy variables  a 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5501 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
21ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  F  e.  ( A  OrIso  B ) )  /\  ( F : X
-1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x&lea  y  <-> 
( F `  x
)&leb  ( F `  y ) ) ) )  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
3 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
4 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  a  e.  Y )  ->  ( `' F `  a )  e.  X
)
54ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' F : Y --> X  -> 
( a  e.  Y  ->  ( `' F `  a )  e.  X
) )
63, 5syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  -> 
( a  e.  Y  ->  ( `' F `  a )  e.  X
) )
7 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  b  e.  Y )  ->  ( `' F `  b )  e.  X
)
87ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' F : Y --> X  -> 
( b  e.  Y  ->  ( `' F `  b )  e.  X
) )
93, 8syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  -> 
( b  e.  Y  ->  ( `' F `  b )  e.  X
) )
106, 9im2anan9 808 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  `' F : Y -1-1-onto-> X )  ->  ( ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  (
( `' F `  a )  e.  X  /\  ( `' F `  b )  e.  X
) ) )
11 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( `' F `  a )  ->  (
x&lea  y  <->  ( `' F `  a )&lea  y ) )
12 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( `' F `  a )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( `' F `  a ) ) )
1312breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( `' F `  a )  ->  (
( F `  x
)&leb  ( F `  y )  <->  ( F `  ( `' F `  a ) )&leb  ( F `  y ) ) )
1411, 13bibi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( `' F `  a )  ->  (
( x&lea  y  <->  ( F `  x )&leb  ( F `  y ) )  <->  ( ( `' F `  a )&lea  y  <-> 
( F `  ( `' F `  a ) )&leb  ( F `  y ) ) ) )
15 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( `' F `  b )  ->  (
( `' F `  a )&lea  y  <->  ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) )
16 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  ( `' F `  b )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  b ) ) )
1716breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( `' F `  b )  ->  (
( F `  ( `' F `  a ) )&leb  ( F `  y )  <->  ( F `  ( `' F `  a ) )&leb  ( F `  ( `' F `  b ) ) ) )
1815, 17bibi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( `' F `  b )  ->  (
( ( `' F `  a )&lea  y  <->  ( F `  ( `' F `  a ) )&leb  ( F `  y ) )  <->  ( ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b )  <-> 
( F `  ( `' F `  a ) )&leb  ( F `  ( `' F `  b ) ) ) ) )
1914, 18rspc2v 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( `' F `  a )  e.  X  /\  ( `' F `  b )  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x&lea  y  <->  ( F `  x )&leb  ( F `  y )
)  ->  ( ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b )  <-> 
( F `  ( `' F `  a ) )&leb  ( F `  ( `' F `  b ) ) ) ) )
20 bicom 191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b )  <-> 
( F `  ( `' F `  a ) )&leb  ( F `  ( `' F `  b ) ) )  <->  ( ( F `  ( `' F `  a )
)&leb  ( F `  ( `' F `  b ) )  <->  ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) )
21 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( `' F `  a )  e.  X  /\  ( `' F `  b )  e.  X
)  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
22 simp2l 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( `' F `  a )  e.  X  /\  ( `' F `  b )  e.  X
)  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  a  e.  Y )
23 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  a  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  a ) )  =  a )
2421, 22, 23syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( `' F `  a )  e.  X  /\  ( `' F `  b )  e.  X
)  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( F `  ( `' F `  a )
)  =  a )
25 simp2r 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( `' F `  a )  e.  X  /\  ( `' F `  b )  e.  X
)  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  b  e.  Y )
26 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  b  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  b )
2721, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( `' F `  a )  e.  X  /\  ( `' F `  b )  e.  X
)  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( F `  ( `' F `  b )
)  =  b )
2824, 27breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( `' F `  a )  e.  X  /\  ( `' F `  b )  e.  X
)  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( F `  ( `' F `  a ) )&leb  ( F `  ( `' F `  b ) )  <->  a&leb  b
) )
2928bibi1d 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( `' F `  a )  e.  X  /\  ( `' F `  b )  e.  X
)  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( ( F `  ( `' F `  a ) )&leb  ( F `  ( `' F `  b ) )  <->  ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) )  <->  ( a&leb  b  <-> 
( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) )
3029biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( `' F `  a )  e.  X  /\  ( `' F `  b )  e.  X
)  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( ( F `  ( `' F `  a ) )&leb  ( F `  ( `' F `  b ) )  <->  ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) )  ->  ( a&leb  b  <-> 
( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) )
31303exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( `' F `  a )  e.  X  /\  ( `' F `  b )  e.  X
)  ->  ( (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( ( ( F `
 ( `' F `  a ) )&leb  ( F `  ( `' F `  b ) )  <->  ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) )  ->  ( a&leb  b  <-> 
( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) ) ) )
3231com14 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F `  ( `' F `  a ) )&leb  ( F `  ( `' F `  b ) )  <->  ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) )  ->  ( (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( ( ( `' F `  a )  e.  X  /\  ( `' F `  b )  e.  X )  -> 
( a&leb  b  <->  ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) ) ) )
3320, 32sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b )  <-> 
( F `  ( `' F `  a ) )&leb  ( F `  ( `' F `  b ) ) )  ->  (
( a  e.  Y  /\  b  e.  Y
)  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( (
( `' F `  a )  e.  X  /\  ( `' F `  b )  e.  X
)  ->  ( a&leb  b  <-> 
( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) ) ) )
3419, 33syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( `' F `  a )  e.  X  /\  ( `' F `  b )  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x&lea  y  <->  ( F `  x )&leb  ( F `  y )
)  ->  ( (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( ( ( `' F `  a )  e.  X  /\  ( `' F `  b )  e.  X )  -> 
( a&leb  b  <->  ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) ) ) ) )
3534com25 85 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( `' F `  a )  e.  X  /\  ( `' F `  b )  e.  X
)  ->  ( (
( `' F `  a )  e.  X  /\  ( `' F `  b )  e.  X
)  ->  ( (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x&lea  y  <-> 
( F `  x
)&leb  ( F `  y ) )  -> 
( a&leb  b  <->  ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) ) ) ) )
3635pm2.43i 43 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( `' F `  a )  e.  X  /\  ( `' F `  b )  e.  X
)  ->  ( (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x&lea  y  <-> 
( F `  x
)&leb  ( F `  y ) )  -> 
( a&leb  b  <->  ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) ) ) )
3710, 36syli 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  `' F : Y -1-1-onto-> X )  ->  ( ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x&lea  y  <->  ( F `  x )&leb  ( F `  y )
)  ->  ( a&leb  b  <-> 
( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) ) ) )
3837com24 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  `' F : Y -1-1-onto-> X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x&lea  y  <-> 
( F `  x
)&leb  ( F `  y ) )  -> 
( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  (
a&leb  b  <->  ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) ) ) )
3938a1d 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  `' F : Y -1-1-onto-> X )  ->  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x&lea  y  <-> 
( F `  x
)&leb  ( F `  y ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x&lea  y  <-> 
( F `  x
)&leb  ( F `  y ) )  -> 
( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  (
a&leb  b  <->  ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) ) ) ) )
4039com24 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  `' F : Y -1-1-onto-> X )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Y  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x&lea  y  <-> 
( F `  x
)&leb  ( F `  y ) )  -> 
( ( F : X
-1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x&lea  y  <-> 
( F `  x
)&leb  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  (
a&leb  b  <->  ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) ) ) ) )
411, 1, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x&lea  y  <->  ( F `  x )&leb  ( F `  y )
)  ->  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x&lea  y  <-> 
( F `  x
)&leb  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  (
a&leb  b  <->  ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) ) ) ) )
4241pm2.43i 43 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x&lea  y  <->  ( F `  x )&leb  ( F `  y )
)  ->  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x&lea  y  <-> 
( F `  x
)&leb  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  (
a&leb  b  <->  ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) ) ) )
4342imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x&lea  y  <->  ( F `  x )&leb  ( F `  y )
) )  ->  (
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x&lea  y  <->  ( F `  x )&leb  ( F `  y )
) )  ->  (
( a  e.  Y  /\  b  e.  Y
)  ->  ( a&leb  b  <-> 
( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) ) )
4443pm2.43i 43 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x&lea  y  <->  ( F `  x )&leb  ( F `  y )
) )  ->  (
( a  e.  Y  /\  b  e.  Y
)  ->  ( a&leb  b  <-> 
( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) )
4544adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  F  e.  ( A  OrIso  B ) )  /\  ( F : X
-1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x&lea  y  <-> 
( F `  x
)&leb  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  ( a&leb  b  <->  ( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) )
4645ralrimivv 2647 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  F  e.  ( A  OrIso  B ) )  /\  ( F : X
-1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x&lea  y  <-> 
( F `  x
)&leb  ( F `  y ) ) ) )  ->  A. a  e.  Y  A. b  e.  Y  ( a&leb  b  <-> 
( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) )
472, 46jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  F  e.  ( A  OrIso  B ) )  /\  ( F : X
-1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x&lea  y  <-> 
( F `  x
)&leb  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  A. a  e.  Y  A. b  e.  Y  ( a&leb  b  <-> 
( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) )
4847ex 423 . . . 4  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  F  e.  ( A  OrIso  B ) )  -> 
( ( F : X
-1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x&lea  y  <-> 
( F `  x
)&leb  ( F `  y ) ) )  ->  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  A. a  e.  Y  A. b  e.  Y  ( a&leb  b  <-> 
( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) ) )
49 isoriso.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  A
)
50 isoriso.2 . . . . 5  |-  Y  =  ( Base `  B
)
51 isoriso.3 . . . . 5  |- &lea  =  ( le `  A )
52 isoriso.4 . . . . 5  |- &leb  =  ( le `  B )
5349, 50, 51, 52isoriso2 25316 . . . 4  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  F  e.  ( A  OrIso  B ) )  -> 
( F  e.  ( A  OrIso  B )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x&lea  y  <->  ( F `  x )&leb  ( F `  y )
) ) ) )
54 elex 2809 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  D  ->  B  e.  _V )
55 elex 2809 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  C  ->  A  e.  _V )
56 cnvexg 5224 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( A  OrIso  B )  ->  `' F  e.  _V )
5754, 55, 563anim123i 1137 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  D  /\  A  e.  C  /\  F  e.  ( A  OrIso  B ) )  -> 
( B  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  `' F  e.  _V ) )
58573com12 1155 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  F  e.  ( A  OrIso  B ) )  -> 
( B  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  `' F  e.  _V ) )
5950, 49, 52, 51isoriso2 25316 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  `' F  e.  _V )  ->  ( `' F  e.  ( B  OrIso  A )  <-> 
( `' F : Y
-1-1-onto-> X  /\  A. a  e.  Y  A. b  e.  Y  ( a&leb  b  <-> 
( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) ) )
6058, 59syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  F  e.  ( A  OrIso  B ) )  -> 
( `' F  e.  ( B  OrIso  A )  <-> 
( `' F : Y
-1-1-onto-> X  /\  A. a  e.  Y  A. b  e.  Y  ( a&leb  b  <-> 
( `' F `  a )&lea  ( `' F `  b ) ) ) ) )
6148, 53, 603imtr4d 259 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  F  e.  ( A  OrIso  B ) )  -> 
( F  e.  ( A  OrIso  B )  ->  `' F  e.  ( B  OrIso  A ) ) )
62613expia 1153 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( F  e.  ( A  OrIso  B )  ->  ( F  e.  ( A  OrIso  B )  ->  `' F  e.  ( B  OrIso  A ) ) ) )
6362pm2.43d 44 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( F  e.  ( A  OrIso  B )  ->  `' F  e.  ( B  OrIso  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231    OrIso coriso 25311
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-oriso 25313
  Copyright terms: Public domain W3C validator