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Theorem ostth2lem3 21329
Description: Lemma for ostth2 21331. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
ostth2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.6  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
ostth2.7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
ostth2.8  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
Assertion
Ref Expression
ostth2lem3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^ c  U ) ) ^ X )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, q, ph    x, T    x, U    x, X    A, q, x    x, N    x, Q    F, q    R, q    x, F
Allowed substitution hints:    Q( q)    R( x)    S( x, q)    T( q)    U( q)    J( x, q)    K( x, q)    M( q)    N( q)    X( q)

Proof of Theorem ostth2lem3
StepHypRef Expression
1 ostth.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
2 ostth2.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3 eluz2b2 10548 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
42, 3sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
54simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6 nnq 10587 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
8 qabsabv.a . . . . . . 7  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
9 qrng.q . . . . . . . 8  |-  Q  =  (flds  QQ )
109qrngbas 21313 . . . . . . 7  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
118, 10abvcl 15912 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ )  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
121, 7, 11syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
1312adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR )
1413recnd 9114 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  CC )
15 ostth2.7 . . . . . . 7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
16 1re 9090 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
17 ostth2.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
18 eluz2b2 10548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
1917, 18sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  1  <  M ) )
2019simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
21 nnq 10587 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
238, 10abvcl 15912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
241, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
25 ifcl 3775 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  e.  RR )
2616, 24, 25sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )  e.  RR )
2715, 26syl5eqel 2520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2827adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  T  e.  RR )
29 0re 9091 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
3116a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
32 0lt1 9550 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
34 max2 10775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3524, 31, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3635, 15syl6breqr 4252 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <_  T )
3730, 31, 27, 33, 36ltletrd 9230 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  T )
3837adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
T )
3928, 38elrpd 10646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  T  e.  RR+ )
4039rpge0d 10652 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_  T )
41 ostth2.8 . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
425nnred 10015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
434simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  N )
4442, 43rplogcld 20524 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR+ )
4520nnred 10015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4619simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  M )
4745, 46rplogcld 20524 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  RR+ )
4844, 47rpdivcld 10665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR+ )
4941, 48syl5eqel 2520 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
5049rpred 10648 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
5150adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  e.  RR )
5228, 40, 51recxpcld 20614 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  U )  e.  RR )
5352recnd 9114 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  U )  e.  CC )
5439, 51rpcxpcld 20621 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  U )  e.  RR+ )
5554rpne0d 10653 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  U )  =/=  0 )
56 nnnn0 10228 . . . 4  |-  ( X  e.  NN  ->  X  e.  NN0 )
5756adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e. 
NN0 )
5814, 53, 55, 57expdivd 11537 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^ c  U ) ) ^ X )  =  ( ( ( F `  N ) ^ X )  / 
( ( T  ^ c  U ) ^ X
) ) )
59 reexpcl 11398 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  RR  /\  X  e.  NN0 )  -> 
( ( F `  N ) ^ X
)  e.  RR )
6012, 56, 59syl2an 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  e.  RR )
6120adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
6261nnred 10015 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
63 nnre 10007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  NN  ->  X  e.  RR )
6463adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e.  RR )
6564, 51remulcld 9116 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  U )  e.  RR )
6657nn0ge0d 10277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_  X )
6749rpge0d 10652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  U )
6867adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_  U )
6964, 51, 66, 68mulge0d 9603 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_ 
( X  x.  U
) )
70 flge0nn0 11225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  x.  U
)  e.  RR  /\  0  <_  ( X  x.  U ) )  -> 
( |_ `  ( X  x.  U )
)  e.  NN0 )
7165, 69, 70syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  e. 
NN0 )
72 peano2nn0 10260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
7371, 72syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
7473nn0red 10275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  RR )
7562, 74remulcld 9116 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  RR )
7628, 73reexpcld 11540 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  RR )
7775, 76remulcld 9116 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
78 peano2re 9239 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  RR  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
7951, 78syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
8064, 79remulcld 9116 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  e.  RR )
8162, 80remulcld 9116 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  e.  RR )
8252, 57reexpcld 11540 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  e.  RR )
8382, 28remulcld 9116 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T )  e.  RR )
8481, 83remulcld 9116 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  T ) )  e.  RR )
851adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  F  e.  A )
867adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  N  e.  QQ )
879, 8qabvexp 21320 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( N ^ X ) )  =  ( ( F `  N ) ^ X
) )
8885, 86, 57, 87syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N ^ X ) )  =  ( ( F `  N ) ^ X
) )
8964recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e.  CC )
9044rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
9190recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
9291adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  N )  e.  CC )
9347rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  RR )
9493recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  CC )
9594adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  e.  CC )
9647adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  e.  RR+ )
9796rpne0d 10653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  =/=  0
)
9889, 92, 95, 97divassd 9825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  ( log `  N ) )  / 
( log `  M
) )  =  ( X  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) ) )
9941oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  x.  U )  =  ( X  x.  (
( log `  N
)  /  ( log `  M ) ) )
10098, 99syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  ( log `  N ) )  / 
( log `  M
) )  =  ( X  x.  U ) )
101100oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( X  x.  ( log `  N ) )  /  ( log `  M
) )  x.  ( log `  M ) )  =  ( ( X  x.  U )  x.  ( log `  M
) ) )
10289, 92mulcld 9108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( log `  N
) )  e.  CC )
103102, 95, 97divcan1d 9791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( X  x.  ( log `  N ) )  /  ( log `  M
) )  x.  ( log `  M ) )  =  ( X  x.  ( log `  N ) ) )
104101, 103eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  x.  ( log `  M
) )  =  ( X  x.  ( log `  N ) ) )
105 flltp1 11209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  x.  U )  e.  RR  ->  ( X  x.  U )  <  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )
10665, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  U )  < 
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )
10765, 74, 96, 106ltmul1dd 10699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  x.  ( log `  M
) )  <  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) )
108104, 107eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( log `  N
) )  <  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) )
10990adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  N )  e.  RR )
11064, 109remulcld 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( log `  N
) )  e.  RR )
11193adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  e.  RR )
11274, 111remulcld 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  x.  ( log `  M
) )  e.  RR )
113 eflt 12718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  x.  ( log `  N ) )  e.  RR  /\  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) )  e.  RR )  ->  (
( X  x.  ( log `  N ) )  <  ( ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M
) )  <->  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) )  <  ( exp `  ( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) ) )
114110, 112, 113syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  ( log `  N ) )  < 
( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) )  <-> 
( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) )  <  ( exp `  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) ) )
115108, 114mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) )  <  ( exp `  ( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) )
1165nnrpd 10647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
117 nnz 10303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  NN  ->  X  e.  ZZ )
118 reexplog 20489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR+  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( N ^ X )  =  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) ) )
119116, 117, 118syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  =  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) ) )
12061nnrpd 10647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  RR+ )
12173nn0zd 10373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  ZZ )
122 reexplog 20489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR+  /\  (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  =  ( exp `  ( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) )
123120, 121, 122syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  =  ( exp `  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) )
124115, 119, 1233brtr4d 4242 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  < 
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )
125 nnexpcl 11394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  NN0 )  -> 
( N ^ X
)  e.  NN )
1265, 56, 125syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e.  NN )
12761, 73nnexpcld 11544 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  NN )
128 nnltlem1 10339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N ^ X
)  e.  NN  /\  ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( N ^ X )  <  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <->  ( N ^ X )  <_  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
129126, 127, 128syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( N ^ X )  <  ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  <->  ( N ^ X )  <_  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
130124, 129mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  <_ 
( ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  -  1 ) )
131126nnnn0d 10274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e. 
NN0 )
132 nn0uz 10520 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
133131, 132syl6eleq 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
134127nnzd 10374 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  ZZ )
135 peano2zm 10320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
136134, 135syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
137 elfz5 11051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N ^ X
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  -  1 ) )  <-> 
( N ^ X
)  <_  ( ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )
138133, 136, 137syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... ( ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  -  1 ) )  <->  ( N ^ X )  <_  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
139130, 138mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
140 padic.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
141 ostth.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
142 ostth2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
143 ostth2.4 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
144 ostth2.6 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
1459, 8, 140, 141, 1, 2, 142, 143, 17, 144, 15ostth2lem2 21328 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  NN0  /\  ( N ^ X
)  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  ( F `  ( N ^ X ) )  <_  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) ) )
1461453expia 1155 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( F `  ( N ^ X
) )  <_  (
( M  x.  (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
14773, 146syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... ( ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( F `  ( N ^ X ) )  <_ 
( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
148139, 147mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N ^ X ) )  <_ 
( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )
14988, 148eqbrtrrd 4234 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_ 
( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )
15081, 76remulcld 9116 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
151 peano2re 9239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  x.  U )  e.  RR  ->  (
( X  x.  U
)  +  1 )  e.  RR )
15265, 151syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  1 )  e.  RR )
15371nn0red 10275 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  e.  RR )
15416a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
155 flle 11208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  x.  U )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( X  x.  U ) )  <_ 
( X  x.  U
) )
15665, 155syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  <_ 
( X  x.  U
) )
157153, 65, 154, 156leadd1dd 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  <_ 
( ( X  x.  U )  +  1 ) )
158 nnge1 10026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  NN  ->  1  <_  X )
159158adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  <_  X )
160154, 64, 65, 159leadd2dd 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  1 )  <_ 
( ( X  x.  U )  +  X
) )
16151recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  e.  CC )
162154recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
16389, 161, 162adddid 9112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  =  ( ( X  x.  U )  +  ( X  x.  1 ) ) )
16489mulid1d 9105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  1 )  =  X )
165164oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  ( X  x.  1 ) )  =  ( ( X  x.  U )  +  X
) )
166163, 165eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  =  ( ( X  x.  U )  +  X
) )
167160, 166breqtrrd 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  1 )  <_ 
( X  x.  ( U  +  1 ) ) )
16874, 152, 80, 157, 167letrd 9227 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  <_ 
( X  x.  ( U  +  1 ) ) )
16961nngt0d 10043 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
M )
170 lemul2 9863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  e.  RR  /\  ( X  x.  ( U  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )  ->  ( (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  <_  ( X  x.  ( U  +  1
) )  <->  ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  <_  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
17174, 80, 62, 169, 170syl112anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  <_  ( X  x.  ( U  +  1
) )  <->  ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  <_  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
172168, 171mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
173 expgt0 11413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  T )  -> 
0  <  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) )
17428, 121, 38, 173syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )
175 lemul1 9862 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  x.  (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  <->  ( ( M  x.  ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
17675, 81, 76, 174, 175syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  <->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
177172, 176mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )
17828recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  T  e.  CC )
179178, 71expp1d 11524 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  =  ( ( T ^
( |_ `  ( X  x.  U )
) )  x.  T
) )
18036adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  <_  T )
181 remulcl 9075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( U  x.  X
)  e.  RR )
18250, 63, 181syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( U  x.  X )  e.  RR )
18389, 161mulcomd 9109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  U )  =  ( U  x.  X
) )
184156, 183breqtrd 4236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  <_ 
( U  x.  X
) )
18528, 180, 153, 182, 184cxplead 20612 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  <_  ( T  ^ c  ( U  x.  X ) ) )
186 cxpexp 20559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( |_ `  ( X  x.  U ) )  e.  NN0 )  -> 
( T  ^ c 
( |_ `  ( X  x.  U )
) )  =  ( T ^ ( |_
`  ( X  x.  U ) ) ) )
187178, 71, 186syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  =  ( T ^
( |_ `  ( X  x.  U )
) ) )
18839, 51, 89cxpmuld 20625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  ( U  x.  X ) )  =  ( ( T  ^ c  U )  ^ c  X ) )
189 cxpexp 20559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  ^ c  U )  e.  CC  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( ( T  ^ c  U )  ^ c  X )  =  ( ( T  ^ c  U ) ^ X
) )
19053, 57, 189syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^ c  U
)  ^ c  X
)  =  ( ( T  ^ c  U
) ^ X ) )
191188, 190eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  ( U  x.  X ) )  =  ( ( T  ^ c  U ) ^ X ) )
192185, 187, 1913brtr3d 4241 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( |_ `  ( X  x.  U
) ) )  <_ 
( ( T  ^ c  U ) ^ X
) )
19328, 71reexpcld 11540 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( |_ `  ( X  x.  U
) ) )  e.  RR )
194193, 82, 39lemul1d 10687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T ^ ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  <_  ( ( T  ^ c  U ) ^ X )  <->  ( ( T ^ ( |_ `  ( X  x.  U
) ) )  x.  T )  <_  (
( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
195192, 194mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T ^ ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  x.  T )  <_ 
( ( ( T  ^ c  U ) ^ X )  x.  T ) )
196179, 195eqbrtrd 4232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( ( ( T  ^ c  U ) ^ X )  x.  T ) )
197 nngt0 10029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  NN  ->  0  <  X )
198197adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
X )
19929a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
20049adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  e.  RR+ )
201200rpgt0d 10651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
U )
20251ltp1d 9941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  < 
( U  +  1 ) )
203199, 51, 79, 201, 202lttrd 9231 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( U  +  1 ) )
20464, 79, 198, 203mulgt0d 9225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( X  x.  ( U  +  1 ) ) )
20562, 80, 169, 204mulgt0d 9225 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
206 lemul2 9863 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( T  ^ c  U ) ^ X )  x.  T )  e.  RR  /\  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) ) ) )  ->  ( ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( ( ( T  ^ c  U ) ^ X )  x.  T )  <->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) ) )
20776, 83, 81, 205, 206syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  T )  <->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) ) )
208196, 207mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  (
( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
20977, 150, 84, 177, 208letrd 9227 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  (
( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
21060, 77, 84, 149, 209letrd 9227 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  (
( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
21181recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  e.  CC )
21282recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  e.  CC )
213211, 212, 178mul12d 9275 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  T ) )  =  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  x.  T ) ) )
21462recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
21580recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  e.  CC )
216214, 215, 178mul32d 9276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  T )  =  ( ( M  x.  T )  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
217214, 178mulcld 9108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  T )  e.  CC )
21879recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( U  +  1 )  e.  CC )
219217, 89, 218mul12d 9275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  T )  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  =  ( X  x.  (
( M  x.  T
)  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
220216, 219eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  T )  =  ( X  x.  (
( M  x.  T
)  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
221220oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  T ) )  =  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
222213, 221eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  T ) )  =  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
223210, 222breqtrd 4236 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_ 
( ( ( T  ^ c  U ) ^ X )  x.  ( X  x.  (
( M  x.  T
)  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
22462, 28remulcld 9116 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  T )  e.  RR )
225224, 79remulcld 9116 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  + 
1 ) )  e.  RR )
22664, 225remulcld 9116 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) )  e.  RR )
227117adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e.  ZZ )
22854, 227rpexpcld 11546 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  e.  RR+ )
22960, 226, 228ledivmuld 10697 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ X
)  /  ( ( T  ^ c  U
) ^ X ) )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_  (
( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) ) )
230223, 229mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ X )  /  ( ( T  ^ c  U ) ^ X ) )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
23158, 230eqbrtrd 4232 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^ c  U ) ) ^ X )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   QQcq 10574   RR+crp 10612   ...cfz 11043   |_cfl 11201   ^cexp 11382   expce 12664   Primecprime 13079    pCnt cpc 13210   ↾s cress 13470  AbsValcabv 15904  ℂfldccnfld 16703   logclog 20452    ^ c ccxp 20453
This theorem is referenced by:  ostth2lem4  21330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-drng 15837  df-subrg 15866  df-abv 15905  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-cxp 20455
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