HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  orthin Unicode version

Theorem orthin 22025
Description: The intersection of orthogonal subspaces is the zero subspace. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
orthin  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( A  i^i  B
)  =  0H ) )

Proof of Theorem orthin
StepHypRef Expression
1 ssrin 3394 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( _|_ `  B
)  i^i  B )
)
2 incom 3361 . . . . . 6  |-  ( ( _|_ `  B )  i^i  B )  =  ( B  i^i  ( _|_ `  B ) )
31, 2syl6sseq 3224 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  ( B  i^i  ( _|_ `  B
) ) )
4 ocin 21875 . . . . . 6  |-  ( B  e.  SH  ->  ( B  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  0H )
54sseq2d 3206 . . . . 5  |-  ( B  e.  SH  ->  (
( A  i^i  B
)  C_  ( B  i^i  ( _|_ `  B
) )  <->  ( A  i^i  B )  C_  0H ) )
63, 5syl5ib 210 . . . 4  |-  ( B  e.  SH  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  0H ) )
76adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( A  i^i  B
)  C_  0H )
)
8 shincl 21960 . . . 4  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  SH )
9 sh0le 22019 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  e.  SH  ->  0H  C_  ( A  i^i  B
) )
108, 9syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  0H  C_  ( A  i^i  B ) )
117, 10jctird 528 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( ( A  i^i  B )  C_  0H  /\  0H  C_  ( A  i^i  B
) ) ) )
12 eqss 3194 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =  0H  <->  ( ( A  i^i  B )  C_  0H  /\  0H  C_  ( A  i^i  B ) ) )
1311, 12syl6ibr 218 1  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( A  i^i  B
)  =  0H ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ` cfv 5255   SHcsh 21508   _|_cort 21510   0Hc0h 21515
This theorem is referenced by:  atomli  22962  chirredlem3  22972
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hv0cl 21583  ax-hfvmul 21585  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-nn 9747  df-hlim 21552  df-sh 21786  df-ch 21801  df-oc 21831  df-ch0 21832
  Copyright terms: Public domain W3C validator