HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  orthin Unicode version

Theorem orthin 22041
Description: The intersection of orthogonal subspaces is the zero subspace. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
orthin  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( A  i^i  B
)  =  0H ) )

Proof of Theorem orthin
StepHypRef Expression
1 ssrin 3407 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( _|_ `  B
)  i^i  B )
)
2 incom 3374 . . . . . 6  |-  ( ( _|_ `  B )  i^i  B )  =  ( B  i^i  ( _|_ `  B ) )
31, 2syl6sseq 3237 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  ( B  i^i  ( _|_ `  B
) ) )
4 ocin 21891 . . . . . 6  |-  ( B  e.  SH  ->  ( B  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  0H )
54sseq2d 3219 . . . . 5  |-  ( B  e.  SH  ->  (
( A  i^i  B
)  C_  ( B  i^i  ( _|_ `  B
) )  <->  ( A  i^i  B )  C_  0H ) )
63, 5syl5ib 210 . . . 4  |-  ( B  e.  SH  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  0H ) )
76adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( A  i^i  B
)  C_  0H )
)
8 shincl 21976 . . . 4  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  SH )
9 sh0le 22035 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  e.  SH  ->  0H  C_  ( A  i^i  B
) )
108, 9syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  0H  C_  ( A  i^i  B ) )
117, 10jctird 528 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( ( A  i^i  B )  C_  0H  /\  0H  C_  ( A  i^i  B
) ) ) )
12 eqss 3207 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =  0H  <->  ( ( A  i^i  B )  C_  0H  /\  0H  C_  ( A  i^i  B ) ) )
1311, 12syl6ibr 218 1  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( A  i^i  B
)  =  0H ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ` cfv 5271   SHcsh 21524   _|_cort 21526   0Hc0h 21531
This theorem is referenced by:  atomli  22978  chirredlem3  22988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hv0cl 21599  ax-hfvmul 21601  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his2 21678  ax-his3 21679  ax-his4 21680
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-nn 9763  df-hlim 21568  df-sh 21802  df-ch 21817  df-oc 21847  df-ch0 21848
  Copyright terms: Public domain W3C validator