HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  orthin Unicode version

Theorem orthin 22936
Description: The intersection of orthogonal subspaces is the zero subspace. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
orthin  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( A  i^i  B
)  =  0H ) )

Proof of Theorem orthin
StepHypRef Expression
1 ssrin 3558 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( _|_ `  B
)  i^i  B )
)
2 incom 3525 . . . . . 6  |-  ( ( _|_ `  B )  i^i  B )  =  ( B  i^i  ( _|_ `  B ) )
31, 2syl6sseq 3386 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  ( B  i^i  ( _|_ `  B
) ) )
4 ocin 22786 . . . . . 6  |-  ( B  e.  SH  ->  ( B  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  0H )
54sseq2d 3368 . . . . 5  |-  ( B  e.  SH  ->  (
( A  i^i  B
)  C_  ( B  i^i  ( _|_ `  B
) )  <->  ( A  i^i  B )  C_  0H ) )
63, 5syl5ib 211 . . . 4  |-  ( B  e.  SH  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  0H ) )
76adantl 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( A  i^i  B
)  C_  0H )
)
8 shincl 22871 . . . 4  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  SH )
9 sh0le 22930 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  e.  SH  ->  0H  C_  ( A  i^i  B
) )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  0H  C_  ( A  i^i  B ) )
117, 10jctird 529 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( ( A  i^i  B )  C_  0H  /\  0H  C_  ( A  i^i  B
) ) ) )
12 eqss 3355 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =  0H  <->  ( ( A  i^i  B )  C_  0H  /\  0H  C_  ( A  i^i  B ) ) )
1311, 12syl6ibr 219 1  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( A  i^i  B
)  =  0H ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ` cfv 5445   SHcsh 22419   _|_cort 22421   0Hc0h 22426
This theorem is referenced by:  atomli  23873  chirredlem3  23883
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-hilex 22490  ax-hfvadd 22491  ax-hv0cl 22494  ax-hfvmul 22496  ax-hvmul0 22501  ax-hfi 22569  ax-his2 22573  ax-his3 22574  ax-his4 22575
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-ltxr 9114  df-nn 9990  df-hlim 22463  df-sh 22697  df-ch 22712  df-oc 22742  df-ch0 22743
  Copyright terms: Public domain W3C validator