MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem4 Unicode version

Theorem ostth2lem4 20801
Description: Lemma for ostth2 20802. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
ostth2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.6  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
ostth2.7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
ostth2.8  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
Assertion
Ref Expression
ostth2lem4  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  /\  R  <_  S ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, q, ph    x, T    x, U    A, q, x    x, N    x, Q    F, q    R, q    x, F
Allowed substitution hints:    Q( q)    R( x)    S( x, q)    T( q)    U( q)    J( x, q)    K( x, q)    M( q)    N( q)

Proof of Theorem ostth2lem4
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
2 1re 8853 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
3 ostth.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
4 ostth2.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
5 eluz2b2 10306 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
64, 5sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
76simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
8 nnq 10345 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
97, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
10 qabsabv.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
11 qrng.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  (flds  QQ )
1211qrngbas 20784 . . . . . . . 8  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
1310, 12abvcl 15605 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ )  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
143, 9, 13syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
15 ltnle 8918 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  N )  e.  RR )  -> 
( 1  <  ( F `  N )  <->  -.  ( F `  N
)  <_  1 ) )
162, 14, 15sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  N )  <->  -.  ( F `  N
)  <_  1 ) )
171, 16mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  N )  <_  1
)
18 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
19 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
20 eluz2b2 10306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
2119, 20sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  1  <  M ) )
2221simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
23 nnq 10345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
2510, 12abvcl 15605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
263, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
27 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  e.  RR )
282, 26, 27sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )  e.  RR )
2918, 28syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
30 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
3130a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
322a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
33 0lt1 9312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
3433a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
35 max2 10532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3626, 2, 35sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3736, 18syl6breqr 4079 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  T )
3831, 32, 29, 34, 37ltletrd 8992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  T )
3929, 38elrpd 10404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
40 ostth2.8 . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
417nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
4241relogcld 19990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
4322nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4421simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <  M )
4543, 44rplogcld 19996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  RR+ )
4642, 45rerpdivcld 10433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR )
4740, 46syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
4839, 47rpcxpcld 20093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  ^ c  U )  e.  RR+ )
4914, 48rerpdivcld 10433 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  /  ( T  ^ c  U ) )  e.  RR )
5043, 29remulcld 8879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  x.  T
)  e.  RR )
51 peano2re 9001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  RR  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
5247, 51syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
5350, 52remulcld 8879 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) )  e.  RR )
54 padic.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
55 ostth.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
56 ostth2.4 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
57 ostth2.6 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
5811, 10, 54, 55, 3, 4, 1, 56, 19, 57, 18, 40ostth2lem3 20800 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^ c  U ) ) ^ n )  <_  ( n  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
5949, 53, 58ostth2lem1 20783 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  /  ( T  ^ c  U ) )  <_  1 )
6014, 32, 48ledivmuld 10455 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  / 
( T  ^ c  U ) )  <_ 
1  <->  ( F `  N )  <_  (
( T  ^ c  U )  x.  1 ) ) )
6159, 60mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( ( T  ^ c  U )  x.  1 ) )
6248rpcnd 10408 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  ^ c  U )  e.  CC )
6362mulid1d 8868 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( T  ^ c  U )  x.  1 )  =  ( T  ^ c  U ) )
6461, 63breqtrd 4063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( T  ^ c  U )
)
6564adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( F `  N )  <_  ( T  ^ c  U ) )
66 iftrue 3584 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  =  1 )
6718, 66syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  T  =  1 )
6867oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  ( T  ^ c  U )  =  ( 1  ^ c  U ) )
6947recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
70691cxpd 20070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  ^ c  U )  =  1 )
7168, 70sylan9eqr 2350 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( T  ^ c  U )  =  1 )
7265, 71breqtrd 4063 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( F `  N )  <_  1
)
7317, 72mtand 640 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  M )  <_  1
)
74 ltnle 8918 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  -> 
( 1  <  ( F `  M )  <->  -.  ( F `  M
)  <_  1 ) )
752, 26, 74sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  <->  -.  ( F `  M
)  <_  1 ) )
7673, 75mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 M ) )
7731, 32, 14, 34, 1lttrd 8993 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 N ) )
7814, 77elrpd 10404 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR+ )
7978reeflogd 19991 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  =  ( F `  N ) )
80 iffalse 3585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( F `  M
)  <_  1  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  =  ( F `
 M ) )
8118, 80syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( F `  M
)  <_  1  ->  T  =  ( F `  M ) )
8273, 81syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =  ( F `
 M ) )
8382oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  ^ c  U )  =  ( ( F `  M
)  ^ c  U
) )
8426recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  CC )
8531, 32, 26, 34, 76lttrd 8993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 M ) )
8626, 85elrpd 10404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR+ )
8786rpne0d 10411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =/=  0 )
8884, 87, 69cxpefd 20075 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M )  ^ c  U )  =  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) ) ) )
8983, 88eqtr2d 2329 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M
) ) ) )  =  ( T  ^ c  U ) )
9064, 79, 893brtr4d 4069 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M
) ) ) ) )
9178relogcld 19990 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR )
9286relogcld 19990 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  M )
)  e.  RR )
9347, 92remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) )  e.  RR )
94 efle 12414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR  /\  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) ) ) )
9591, 93, 94syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) ) ) )
9690, 95mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) ) )
9742recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
9892recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  M )
)  e.  CC )
9945rpcnd 10408 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  CC )
10045rpne0d 10411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  =/=  0 )
10197, 98, 99, 100div12d 9588 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) ) )
10240oveq2i 5885 . . . . . . 7  |-  ( ( log `  ( F `
 M ) )  x.  U )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) )
103101, 102syl6eqr 2346 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  U ) )
10498, 69mulcomd 8872 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  U )  =  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) )
105103, 104eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) ) )
10696, 105breqtrrd 4065 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) ) )
10792, 45rerpdivcld 10433 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR )
1087nnred 9777 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1096simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <  N )
110108, 109rplogcld 19996 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR+ )
11191, 107, 110ledivmuld 10455 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( F `  N
) )  /  ( log `  N ) )  <_  ( ( log `  ( F `  M
) )  /  ( log `  M ) )  <-> 
( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) ) ) )
112106, 111mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )  <_ 
( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) )
113112, 56, 573brtr4g 4071 . 2  |-  ( ph  ->  R  <_  S )
11476, 113jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  /\  R  <_  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   ZZ>=cuz 10246   QQcq 10332   ^cexp 11120   expce 12359   Primecprime 12774    pCnt cpc 12905   ↾s cress 13165  AbsValcabv 15597  ℂfldccnfld 16393   logclog 19928    ^ c ccxp 19929
This theorem is referenced by:  ostth2  20802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-abv 15598  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931
  Copyright terms: Public domain W3C validator