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Theorem ostth2 20786
Description: - Lemma for ostth 20788: regular case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
Assertion
Ref Expression
ostth2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  a ) ) )
Distinct variable groups:    q, a, x, y, ph    J, a, y    A, a, q, x, y   
x, N, y    x, Q, y    F, a, q, y    R, a, q, y   
x, F
Allowed substitution hints:    Q( q, a)    R( x)    J( x, q)    K( x, y, q, a)    N( q, a)

Proof of Theorem ostth2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.4 . . . . 5  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
2 ostth.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
3 ostth2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4 eluz2b2 10290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
53, 4sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
65simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 nnq 10329 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
86, 7syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
9 qabsabv.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
10 qrng.q . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  (flds  QQ )
1110qrngbas 20768 . . . . . . . . 9  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
129, 11abvcl 15589 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ )  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
132, 8, 12syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
14 ostth2.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
1513, 14rplogcld 19980 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR+ )
166nnred 9761 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
175simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  N )
1816, 17rplogcld 19980 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR+ )
1915, 18rpdivcld 10407 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )  e.  RR+ )
201, 19syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
2120rpred 10390 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
2220rpgt0d 10393 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  R )
236nnnn0d 10018 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2410, 9qabvle 20774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( F `  N
)  <_  N )
252, 23, 24syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  N )
266nnne0d 9790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
2710qrng0 20770 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  =  ( 0g `  Q )
289, 11, 27abvgt0 15593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ  /\  N  =/=  0 )  ->  0  <  ( F `  N
) )
292, 8, 26, 28syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 N ) )
3013, 29elrpd 10388 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR+ )
3130reeflogd 19975 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  =  ( F `  N ) )
326nnrpd 10389 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
3332reeflogd 19975 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  N ) )  =  N )
3425, 31, 333brtr4d 4053 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  N ) ) )
3515rpred 10390 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR )
3632relogcld 19974 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
37 efle 12398 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR  /\  ( log `  N )  e.  RR )  -> 
( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( log `  N )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( log `  N
) ) ) )
3835, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( log `  N )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( log `  N
) ) ) )
3934, 38mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( log `  N ) )
4018rpcnd 10392 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
4140mulid1d 8852 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  1 )  =  ( log `  N
) )
4239, 41breqtrrd 4049 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  1 ) )
43 1re 8837 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
4443a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
4535, 44, 18ledivmuld 10439 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( F `  N
) )  /  ( log `  N ) )  <_  1  <->  ( log `  ( F `  N
) )  <_  (
( log `  N
)  x.  1 ) ) )
4642, 45mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )  <_ 
1 )
471, 46syl5eqbr 4056 . . 3  |-  ( ph  ->  R  <_  1 )
48 0xr 8878 . . . 4  |-  0  e.  RR*
49 elioc2 10713 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( R  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( R  e.  RR  /\  0  < 
R  /\  R  <_  1 ) ) )
5048, 43, 49mp2an 653 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( R  e.  RR  /\  0  < 
R  /\  R  <_  1 ) )
5121, 22, 47, 50syl3anbrc 1136 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  ( 0 (,] 1 ) )
5210, 9qabsabv 20778 . . . 4  |-  ( abs  |`  QQ )  e.  A
53 fvres 5542 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  QQ  ->  (
( abs  |`  QQ ) `
 y )  =  ( abs `  y
) )
5453oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  QQ  ->  (
( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^ c  R )  =  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) )
5554mpteq2ia 4102 . . . . . 6  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^ c  R ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) )
5655eqcomi 2287 . . . . 5  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  R ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^ c  R ) )
579, 11, 56abvcxp 20764 . . . 4  |-  ( ( ( abs  |`  QQ )  e.  A  /\  R  e.  ( 0 (,] 1
) )  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) )  e.  A
)
5852, 51, 57sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) )  e.  A
)
59 eluzelz 10238 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  ZZ )
60 zq 10322 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  QQ )
61 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  z
) )
6261oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  y
)  ^ c  R
)  =  ( ( abs `  z )  ^ c  R ) )
63 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  R ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  R ) )
64 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  z )  ^ c  R )  e.  _V
6562, 63, 64fvmpt 5602 . . . . . 6  |-  ( z  e.  QQ  ->  (
( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) ) `  z
)  =  ( ( abs `  z )  ^ c  R ) )
6659, 60, 653syl 18 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) ) `  z
)  =  ( ( abs `  z )  ^ c  R ) )
6766adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) ) `  z
)  =  ( ( abs `  z )  ^ c  R ) )
68 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
69 eluz2b2 10290 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( z  e.  NN  /\  1  < 
z ) )
7068, 69sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( z  e.  NN  /\  1  < 
z ) )
7170simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  NN )
7271nnred 9761 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  RR )
7371nnnn0d 10018 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  NN0 )
7473nn0ge0d 10021 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <_  z )
7572, 74absidd 11905 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( abs `  z )  =  z )
7675oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( abs `  z )  ^ c  R )  =  ( z  ^ c  R
) )
7772recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  CC )
7871nnne0d 9790 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  =/=  0 )
7920rpcnd 10392 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
8079adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  e.  CC )
8177, 78, 80cxpefd 20059 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( z  ^ c  R )  =  ( exp `  ( R  x.  ( log `  z ) ) ) )
82 padic.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
83 ostth.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
842adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  F  e.  A )
853adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
8614adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  ( F `  N ) )
87 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  ( F `
 z ) )  /  ( log `  z
) )  =  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )
88 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( F `  z
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 z ) )  =  if ( ( F `  z )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  z ) )
89 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  N )  /  ( log `  z
) )  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  z ) )
9010, 9, 82, 83, 84, 85, 86, 1, 68, 87, 88, 89ostth2lem4 20785 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  <  ( F `  z )  /\  R  <_  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) ) ) )
9190simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  <_  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) ) )
9290simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  ( F `  z ) )
93 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( F `  N
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 N ) )  =  if ( ( F `  N )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  N ) )
94 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  z )  /  ( log `  N
) )  =  ( ( log `  z
)  /  ( log `  N ) )
9510, 9, 82, 83, 84, 68, 92, 87, 85, 1, 93, 94ostth2lem4 20785 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  <  ( F `  N )  /\  (
( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  <_  R ) )
9695simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( log `  ( F `  z ) )  / 
( log `  z
) )  <_  R
)
9721adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  e.  RR )
9859adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  ZZ )
9998, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  QQ )
1009, 11abvcl 15589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  A  /\  z  e.  QQ )  ->  ( F `  z
)  e.  RR )
10184, 99, 100syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
1029, 11, 27abvgt0 15593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  A  /\  z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 )  ->  0  <  ( F `  z
) )
10384, 99, 78, 102syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <  ( F `  z ) )
104101, 103elrpd 10388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR+ )
105104relogcld 19974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  ( F `  z
) )  e.  RR )
10671nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  RR+ )
107106relogcld 19974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  z )  e.  RR )
108 ef0 12372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( exp `  0 )  =  1
10970simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  z )
110106reeflogd 19975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  ( log `  z
) )  =  z )
111109, 110breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  ( exp `  ( log `  z ) ) )
112108, 111syl5eqbr 4056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  0 )  <  ( exp `  ( log `  z
) ) )
113 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
114 eflt 12397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( log `  z )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( log `  z )  <->  ( exp `  0 )  <  ( exp `  ( log `  z
) ) ) )
115113, 107, 114sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 0  <  ( log `  z
)  <->  ( exp `  0
)  <  ( exp `  ( log `  z
) ) ) )
116112, 115mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <  ( log `  z ) )
117116gt0ne0d 9337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  z )  =/=  0
)
118105, 107, 117redivcld 9588 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( log `  ( F `  z ) )  / 
( log `  z
) )  e.  RR )
11997, 118letri3d 8961 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( R  =  ( ( log `  ( F `  z
) )  /  ( log `  z ) )  <-> 
( R  <_  (
( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  /\  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  <_  R ) ) )
12091, 96, 119mpbir2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  =  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) ) )
121120oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( R  x.  ( log `  z
) )  =  ( ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  x.  ( log `  z
) ) )
122105recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  ( F `  z
) )  e.  CC )
123107recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  z )  e.  CC )
124122, 123, 117divcan1d 9537 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  x.  ( log `  z
) )  =  ( log `  ( F `
 z ) ) )
125121, 124eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( R  x.  ( log `  z
) )  =  ( log `  ( F `
 z ) ) )
126125fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  ( R  x.  ( log `  z ) ) )  =  ( exp `  ( log `  ( F `  z )
) ) )
127104reeflogd 19975 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  z )
) )  =  ( F `  z ) )
12881, 126, 1273eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( z  ^ c  R )  =  ( F `  z ) )
12967, 76, 1283eqtrrd 2320 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  z )  =  ( ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) ) `  z
) )
13010, 9, 2, 58, 129ostthlem1 20776 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  R ) ) )
131 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( a  =  R  ->  (
( abs `  y
)  ^ c  a )  =  ( ( abs `  y )  ^ c  R ) )
132131mpteq2dv 4107 . . . 4  |-  ( a  =  R  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) ) )
133132eqeq2d 2294 . . 3  |-  ( a  =  R  ->  ( F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  <->  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) ) ) )
134133rspcev 2884 . 2  |-  ( ( R  e.  ( 0 (,] 1 )  /\  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  R ) ) )  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  a ) ) )
13551, 130, 134syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  a ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    |` cres 4691   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   QQcq 10316   RR+crp 10354   (,]cioc 10657   ^cexp 11104   abscabs 11719   expce 12343   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889   ↾s cress 13149  AbsValcabv 15581  ℂfldccnfld 16377   logclog 19912    ^ c ccxp 19913
This theorem is referenced by:  ostth  20788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-abv 15582  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915
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