Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth1 Unicode version

Theorem ostth1 20782
 Description: - Lemma for ostth 20788: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If is equal to on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 15594 of the absolute value, is equal to on all the integers, and ostthlem1 20776 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q flds
qabsabv.a AbsVal
ostth.k
ostth.1
ostth1.2
ostth1.3
Assertion
Ref Expression
ostth1
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,)

Proof of Theorem ostth1
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 flds
2 qabsabv.a . 2 AbsVal
3 ostth.1 . 2
41qdrng 20769 . . 3
51qrngbas 20768 . . . 4
61qrng0 20770 . . . 4
7 ostth.k . . . 4
82, 5, 6, 7abvtriv 15606 . . 3
94, 8mp1i 11 . 2
10 ostth1.3 . . . . 5
1110r19.21bi 2641 . . . 4
12 prmnn 12761 . . . . 5
13 ostth1.2 . . . . . 6
1413r19.21bi 2641 . . . . 5
1512, 14sylan2 460 . . . 4
16 nnq 10329 . . . . . . 7
1712, 16syl 15 . . . . . 6
182, 5abvcl 15589 . . . . . 6
193, 17, 18syl2an 463 . . . . 5
20 1re 8837 . . . . 5
21 lttri3 8905 . . . . 5
2219, 20, 21sylancl 643 . . . 4
2311, 15, 22mpbir2and 888 . . 3
2412adantl 452 . . . 4
25 eqeq1 2289 . . . . . . . 8
2625ifbid 3583 . . . . . . 7
27 c0ex 8832 . . . . . . . 8
28 1ex 8833 . . . . . . . 8
2927, 28ifex 3623 . . . . . . 7
3026, 7, 29fvmpt 5602 . . . . . 6
3116, 30syl 15 . . . . 5
32 nnne0 9778 . . . . . . 7
3332neneqd 2462 . . . . . 6
34 iffalse 3572 . . . . . 6
3533, 34syl 15 . . . . 5
3631, 35eqtrd 2315 . . . 4
3724, 36syl 15 . . 3
3823, 37eqtr4d 2318 . 2
391, 2, 3, 9, 38ostthlem2 20777 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cif 3565   class class class wbr 4023   cmpt 4077  cfv 5255  (class class class)co 5858  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   clt 8867  cneg 9038  cn 9746  cq 10316  cexp 11104  cprime 12758   cpc 12889   ↾s cress 13149  cdr 15512  AbsValcabv 15581  ℂfldccnfld 16377 This theorem is referenced by:  ostth  20788 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-dvds 12532  df-prm 12759  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-abv 15582  df-cnfld 16378
 Copyright terms: Public domain W3C validator