MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem4 Unicode version

Theorem ostth2lem4 21318
Description: Lemma for ostth2 21319. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
ostth2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.6  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
ostth2.7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
ostth2.8  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
Assertion
Ref Expression
ostth2lem4  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  /\  R  <_  S ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, q, ph    x, T    x, U    A, q, x    x, N    x, Q    F, q    R, q    x, F
Allowed substitution hints:    Q( q)    R( x)    S( x, q)    T( q)    U( q)    J( x, q)    K( x, q)    M( q)    N( q)

Proof of Theorem ostth2lem4
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
2 1re 9079 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
3 ostth.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
4 ostth2.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
5 eluz2b2 10537 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
64, 5sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
76simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
8 nnq 10576 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
10 qabsabv.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
11 qrng.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  (flds  QQ )
1211qrngbas 21301 . . . . . . . 8  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
1310, 12abvcl 15900 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ )  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
143, 9, 13syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
15 ltnle 9144 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  N )  e.  RR )  -> 
( 1  <  ( F `  N )  <->  -.  ( F `  N
)  <_  1 ) )
162, 14, 15sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  N )  <->  -.  ( F `  N
)  <_  1 ) )
171, 16mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  N )  <_  1
)
18 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
19 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
20 eluz2b2 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
2119, 20sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  1  <  M ) )
2221simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
23 nnq 10576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
2510, 12abvcl 15900 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
263, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
27 ifcl 3767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  e.  RR )
282, 26, 27sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )  e.  RR )
2918, 28syl5eqel 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
30 0re 9080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
322a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
33 0lt1 9539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
35 max2 10764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3626, 2, 35sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3736, 18syl6breqr 4244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  T )
3831, 32, 29, 34, 37ltletrd 9219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  T )
3929, 38elrpd 10635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
40 ostth2.8 . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
417nnrpd 10636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
4241relogcld 20506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
4322nnred 10004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4421simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <  M )
4543, 44rplogcld 20512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  RR+ )
4642, 45rerpdivcld 10664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR )
4740, 46syl5eqel 2519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
4839, 47rpcxpcld 20609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  ^ c  U )  e.  RR+ )
4914, 48rerpdivcld 10664 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  /  ( T  ^ c  U ) )  e.  RR )
5043, 29remulcld 9105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  x.  T
)  e.  RR )
51 peano2re 9228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  RR  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
5247, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
5350, 52remulcld 9105 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) )  e.  RR )
54 padic.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
55 ostth.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
56 ostth2.4 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
57 ostth2.6 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
5811, 10, 54, 55, 3, 4, 1, 56, 19, 57, 18, 40ostth2lem3 21317 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^ c  U ) ) ^ n )  <_  ( n  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
5949, 53, 58ostth2lem1 21300 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  /  ( T  ^ c  U ) )  <_  1 )
6014, 32, 48ledivmuld 10686 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  / 
( T  ^ c  U ) )  <_ 
1  <->  ( F `  N )  <_  (
( T  ^ c  U )  x.  1 ) ) )
6159, 60mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( ( T  ^ c  U )  x.  1 ) )
6248rpcnd 10639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  ^ c  U )  e.  CC )
6362mulid1d 9094 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( T  ^ c  U )  x.  1 )  =  ( T  ^ c  U ) )
6461, 63breqtrd 4228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( T  ^ c  U )
)
6564adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( F `  N )  <_  ( T  ^ c  U ) )
66 iftrue 3737 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  =  1 )
6718, 66syl5eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  T  =  1 )
6867oveq1d 6087 . . . . . 6  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  ( T  ^ c  U )  =  ( 1  ^ c  U ) )
6947recnd 9103 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
70691cxpd 20586 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  ^ c  U )  =  1 )
7168, 70sylan9eqr 2489 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( T  ^ c  U )  =  1 )
7265, 71breqtrd 4228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( F `  N )  <_  1
)
7317, 72mtand 641 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  M )  <_  1
)
74 ltnle 9144 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  -> 
( 1  <  ( F `  M )  <->  -.  ( F `  M
)  <_  1 ) )
752, 26, 74sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  <->  -.  ( F `  M
)  <_  1 ) )
7673, 75mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 M ) )
7731, 32, 14, 34, 1lttrd 9220 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 N ) )
7814, 77elrpd 10635 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR+ )
7978reeflogd 20507 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  =  ( F `  N ) )
80 iffalse 3738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( F `  M
)  <_  1  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  =  ( F `
 M ) )
8118, 80syl5eq 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( F `  M
)  <_  1  ->  T  =  ( F `  M ) )
8273, 81syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =  ( F `
 M ) )
8382oveq1d 6087 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  ^ c  U )  =  ( ( F `  M
)  ^ c  U
) )
8426recnd 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  CC )
8531, 32, 26, 34, 76lttrd 9220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 M ) )
8626, 85elrpd 10635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR+ )
8786rpne0d 10642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =/=  0 )
8884, 87, 69cxpefd 20591 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M )  ^ c  U )  =  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) ) ) )
8983, 88eqtr2d 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M
) ) ) )  =  ( T  ^ c  U ) )
9064, 79, 893brtr4d 4234 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M
) ) ) ) )
9178relogcld 20506 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR )
9286relogcld 20506 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  M )
)  e.  RR )
9347, 92remulcld 9105 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) )  e.  RR )
94 efle 12707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR  /\  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) ) ) )
9591, 93, 94syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) ) ) )
9690, 95mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) ) )
9742recnd 9103 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
9892recnd 9103 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  M )
)  e.  CC )
9945rpcnd 10639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  CC )
10045rpne0d 10642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  =/=  0 )
10197, 98, 99, 100div12d 9815 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) ) )
10240oveq2i 6083 . . . . . . 7  |-  ( ( log `  ( F `
 M ) )  x.  U )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) )
103101, 102syl6eqr 2485 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  U ) )
10498, 69mulcomd 9098 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  U )  =  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) )
105103, 104eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) ) )
10696, 105breqtrrd 4230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) ) )
10792, 45rerpdivcld 10664 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR )
1087nnred 10004 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1096simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <  N )
110108, 109rplogcld 20512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR+ )
11191, 107, 110ledivmuld 10686 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( F `  N
) )  /  ( log `  N ) )  <_  ( ( log `  ( F `  M
) )  /  ( log `  M ) )  <-> 
( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) ) ) )
112106, 111mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )  <_ 
( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) )
113112, 56, 573brtr4g 4236 . 2  |-  ( ph  ->  R  <_  S )
11476, 113jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  /\  R  <_  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982    x. cmul 8984    < clt 9109    <_ cle 9110   -ucneg 9281    / cdiv 9666   NNcn 9989   2c2 10038   ZZ>=cuz 10477   QQcq 10563   ^cexp 11370   expce 12652   Primecprime 13067    pCnt cpc 13198   ↾s cress 13458  AbsValcabv 15892  ℂfldccnfld 16691   logclog 20440    ^ c ccxp 20441
This theorem is referenced by:  ostth2  21319
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-tpos 6470  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ioc 10910  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-fac 11555  df-bc 11582  df-hash 11607  df-shft 11870  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-limsup 12253  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-sum 12468  df-ef 12658  df-sin 12660  df-cos 12661  df-pi 12663  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-mulg 14803  df-subg 14929  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-cring 15652  df-ur 15653  df-oppr 15716  df-dvdsr 15734  df-unit 15735  df-invr 15765  df-dvr 15776  df-drng 15825  df-subrg 15854  df-abv 15893  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-lp 17188  df-perf 17189  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-haus 17367  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cncf 18896  df-limc 19741  df-dv 19742  df-log 20442  df-cxp 20443
  Copyright terms: Public domain W3C validator