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Theorem osneisi 25531
Description: The non empty open sets are neighborhoods of the singletons. (Contributed by FL, 16-Jul-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
osneisi.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
osneisi  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( A  e.  J  ->  A  e.  U_ x  e.  X  ( ( nei `  J ) `  {
x } ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X

Proof of Theorem osneisi
Dummy variables  a 
f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  _V )
2 ac5g 25075 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  _V  ->  E. f
( f  Fn  J  /\  A. a  e.  J  ( a  =/=  (/)  ->  (
f `  a )  e.  a ) ) )
3 neeq1 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  A  ->  (
a  =/=  (/)  <->  A  =/=  (/) ) )
4 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  A  ->  (
f `  a )  =  ( f `  A ) )
5 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  A  ->  a  =  A )
64, 5eleq12d 2351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  A  ->  (
( f `  a
)  e.  a  <->  ( f `  A )  e.  A
) )
73, 6imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  A  ->  (
( a  =/=  (/)  ->  (
f `  a )  e.  a )  <->  ( A  =/=  (/)  ->  ( f `  A )  e.  A
) ) )
87rspcv 2880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  J  ->  ( A. a  e.  J  ( a  =/=  (/)  ->  (
f `  a )  e.  a )  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( f `  A )  e.  A
) ) )
9 pm2.27 35 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( ( A  =/=  (/)  ->  ( f `  A )  e.  A
)  ->  ( f `  A )  e.  A
) )
10 elunii 3832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f `  A
)  e.  A  /\  A  e.  J )  ->  ( f `  A
)  e.  U. J
)
11 osneisi.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  X  = 
U. J
1211eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. J  =  X
1312eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  A )  e.  U. J  <->  ( f `  A )  e.  X
)
14 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
1514, 11syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_  X )
1615ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( f `  A )  e.  A  /\  A  e.  J
)  /\  J  e.  Top )  ->  A  C_  X )
17 snssi 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f `  A )  e.  A  ->  { ( f `  A ) }  C_  A )
18 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  A  C_  A
1917, 18jctir 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f `  A )  e.  A  ->  ( { ( f `  A ) }  C_  A  /\  A  C_  A
) )
20 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  A  ->  ( { ( f `  A ) }  C_  y 
<->  { ( f `  A ) }  C_  A ) )
21 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C_  A  <->  A  C_  A
) )
2220, 21anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  A  ->  (
( { ( f `
 A ) } 
C_  y  /\  y  C_  A )  <->  ( {
( f `  A
) }  C_  A  /\  A  C_  A ) ) )
2322rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  J  /\  ( { ( f `  A ) }  C_  A  /\  A  C_  A
) )  ->  E. y  e.  J  ( {
( f `  A
) }  C_  y  /\  y  C_  A ) )
2423ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  J  ->  (
( { ( f `
 A ) } 
C_  A  /\  A  C_  A )  ->  E. y  e.  J  ( {
( f `  A
) }  C_  y  /\  y  C_  A ) ) )
2519, 24mpan9 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f `  A
)  e.  A  /\  A  e.  J )  ->  E. y  e.  J  ( { ( f `  A ) }  C_  y  /\  y  C_  A
) )
2625adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( f `  A )  e.  A  /\  A  e.  J
)  /\  J  e.  Top )  ->  E. y  e.  J  ( {
( f `  A
) }  C_  y  /\  y  C_  A ) )
2716, 26jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f `  A )  e.  A  /\  A  e.  J
)  /\  J  e.  Top )  ->  ( A 
C_  X  /\  E. y  e.  J  ( { ( f `  A ) }  C_  y  /\  y  C_  A
) ) )
28 sneq 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  ( f `  A )  ->  { x }  =  { (
f `  A ) } )
2928adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  =  ( f `
 A )  /\  y  e.  J )  ->  { x }  =  { ( f `  A ) } )
3029sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  =  ( f `
 A )  /\  y  e.  J )  ->  ( { x }  C_  y  <->  { ( f `  A ) }  C_  y ) )
3130anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  =  ( f `
 A )  /\  y  e.  J )  ->  ( ( { x }  C_  y  /\  y  C_  A )  <->  ( {
( f `  A
) }  C_  y  /\  y  C_  A ) ) )
3231rexbidva 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( f `  A )  ->  ( E. y  e.  J  ( { x }  C_  y  /\  y  C_  A
)  <->  E. y  e.  J  ( { ( f `  A ) }  C_  y  /\  y  C_  A
) ) )
3332anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( f `  A )  ->  (
( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( { x }  C_  y  /\  y  C_  A
) )  <->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( {
( f `  A
) }  C_  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
3433rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f `  A
)  e.  X  /\  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( { ( f `  A ) }  C_  y  /\  y  C_  A
) ) )  ->  E. x  e.  X  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( { x }  C_  y  /\  y  C_  A
) ) )
3534ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f `  A )  e.  X  ->  (
( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( { ( f `  A ) }  C_  y  /\  y  C_  A
) )  ->  E. x  e.  X  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( {
x }  C_  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
3627, 35syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f `  A )  e.  A  /\  A  e.  J
)  /\  J  e.  Top )  ->  ( ( f `  A )  e.  X  ->  E. x  e.  X  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( {
x }  C_  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
3713, 36syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f `  A )  e.  A  /\  A  e.  J
)  /\  J  e.  Top )  ->  ( ( f `  A )  e.  U. J  ->  E. x  e.  X  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( { x }  C_  y  /\  y  C_  A
) ) ) )
3837ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f `  A
)  e.  A  /\  A  e.  J )  ->  ( J  e.  Top  ->  ( ( f `  A )  e.  U. J  ->  E. x  e.  X  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( { x }  C_  y  /\  y  C_  A
) ) ) ) )
3910, 38mpid 37 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  A
)  e.  A  /\  A  e.  J )  ->  ( J  e.  Top  ->  E. x  e.  X  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( { x }  C_  y  /\  y  C_  A
) ) ) )
4039ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  A )  e.  A  ->  ( A  e.  J  ->  ( J  e.  Top  ->  E. x  e.  X  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( { x }  C_  y  /\  y  C_  A
) ) ) ) )
419, 40syl6 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( ( A  =/=  (/)  ->  ( f `  A )  e.  A
)  ->  ( A  e.  J  ->  ( J  e.  Top  ->  E. x  e.  X  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( {
x }  C_  y  /\  y  C_  A ) ) ) ) ) )
4241com4l 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =/=  (/)  ->  (
f `  A )  e.  A )  ->  ( A  e.  J  ->  ( J  e.  Top  ->  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  X  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( {
x }  C_  y  /\  y  C_  A ) ) ) ) ) )
438, 42syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  J  ->  ( A. a  e.  J  ( a  =/=  (/)  ->  (
f `  a )  e.  a )  ->  ( A  e.  J  ->  ( J  e.  Top  ->  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  X  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( {
x }  C_  y  /\  y  C_  A ) ) ) ) ) ) )
4443pm2.43a 45 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  J  ->  ( A. a  e.  J  ( a  =/=  (/)  ->  (
f `  a )  e.  a )  ->  ( J  e.  Top  ->  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  X  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( {
x }  C_  y  /\  y  C_  A ) ) ) ) ) )
4544com4l 78 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  J  (
a  =/=  (/)  ->  (
f `  a )  e.  a )  ->  ( J  e.  Top  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( A  e.  J  ->  E. x  e.  X  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( {
x }  C_  y  /\  y  C_  A ) ) ) ) ) )
4645adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  Fn  J  /\  A. a  e.  J  ( a  =/=  (/)  ->  (
f `  a )  e.  a ) )  -> 
( J  e.  Top  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( A  e.  J  ->  E. x  e.  X  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( { x }  C_  y  /\  y  C_  A
) ) ) ) ) )
4746exlimiv 1666 . . . . . . 7  |-  ( E. f ( f  Fn  J  /\  A. a  e.  J  ( a  =/=  (/)  ->  ( f `  a )  e.  a ) )  ->  ( J  e.  Top  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( A  e.  J  ->  E. x  e.  X  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( {
x }  C_  y  /\  y  C_  A ) ) ) ) ) )
481, 2, 473syl 18 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Top  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( A  e.  J  ->  E. x  e.  X  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( {
x }  C_  y  /\  y  C_  A ) ) ) ) ) )
4948pm2.43i 43 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( A  e.  J  ->  E. x  e.  X  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( {
x }  C_  y  /\  y  C_  A ) ) ) ) )
5049imp31 421 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  =/=  (/) )  /\  A  e.  J )  ->  E. x  e.  X  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( { x }  C_  y  /\  y  C_  A
) ) )
51 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  =/=  (/) )  /\  A  e.  J )  ->  J  e.  Top )
52 snssi 3759 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  ->  { x }  C_  X )
5311isnei 16840 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { x }  C_  X
)  ->  ( A  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( {
x }  C_  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
5451, 52, 53syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  A  =/=  (/) )  /\  A  e.  J )  /\  x  e.  X )  ->  ( A  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } )  <-> 
( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( { x }  C_  y  /\  y  C_  A
) ) ) )
5554rexbidva 2560 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  =/=  (/) )  /\  A  e.  J )  ->  ( E. x  e.  X  A  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  E. x  e.  X  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  J  ( {
x }  C_  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
5650, 55mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  =/=  (/) )  /\  A  e.  J )  ->  E. x  e.  X  A  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )
57 eliun 3909 . . 3  |-  ( A  e.  U_ x  e.  X  ( ( nei `  J ) `  {
x } )  <->  E. x  e.  X  A  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
5856, 57sylibr 203 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  =/=  (/) )  /\  A  e.  J )  ->  A  e.  U_ x  e.  X  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )
5958ex 423 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( A  e.  J  ->  A  e.  U_ x  e.  X  ( ( nei `  J ) `  {
x } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   U_ciun 3905    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   Topctop 16631   neicnei 16834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ac 7743  df-top 16636  df-nei 16835
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