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Theorem ostth 20788
Description: Ostrowski's theorem, which classifies all absolute values on  QQ. Any such absolute value must either be the trivial absolute value  K, a constant exponent  0  <  a  <_  1 times the regular absolute value, or a positive exponent times the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
Assertion
Ref Expression
ostth  |-  ( F  e.  A  <->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  \/  E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) ) ) )
Distinct variable groups:    q, a, x, y    g, a, J, y    A, a, q, x, y    x, Q, y    F, a    g, q, F, y    x, F
Allowed substitution hints:    A( g)    Q( g, q, a)    J( x, q)    K( x, y, g, q, a)

Proof of Theorem ostth
Dummy variables  k  n  p  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qrng.q . . . . . . 7  |-  Q  =  (flds  QQ )
2 qabsabv.a . . . . . . 7  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
3 padic.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
4 ostth.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
5 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  F  e.  A )
6 1re 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
76ltnri 8929 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1  <  1
8 ax-1ne0 8806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =/=  0
91qrng1 20771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =  ( 1r `  Q )
101qrng0 20770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  =  ( 0g `  Q )
112, 9, 10abv1z 15597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  A  /\  1  =/=  0 )  -> 
( F `  1
)  =  1 )
128, 11mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  1 )  =  1 )
1312breq2d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  A  ->  (
1  <  ( F `  1 )  <->  1  <  1 ) )
147, 13mtbiri 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  A  ->  -.  1  <  ( F ` 
1 ) )
1514adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  -.  1  <  ( F `  1
) )
16 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  1  <  ( F `  n ) )
17 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) )
1817breq2d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
1  <  ( F `  n )  <->  1  <  ( F `  1 ) ) )
1916, 18syl5ibcom 211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  ( n  =  1  ->  1  <  ( F `  1
) ) )
2015, 19mtod 168 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  -.  n  =  1 )
21 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  n  e.  NN )
22 elnn1uz2 10294 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  <->  ( n  =  1  \/  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
2321, 22sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  ( n  =  1  \/  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
2423ord 366 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  ( -.  n  =  1  ->  n  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
2520, 24mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
26 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( ( log `  ( F `
 n ) )  /  ( log `  n
) )  =  ( ( log `  ( F `  n )
)  /  ( log `  n ) )
271, 2, 3, 4, 5, 25, 16, 26ostth2 20786 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) ) )
2827expr 598 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  <  ( F `  n )  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  a ) ) ) )
2928rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  ( E. n  e.  NN  1  <  ( F `  n )  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) ) ) )
30 3mix2 1125 . . . 4  |-  ( E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  -> 
( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  \/  E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) ) ) )
3129, 30syl6 29 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( E. n  e.  NN  1  <  ( F `  n )  ->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  \/ 
E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) ) ) ) )
32 ralnex 2553 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `  n )  <->  -.  E. n  e.  NN  1  <  ( F `  n )
)
33 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  ( F `  p )  <  1
) )  ->  F  e.  A )
34 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  ( F `  p )  <  1
) )  ->  A. n  e.  NN  -.  1  < 
( F `  n
) )
35 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
3635breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
1  <  ( F `  n )  <->  1  <  ( F `  k ) ) )
3736notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( -.  1  <  ( F `
 n )  <->  -.  1  <  ( F `  k
) ) )
3837cbvralv 2764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `  n )  <->  A. k  e.  NN  -.  1  < 
( F `  k
) )
3934, 38sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  ( F `  p )  <  1
) )  ->  A. k  e.  NN  -.  1  < 
( F `  k
) )
40 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  ( F `  p )  <  1
) )  ->  p  e.  Prime )
41 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  ( F `  p )  <  1
) )  ->  ( F `  p )  <  1 )
42 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
( log `  ( F `  p )
)  /  ( log `  p ) )  = 
-u ( ( log `  ( F `  p
) )  /  ( log `  p ) )
43 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( F `  p
)  <_  ( F `  z ) ,  ( F `  z ) ,  ( F `  p ) )  =  if ( ( F `
 p )  <_ 
( F `  z
) ,  ( F `
 z ) ,  ( F `  p
) )
441, 2, 3, 4, 33, 39, 40, 41, 42, 43ostth3 20787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  ( F `  p )  <  1
) )  ->  E. a  e.  RR+  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) ) )
4544expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( F `
 p )  <  1  ->  E. a  e.  RR+  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) ) ) )
4645reximdva 2655 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `  n ) )  -> 
( E. p  e. 
Prime  ( F `  p
)  <  1  ->  E. p  e.  Prime  E. a  e.  RR+  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) ) ) )
471, 2, 3padicabvf 20780 . . . . . . . . . . 11  |-  J : Prime --> A
48 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J : Prime --> A  ->  J  Fn  Prime )
49 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( J `  p )  ->  (
g `  y )  =  ( ( J `
 p ) `  y ) )
5049oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( J `  p )  ->  (
( g `  y
)  ^ c  a )  =  ( ( ( J `  p
) `  y )  ^ c  a )
)
5150mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( J `  p )  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y
)  ^ c  a ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) ) )
5251eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( J `  p )  ->  ( F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) )  <-> 
F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p
) `  y )  ^ c  a )
) ) )
5352rexrn 5667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  Fn  Prime  ->  ( E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) )  <->  E. p  e.  Prime  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `
 y )  ^ c  a ) ) ) )
5447, 48, 53mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) )  <->  E. p  e.  Prime  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `
 y )  ^ c  a ) ) )
5554rexbii 2568 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) )  <->  E. a  e.  RR+  E. p  e. 
Prime  F  =  (
y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) ) )
56 rexcom 2701 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  RR+  E. p  e.  Prime  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) )  <->  E. p  e.  Prime  E. a  e.  RR+  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `
 y )  ^ c  a ) ) )
5755, 56bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) )  <->  E. p  e.  Prime  E. a  e.  RR+  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `
 y )  ^ c  a ) ) )
58 3mix3 1126 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) )  -> 
( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  \/  E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) ) ) )
5957, 58sylbir 204 . . . . . . 7  |-  ( E. p  e.  Prime  E. a  e.  RR+  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) )  ->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  \/ 
E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) ) ) )
6046, 59syl6 29 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `  n ) )  -> 
( E. p  e. 
Prime  ( F `  p
)  <  1  ->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  \/ 
E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) ) ) ) )
61 ralnex 2553 . . . . . . 7  |-  ( A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p )  <  1  <->  -.  E. p  e.  Prime  ( F `  p )  <  1
)
62 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n )  /\  A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  F  e.  A )
63 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n )  /\  A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )
6463, 38sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n )  /\  A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  A. k  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 k ) )
65 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n )  /\  A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p
)  <  1 )
66 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  k  ->  ( F `  p )  =  ( F `  k ) )
6766breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  k  ->  (
( F `  p
)  <  1  <->  ( F `  k )  <  1
) )
6867notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  k  ->  ( -.  ( F `  p
)  <  1  <->  -.  ( F `  k )  <  1 ) )
6968cbvralv 2764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p )  <  1  <->  A. k  e.  Prime  -.  ( F `  k
)  <  1 )
7065, 69sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n )  /\  A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  A. k  e.  Prime  -.  ( F `  k
)  <  1 )
711, 2, 3, 4, 62, 64, 70ostth1 20782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n )  /\  A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  F  =  K )
72 3mix1 1124 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  K  ->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  \/ 
E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) ) ) )
7371, 72syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n )  /\  A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p )  <  1 ) )  -> 
( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  \/  E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) ) ) )
7473expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `  n ) )  -> 
( A. p  e. 
Prime  -.  ( F `  p )  <  1  ->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  \/  E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) ) ) ) )
7561, 74syl5bir 209 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `  n ) )  -> 
( -.  E. p  e.  Prime  ( F `  p )  <  1  ->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  \/  E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) ) ) ) )
7660, 75pm2.61d 150 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `  n ) )  -> 
( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  \/  E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) ) ) )
7776ex 423 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n )  -> 
( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  \/  E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) ) ) ) )
7832, 77syl5bir 209 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( -.  E. n  e.  NN  1  <  ( F `  n )  ->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  \/ 
E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) ) ) ) )
7931, 78pm2.61d 150 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  \/ 
E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) ) ) )
80 id 19 . . . 4  |-  ( F  =  K  ->  F  =  K )
811qdrng 20769 . . . . 5  |-  Q  e.  DivRing
821qrngbas 20768 . . . . . 6  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
832, 82, 10, 4abvtriv 15606 . . . . 5  |-  ( Q  e.  DivRing  ->  K  e.  A
)
8481, 83ax-mp 8 . . . 4  |-  K  e.  A
8580, 84syl6eqel 2371 . . 3  |-  ( F  =  K  ->  F  e.  A )
861, 2qabsabv 20778 . . . . . 6  |-  ( abs  |`  QQ )  e.  A
87 fvres 5542 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  QQ  ->  (
( abs  |`  QQ ) `
 y )  =  ( abs `  y
) )
8887oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  QQ  ->  (
( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^ c  a )  =  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )
8988mpteq2ia 4102 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^ c  a ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )
9089eqcomi 2287 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  a ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^ c  a ) )
912, 82, 90abvcxp 20764 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  |`  QQ )  e.  A  /\  a  e.  ( 0 (,] 1
) )  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  e.  A
)
9286, 91mpan 651 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  e.  A
)
93 eleq1 2343 . . . . 5  |-  ( F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  -> 
( F  e.  A  <->  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  e.  A
) )
9492, 93syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( a  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  ->  F  e.  A )
)
9594rexlimiv 2661 . . 3  |-  ( E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  ->  F  e.  A )
961, 2, 3padicabvcxp 20781 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  a  e.  RR+ )  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) )  e.  A
)
9796ancoms 439 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  p  e.  Prime )  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) )  e.  A
)
98 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `
 y )  ^ c  a ) )  ->  ( F  e.  A  <->  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `
 y )  ^ c  a ) )  e.  A ) )
9997, 98syl5ibrcom 213 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  p  e.  Prime )  ->  ( F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `
 y )  ^ c  a ) )  ->  F  e.  A
) )
10099rexlimivv 2672 . . . 4  |-  ( E. a  e.  RR+  E. p  e.  Prime  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) )  ->  F  e.  A )
10155, 100sylbi 187 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) )  ->  F  e.  A )
10285, 95, 1013jaoi 1245 . 2  |-  ( ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  \/ 
E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) ) )  ->  F  e.  A )
10379, 102impbii 180 1  |-  ( F  e.  A  <->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  \/  E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZ>=cuz 10230   QQcq 10316   RR+crp 10354   (,]cioc 10657   ^cexp 11104   abscabs 11719   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889   ↾s cress 13149   DivRingcdr 15512  AbsValcabv 15581  ℂfldccnfld 16377   logclog 19912    ^ c ccxp 19913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-abv 15582  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915
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