Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orrvccel Structured version   Unicode version

Theorem orrvccel 24716
Description: If the relation produces closed sets, preimage maps are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orrvccel.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
orrvccel.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
orrvccel.4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
orrvccel.5  |-  ( ph  ->  { y  e.  RR  |  y R A }  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
Assertion
Ref Expression
orrvccel  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐 R A )  e.  dom  P )
Distinct variable groups:    y, A    y, R    y, X
Allowed substitution hints:    ph( y)    P( y)    V( y)

Proof of Theorem orrvccel
StepHypRef Expression
1 orrvccel.1 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
2 domprobsiga 24661 . . 3  |-  ( P  e. Prob  ->  dom  P  e.  U.
ran sigAlgebra )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  dom  P  e.  U. ran sigAlgebra )
4 retop 18787 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
6 orrvccel.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
71rrvmbfm 24692 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  (rRndVar `  P )  <->  X  e.  ( dom  PMblFnM𝔅 ) ) )
86, 7mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( dom 
PMblFnM𝔅 ) )
9 df-brsiga 24528 . . . 4  |- 𝔅  =  (sigaGen `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
109oveq2i 6084 . . 3  |-  ( dom 
PMblFnM𝔅 )  =  ( dom  PMblFnM (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
118, 10syl6eleq 2525 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( dom 
PMblFnM (sigaGen `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) ) )
12 orrvccel.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
13 uniretop 18788 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
14 rabeq 2942 . . . 4  |-  ( RR  =  U. ( topGen ` 
ran  (,) )  ->  { y  e.  RR  |  y R A }  =  { y  e.  U. ( topGen `  ran  (,) )  |  y R A } )
1513, 14ax-mp 8 . . 3  |-  { y  e.  RR  |  y R A }  =  { y  e.  U. ( topGen `  ran  (,) )  |  y R A }
16 orrvccel.5 . . 3  |-  ( ph  ->  { y  e.  RR  |  y R A }  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
1715, 16syl5eqelr 2520 . 2  |-  ( ph  ->  { y  e.  U. ( topGen `  ran  (,) )  |  y R A }  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
183, 5, 11, 12, 17orvccel 24712 1  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐 R A )  e.  dom  P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   U.cuni 4007   class class class wbr 4204   dom cdm 4870   ran crn 4871   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   (,)cioo 10908   topGenctg 13657   Topctop 16950   Clsdccld 17072  sigAlgebracsiga 24482  sigaGencsigagen 24513  𝔅cbrsiga 24527  MblFnMcmbfm 24592  Probcprb 24657  rRndVarcrrv 24690  ∘RV/𝑐corvc 24705
This theorem is referenced by:  orvcgteel  24717  orvclteel  24722
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-ac2 8335  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-ac 7989  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-ioo 10912  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-cld 17075  df-esum 24417  df-siga 24483  df-sigagen 24514  df-brsiga 24528  df-meas 24542  df-mbfm 24593  df-prob 24658  df-rrv 24691  df-orvc 24706
  Copyright terms: Public domain W3C validator