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Theorem ostth2lem2 21330
Description: Lemma for ostth2 21333. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
ostth2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.6  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
ostth2.7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
Assertion
Ref Expression
ostth2lem2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN0 
/\  Y  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  Y )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, q, ph    x, T    x, X    A, q, x    x, N    x, Q    F, q    R, q    x, F
Allowed substitution hints:    Q( q)    R( x)    S( x, q)    T( q)    J( x, q)    K( x, q)    M( q)    N( q)    X( q)    Y( x, q)

Proof of Theorem ostth2lem2
Dummy variables  k  n  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( M ^ x )  =  ( M ^ 0 ) )
21oveq1d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( M ^ x
)  -  1 )  =  ( ( M ^ 0 )  - 
1 ) )
32oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( M ^ 0 )  -  1 ) ) )
4 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( M  x.  x )  =  ( M  x.  0 ) )
5 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( T ^ x )  =  ( T ^ 0 ) )
64, 5oveq12d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) )  =  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) )
76breq2d 4226 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
83, 7raleqbidv 2918 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ 0 )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
98imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ x
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ 0 )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) ) )
10 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  ( M ^ x )  =  ( M ^ n
) )
1110oveq1d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
( M ^ x
)  -  1 )  =  ( ( M ^ n )  - 
1 ) )
1211oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( M ^ n
)  -  1 ) ) )
13 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  ( M  x.  x )  =  ( M  x.  n ) )
14 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  ( T ^ x )  =  ( T ^ n
) )
1513, 14oveq12d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) )  =  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) )
1615breq2d 4226 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) ) ) )
1712, 16raleqbidv 2918 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ n
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) ) ) )
1817imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ x
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) ) )
19 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M ^ x )  =  ( M ^ (
n  +  1 ) ) )
2019oveq1d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( M ^ x
)  -  1 )  =  ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )
2120oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) )
22 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M  x.  x )  =  ( M  x.  ( n  +  1
) ) )
23 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( T ^ x )  =  ( T ^ (
n  +  1 ) ) )
2422, 23oveq12d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) )  =  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ (
n  +  1 ) ) ) )
2524breq2d 4226 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
2621, 25raleqbidv 2918 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
2726imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ x
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
28 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( M ^ x )  =  ( M ^ X
) )
2928oveq1d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( M ^ x
)  -  1 )  =  ( ( M ^ X )  - 
1 ) )
3029oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( M ^ X
)  -  1 ) ) )
31 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( M  x.  x )  =  ( M  x.  X ) )
32 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( T ^ x )  =  ( T ^ X
) )
3331, 32oveq12d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) )  =  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) ) )
3433breq2d 4226 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) ) )
3530, 34raleqbidv 2918 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( ( M ^ x )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  x )  x.  ( T ^ x
) )  <->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ X
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) ) )
3635imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ x
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  x
)  x.  ( T ^ x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) ) ) ) )
37 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
38 eluz2b2 10550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
3938simplbi 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  NN )
4037, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4140nncnd 10018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
4241exp0d 11519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M ^ 0 )  =  1 )
4342oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
0 )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
44 1m1e0 10070 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
4543, 44syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
0 )  -  1 )  =  0 )
4645oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( M ^ 0 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... 0 ) )
4746eleq2d 2505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ 0 )  -  1 ) )  <-> 
k  e.  ( 0 ... 0 ) ) )
48 0le0 10083 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
4948a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  0 )
50 ostth.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
51 qabsabv.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
52 qrng.q . . . . . . . . . . . 12  |-  Q  =  (flds  QQ )
5352qrng0 21317 . . . . . . . . . . 11  |-  0  =  ( 0g `  Q )
5451, 53abv0 15921 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  0 )  =  0 )
5550, 54syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  0 )
5641mul01d 9267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  x.  0 )  =  0 )
5756oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) )  =  ( 0  x.  ( T ^ 0 ) ) )
58 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
59 1re 9092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
60 nnq 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
6140, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
6252qrngbas 21315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
6351, 62abvcl 15914 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
6450, 61, 63syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
65 ifcl 3777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  e.  RR )
6659, 64, 65sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )  e.  RR )
6758, 66syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
6867recnd 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
69 0nn0 10238 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
70 expcl 11401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  CC  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( T ^ 0 )  e.  CC )
7168, 69, 70sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T ^ 0 )  e.  CC )
7271mul02d 9266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  ( T ^ 0 ) )  =  0 )
7357, 72eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) )  =  0 )
7449, 55, 733brtr4d 4244 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^
0 ) ) )
75 elfz1eq 11070 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  k  =  0 )
7675fveq2d 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
7776breq1d 4224 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^
0 ) )  <->  ( F `  0 )  <_ 
( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
7874, 77syl5ibrcom 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... 0 )  ->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
7947, 78sylbid 208 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ 0 )  -  1 ) )  ->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  0 )  x.  ( T ^ 0 ) ) ) )
8079ralrimiv 2790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ 0 )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  0 )  x.  ( T ^
0 ) ) )
81 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
8281breq1d 4224 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  <->  ( F `  j )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) ) ) )
8382cbvralv 2934 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  <->  A. j  e.  ( 0 ... (
( M ^ n
)  -  1 ) ) ( F `  j )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) ) )
8450ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  F  e.  A
)
85 elfzelz 11061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^
( n  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
8685ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
87 zq 10582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  QQ )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  QQ )
8951, 62abvcl 15914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  A  /\  k  e.  QQ )  ->  ( F `  k
)  e.  RR )
9084, 88, 89syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
9140ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  NN )
92 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
9391, 92nnexpcld 11546 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
n )  e.  NN )
9486, 93zmodcld 11269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  e.  NN0 )
9594nn0zd 10375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  e.  ZZ )
96 zq 10582 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  ZZ  ->  (
k  mod  ( M ^ n ) )  e.  QQ )
9795, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  e.  QQ )
9851, 62abvcl 15914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  QQ )  -> 
( F `  (
k  mod  ( M ^ n ) ) )  e.  RR )
9984, 97, 98syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n ) ) )  e.  RR )
10091, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  QQ )
10184, 100, 63syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  M )  e.  RR )
102101, 92reexpcld 11542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 M ) ^
n )  e.  RR )
10386zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  RR )
104103, 93nndivred 10050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  / 
( M ^ n
) )  e.  RR )
105104flcld 11209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  ZZ )
106 zq 10582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) )  e.  QQ )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  QQ )
10851, 62abvcl 15914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) )  e.  QQ )  -> 
( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  RR )
10984, 107, 108syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) )  e.  RR )
110102, 109remulcld 9118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  M ) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  e.  RR )
11199, 110readdcld 9117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( ( ( F `
 M ) ^
n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
11291nnred 10017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  RR )
113 nn0p1nn 10261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
114113ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN )
115114nnred 10017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  RR )
116112, 115remulcld 9118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( n  +  1
) )  e.  RR )
11767ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  T  e.  RR )
118 peano2nn0 10262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
119118ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN0 )
120117, 119reexpcld 11542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( T ^
( n  +  1 ) )  e.  RR )
121116, 120remulcld 9118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
122 nnq 10589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M ^ n )  e.  NN  ->  ( M ^ n )  e.  QQ )
12393, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
n )  e.  QQ )
124 qmulcl 10594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M ^ n
)  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) )  e.  QQ )  -> 
( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  QQ )
125123, 107, 124syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) )  e.  QQ )
126 qex 10588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  QQ  e.  _V
127 cnfldadd 16710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  +  =  ( +g  ` fld )
12852, 127ressplusg 13573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( QQ  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  Q
) )
129126, 128ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  +  =  ( +g  `  Q )
13051, 62, 129abvtri 15920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  QQ  /\  (
( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  QQ )  -> 
( F `  (
( k  mod  ( M ^ n ) )  +  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  <_  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( F `  (
( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) ) )
13184, 97, 125, 130syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( ( k  mod  ( M ^ n
) )  +  ( ( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )  <_  (
( F `  (
k  mod  ( M ^ n ) ) )  +  ( F `
 ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) ) )
13293nnrpd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
n )  e.  RR+ )
133 modval 11254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( M ^ n )  e.  RR+ )  ->  (
k  mod  ( M ^ n ) )  =  ( k  -  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )
134103, 132, 133syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  =  ( k  -  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )
135134oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  mod  ( M ^
n ) )  +  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( k  -  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) )  +  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )
136103recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  CC )
137 qcn 10590 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  QQ  ->  (
( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  e.  CC )
138125, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) )  e.  CC )
139136, 138npcand 9417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  -  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) ) )  +  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  k )
140135, 139eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  mod  ( M ^
n ) )  +  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  k )
141140fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( ( k  mod  ( M ^ n
) )  +  ( ( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )  =  ( F `  k ) )
142 cnfldmul 16711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x.  =  ( .r ` fld )
14352, 142ressmulr 13584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( QQ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Q ) )
144126, 143ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x.  =  ( .r `  Q )
14551, 62, 144abvmul 15919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( M ^ n )  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) )  e.  QQ )  ->  ( F `  ( ( M ^ n )  x.  ( |_ `  (
k  /  ( M ^ n ) ) ) ) )  =  ( ( F `  ( M ^ n ) )  x.  ( F `
 ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )
14684, 123, 107, 145syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( F `  ( M ^ n ) )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) )
14752, 51qabvexp 21322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( M ^ n ) )  =  ( ( F `
 M ) ^
n ) )
14884, 100, 92, 147syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( M ^ n ) )  =  ( ( F `  M ) ^ n ) )
149148oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( M ^
n ) )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  M
) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) )
150146, 149eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( ( M ^
n )  x.  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  M
) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) )
151150oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( F `  (
( M ^ n
)  x.  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) ) )  =  ( ( F `  (
k  mod  ( M ^ n ) ) )  +  ( ( ( F `  M
) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) ) )
152131, 141, 1513brtr3d 4243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  (
( F `  (
k  mod  ( M ^ n ) ) )  +  ( ( ( F `  M
) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) ) ) ) )
153117, 92reexpcld 11542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( T ^
n )  e.  RR )
154116, 153remulcld 9118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  e.  RR )
155 nn0re 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
156155ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  RR )
157112, 156remulcld 9118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  n )  e.  RR )
158157, 153remulcld 9118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  e.  RR )
159112, 153remulcld 9118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( T ^ n ) )  e.  RR )
160 zmodfz 11270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M ^ n )  e.  NN )  -> 
( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  ( 0 ... ( ( M ^
n )  -  1 ) ) )
16186, 93, 160syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  mod  ( M ^ n
) )  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  -  1 ) ) )
162 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  -  1 ) ) ( F `  j
)  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) )
163 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  ( k  mod  ( M ^ n
) )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n ) ) ) )
164163breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( k  mod  ( M ^ n
) )  ->  (
( F `  j
)  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  <->  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n ) ) )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )
165164rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  mod  ( M ^ n ) )  e.  ( 0 ... ( ( M ^
n )  -  1 ) )  ->  ( A. j  e.  (
0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  ->  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  <_ 
( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n ) ) ) )
166161, 162, 165sylc 59 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( k  mod  ( M ^ n ) ) )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) )
167112, 102remulcld 9118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( ( F `  M ) ^ n
) )  e.  RR )
168102recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 M ) ^
n )  e.  CC )
169109recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) )  e.  CC )
170168, 169mulcomd 9111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  M ) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  =  ( ( F `  ( |_
`  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  x.  ( ( F `
 M ) ^
n ) ) )
17151, 62abvge0 15915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  0  <_  ( F `  M ) )
17284, 100, 171syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  ( F `  M )
)
173101, 92, 172expge0d 11543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  (
( F `  M
) ^ n ) )
174105zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  RR )
175 elfzle1 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^
( n  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  0  <_  k )
176175ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  k
)
17793nnred 10017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
n )  e.  RR )
17893nngt0d 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <  ( M ^ n ) )
179 divge0 9881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <_  k )  /\  ( ( M ^
n )  e.  RR  /\  0  <  ( M ^ n ) ) )  ->  0  <_  ( k  /  ( M ^ n ) ) )
180103, 176, 177, 178, 179syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  (
k  /  ( M ^ n ) ) )
181 flge0nn0 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( k  /  ( M ^ n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  NN0 )
182104, 180, 181syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  e.  NN0 )
18352, 51qabvle 21321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) )  e.  NN0 )  -> 
( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) )  <_  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) )
18484, 182, 183syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) )  <_  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) )
185 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  +  1 ) )  -  1 ) ) )
186 0z 10295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  ZZ
18791, 119nnexpcld 11546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
( n  +  1 ) )  e.  NN )
188187nnzd 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
189 elfzm11 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( M ^ ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  +  1 ) )  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  0  <_  k  /\  k  <  ( M ^
( n  +  1 ) ) ) ) )
190186, 188, 189sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  0  <_ 
k  /\  k  <  ( M ^ ( n  +  1 ) ) ) ) )
191185, 190mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  0  <_ 
k  /\  k  <  ( M ^ ( n  +  1 ) ) ) )
192191simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  <  ( M ^ ( n  + 
1 ) ) )
19391nncnd 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  CC )
194193, 92expp1d 11526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M ^
( n  +  1 ) )  =  ( ( M ^ n
)  x.  M ) )
195192, 194breqtrd 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  k  <  (
( M ^ n
)  x.  M ) )
196 ltdivmul 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
( M ^ n
)  e.  RR  /\  0  <  ( M ^
n ) ) )  ->  ( ( k  /  ( M ^
n ) )  < 
M  <->  k  <  (
( M ^ n
)  x.  M ) ) )
197103, 112, 177, 178, 196syl112anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  /  ( M ^
n ) )  < 
M  <->  k  <  (
( M ^ n
)  x.  M ) ) )
198195, 197mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( k  / 
( M ^ n
) )  <  M
)
19991nnzd 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
200 fllt 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  /  ( M ^ n ) )  e.  RR  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( k  /  ( M ^ n ) )  <  M  <->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  <  M ) )
201104, 199, 200syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( k  /  ( M ^
n ) )  < 
M  <->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  <  M ) )
202198, 201mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  <  M )
203174, 112, 202ltled 9223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) )  <_  M )
204109, 174, 112, 184, 203letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^
n ) ) ) )  <_  M )
205109, 112, 102, 173, 204lemul1ad 9952 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) )  x.  (
( F `  M
) ^ n ) )  <_  ( M  x.  ( ( F `  M ) ^ n
) ) )
206170, 205eqbrtrd 4234 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  M ) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  <_  ( M  x.  ( ( F `  M ) ^ n
) ) )
20791nnnn0d 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
208207nn0ge0d 10279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <_  M
)
209 max1 10775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( F `  M
)  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
210101, 59, 209sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  M )  <_  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) ) )
211210, 58syl6breqr 4254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  M )  <_  T
)
212 leexp1a 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  M )  e.  RR  /\  T  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( F `  M )  /\  ( F `  M
)  <_  T )
)  ->  ( ( F `  M ) ^ n )  <_ 
( T ^ n
) )
213101, 117, 92, 172, 211, 212syl32anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 M ) ^
n )  <_  ( T ^ n ) )
214102, 153, 112, 208, 213lemul2ad 9953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( ( F `  M ) ^ n
) )  <_  ( M  x.  ( T ^ n ) ) )
215110, 167, 159, 206, 214letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  M ) ^ n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  / 
( M ^ n
) ) ) ) )  <_  ( M  x.  ( T ^ n
) ) )
21699, 110, 158, 159, 166, 215le2addd 9646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( ( ( F `
 M ) ^
n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  <_  ( ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^
n ) )  +  ( M  x.  ( T ^ n ) ) ) )
217 nn0cn 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  CC )
218217ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  CC )
219 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
220219a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  1  e.  CC )
221193, 218, 220adddid 9114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( n  +  1
) )  =  ( ( M  x.  n
)  +  ( M  x.  1 ) ) )
222193mulid1d 9107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
223222oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  n )  +  ( M  x.  1 ) )  =  ( ( M  x.  n
)  +  M ) )
224221, 223eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( n  +  1
) )  =  ( ( M  x.  n
)  +  M ) )
225224oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  =  ( ( ( M  x.  n )  +  M
)  x.  ( T ^ n ) ) )
226193, 218mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  n )  e.  CC )
227153recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( T ^
n )  e.  CC )
228226, 193, 227adddird 9115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( ( M  x.  n )  +  M )  x.  ( T ^ n
) )  =  ( ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n ) )  +  ( M  x.  ( T ^ n ) ) ) )
229225, 228eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  =  ( ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n ) )  +  ( M  x.  ( T ^ n ) ) ) )
230216, 229breqtrrd 4240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( ( ( F `
 M ) ^
n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  <_  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) ) )
231 max2 10777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
232101, 59, 231sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  1  <_  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) ) )
233232, 58syl6breqr 4254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  1  <_  T
)
234 nn0z 10306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
235234ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
236 uzid 10502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
237235, 236syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  n ) )
238 peano2uz 10532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
239237, 238syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  n ) )
240117, 233, 239leexp2ad 11557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( T ^
n )  <_  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) )
24191, 114nnmulcld 10049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( M  x.  ( n  +  1
) )  e.  NN )
242241nngt0d 10045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  0  <  ( M  x.  ( n  +  1 ) ) )
243 lemul2 9865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T ^ n
)  e.  RR  /\  ( T ^ ( n  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M  x.  ( n  +  1
) ) ) )  ->  ( ( T ^ n )  <_ 
( T ^ (
n  +  1 ) )  <->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
244153, 120, 116, 242, 243syl112anc 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( T ^ n )  <_ 
( T ^ (
n  +  1 ) )  <->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
245240, 244mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ n
) )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) )
246111, 154, 121, 230, 245letrd 9229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  mod  ( M ^ n
) ) )  +  ( ( ( F `
 M ) ^
n )  x.  ( F `  ( |_ `  ( k  /  ( M ^ n ) ) ) ) ) )  <_  ( ( M  x.  ( n  + 
1 ) )  x.  ( T ^ (
n  +  1 ) ) ) )
24790, 111, 121, 152, 246letrd 9229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) )
248247expr 600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( A. j  e.  (
0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  ->  ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  ( n  +  1
) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
249248ralrimdva 2798 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. j  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  j )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
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( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
25083, 249syl5bi 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) )  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
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251250expcom 426 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ n
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  n
)  x.  ( T ^ n ) )  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  ( n  +  1 ) )  x.  ( T ^
( n  +  1 ) ) ) ) ) )
252251a2d 25 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ n )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  n )  x.  ( T ^ n
) ) )  -> 
( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
n  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  (
n  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
2539, 18, 27, 36, 80, 252nn0ind 10368 . . . 4  |-  ( X  e.  NN0  ->  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) ) ) )
254253impcom 421 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  ( 0 ... (
( M ^ X
)  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) )
255 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( k  =  Y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  Y ) )
256255breq1d 4224 . . . 4  |-  ( k  =  Y  ->  (
( F `  k
)  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) )  <->  ( F `  Y )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) ) )
257256rspccv 3051 . . 3  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) )  ->  ( Y  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  - 
1 ) )  -> 
( F `  Y
)  <_  ( ( M  x.  X )  x.  ( T ^ X
) ) ) )
258254, 257syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( Y  e.  ( 0 ... (
( M ^ X
)  -  1 ) )  ->  ( F `  Y )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) ) )
2592583impia 1151 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN0 
/\  Y  e.  ( 0 ... ( ( M ^ X )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  Y )  <_  (
( M  x.  X
)  x.  ( T ^ X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   ifcif 3741   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   -ucneg 9294    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   QQcq 10576   RR+crp 10614   ...cfz 11045   |_cfl 11203    mod cmo 11252   ^cexp 11384   Primecprime 13081    pCnt cpc 13212   ↾s cress 13472   +g cplusg 13531   .rcmulr 13532  AbsValcabv 15906  ℂfldccnfld 16705   logclog 20454
This theorem is referenced by:  ostth2lem3  21331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-ico 10924  df-fz 11046  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-subg 14943  df-cmn 15416  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-dvr 15790  df-drng 15839  df-subrg 15868  df-abv 15907  df-cnfld 16706
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