MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem4 Unicode version

Theorem ostth2lem4 20785
Description: Lemma for ostth2 20786. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
ostth2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.6  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
ostth2.7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
ostth2.8  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
Assertion
Ref Expression
ostth2lem4  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  /\  R  <_  S ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, q, ph    x, T    x, U    A, q, x    x, N    x, Q    F, q    R, q    x, F
Allowed substitution hints:    Q( q)    R( x)    S( x, q)    T( q)    U( q)    J( x, q)    K( x, q)    M( q)    N( q)

Proof of Theorem ostth2lem4
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
2 1re 8837 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
3 ostth.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
4 ostth2.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
5 eluz2b2 10290 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
64, 5sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
76simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
8 nnq 10329 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
97, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
10 qabsabv.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
11 qrng.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  (flds  QQ )
1211qrngbas 20768 . . . . . . . 8  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
1310, 12abvcl 15589 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ )  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
143, 9, 13syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
15 ltnle 8902 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  N )  e.  RR )  -> 
( 1  <  ( F `  N )  <->  -.  ( F `  N
)  <_  1 ) )
162, 14, 15sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  N )  <->  -.  ( F `  N
)  <_  1 ) )
171, 16mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  N )  <_  1
)
18 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
19 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
20 eluz2b2 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
2119, 20sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  1  <  M ) )
2221simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
23 nnq 10329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
2510, 12abvcl 15589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
263, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
27 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  e.  RR )
282, 26, 27sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )  e.  RR )
2918, 28syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
30 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
3130a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
322a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
33 0lt1 9296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
3433a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
35 max2 10516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3626, 2, 35sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3736, 18syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  T )
3831, 32, 29, 34, 37ltletrd 8976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  T )
3929, 38elrpd 10388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
40 ostth2.8 . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
417nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
4241relogcld 19974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
4322nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4421simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <  M )
4543, 44rplogcld 19980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  RR+ )
4642, 45rerpdivcld 10417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR )
4740, 46syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
4839, 47rpcxpcld 20077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  ^ c  U )  e.  RR+ )
4914, 48rerpdivcld 10417 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  /  ( T  ^ c  U ) )  e.  RR )
5043, 29remulcld 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  x.  T
)  e.  RR )
51 peano2re 8985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  RR  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
5247, 51syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
5350, 52remulcld 8863 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) )  e.  RR )
54 padic.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
55 ostth.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
56 ostth2.4 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
57 ostth2.6 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
5811, 10, 54, 55, 3, 4, 1, 56, 19, 57, 18, 40ostth2lem3 20784 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^ c  U ) ) ^ n )  <_  ( n  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
5949, 53, 58ostth2lem1 20767 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  /  ( T  ^ c  U ) )  <_  1 )
6014, 32, 48ledivmuld 10439 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  / 
( T  ^ c  U ) )  <_ 
1  <->  ( F `  N )  <_  (
( T  ^ c  U )  x.  1 ) ) )
6159, 60mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( ( T  ^ c  U )  x.  1 ) )
6248rpcnd 10392 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  ^ c  U )  e.  CC )
6362mulid1d 8852 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( T  ^ c  U )  x.  1 )  =  ( T  ^ c  U ) )
6461, 63breqtrd 4047 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( T  ^ c  U )
)
6564adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( F `  N )  <_  ( T  ^ c  U ) )
66 iftrue 3571 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  =  1 )
6718, 66syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  T  =  1 )
6867oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  ( T  ^ c  U )  =  ( 1  ^ c  U ) )
6947recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
70691cxpd 20054 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  ^ c  U )  =  1 )
7168, 70sylan9eqr 2337 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( T  ^ c  U )  =  1 )
7265, 71breqtrd 4047 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( F `  N )  <_  1
)
7317, 72mtand 640 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  M )  <_  1
)
74 ltnle 8902 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  -> 
( 1  <  ( F `  M )  <->  -.  ( F `  M
)  <_  1 ) )
752, 26, 74sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  <->  -.  ( F `  M
)  <_  1 ) )
7673, 75mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 M ) )
7731, 32, 14, 34, 1lttrd 8977 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 N ) )
7814, 77elrpd 10388 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR+ )
7978reeflogd 19975 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  =  ( F `  N ) )
80 iffalse 3572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( F `  M
)  <_  1  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  =  ( F `
 M ) )
8118, 80syl5eq 2327 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( F `  M
)  <_  1  ->  T  =  ( F `  M ) )
8273, 81syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =  ( F `
 M ) )
8382oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  ^ c  U )  =  ( ( F `  M
)  ^ c  U
) )
8426recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  CC )
8531, 32, 26, 34, 76lttrd 8977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 M ) )
8626, 85elrpd 10388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR+ )
8786rpne0d 10395 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =/=  0 )
8884, 87, 69cxpefd 20059 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M )  ^ c  U )  =  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) ) ) )
8983, 88eqtr2d 2316 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M
) ) ) )  =  ( T  ^ c  U ) )
9064, 79, 893brtr4d 4053 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M
) ) ) ) )
9178relogcld 19974 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR )
9286relogcld 19974 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  M )
)  e.  RR )
9347, 92remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) )  e.  RR )
94 efle 12398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR  /\  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) ) ) )
9591, 93, 94syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) ) ) )
9690, 95mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) ) )
9742recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
9892recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  M )
)  e.  CC )
9945rpcnd 10392 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  CC )
10045rpne0d 10395 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  =/=  0 )
10197, 98, 99, 100div12d 9572 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) ) )
10240oveq2i 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( log `  ( F `
 M ) )  x.  U )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) )
103101, 102syl6eqr 2333 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  U ) )
10498, 69mulcomd 8856 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  U )  =  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) )
105103, 104eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) ) )
10696, 105breqtrrd 4049 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) ) )
10792, 45rerpdivcld 10417 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR )
1087nnred 9761 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1096simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <  N )
110108, 109rplogcld 19980 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR+ )
11191, 107, 110ledivmuld 10439 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( F `  N
) )  /  ( log `  N ) )  <_  ( ( log `  ( F `  M
) )  /  ( log `  M ) )  <-> 
( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) ) ) )
112106, 111mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )  <_ 
( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) )
113112, 56, 573brtr4g 4055 . 2  |-  ( ph  ->  R  <_  S )
11476, 113jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  /\  R  <_  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZ>=cuz 10230   QQcq 10316   ^cexp 11104   expce 12343   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889   ↾s cress 13149  AbsValcabv 15581  ℂfldccnfld 16377   logclog 19912    ^ c ccxp 19913
This theorem is referenced by:  ostth2  20786
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-abv 15582  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915
  Copyright terms: Public domain W3C validator