MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem4 Unicode version

Theorem ostth2lem4 21198
Description: Lemma for ostth2 21199. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
ostth2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.6  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
ostth2.7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
ostth2.8  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
Assertion
Ref Expression
ostth2lem4  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  /\  R  <_  S ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, q, ph    x, T    x, U    A, q, x    x, N    x, Q    F, q    R, q    x, F
Allowed substitution hints:    Q( q)    R( x)    S( x, q)    T( q)    U( q)    J( x, q)    K( x, q)    M( q)    N( q)

Proof of Theorem ostth2lem4
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
2 1re 9024 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
3 ostth.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
4 ostth2.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
5 eluz2b2 10481 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
64, 5sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
76simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
8 nnq 10520 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
10 qabsabv.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
11 qrng.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  (flds  QQ )
1211qrngbas 21181 . . . . . . . 8  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
1310, 12abvcl 15840 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ )  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
143, 9, 13syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
15 ltnle 9089 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  N )  e.  RR )  -> 
( 1  <  ( F `  N )  <->  -.  ( F `  N
)  <_  1 ) )
162, 14, 15sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  N )  <->  -.  ( F `  N
)  <_  1 ) )
171, 16mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  N )  <_  1
)
18 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
19 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
20 eluz2b2 10481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
2119, 20sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  1  <  M ) )
2221simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
23 nnq 10520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
2510, 12abvcl 15840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
263, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
27 ifcl 3719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  e.  RR )
282, 26, 27sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )  e.  RR )
2918, 28syl5eqel 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
30 0re 9025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
322a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
33 0lt1 9483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
35 max2 10708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3626, 2, 35sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3736, 18syl6breqr 4194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  T )
3831, 32, 29, 34, 37ltletrd 9163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  T )
3929, 38elrpd 10579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
40 ostth2.8 . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
417nnrpd 10580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
4241relogcld 20386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
4322nnred 9948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4421simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <  M )
4543, 44rplogcld 20392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  RR+ )
4642, 45rerpdivcld 10608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR )
4740, 46syl5eqel 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
4839, 47rpcxpcld 20489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  ^ c  U )  e.  RR+ )
4914, 48rerpdivcld 10608 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  /  ( T  ^ c  U ) )  e.  RR )
5043, 29remulcld 9050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  x.  T
)  e.  RR )
51 peano2re 9172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  RR  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
5247, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
5350, 52remulcld 9050 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) )  e.  RR )
54 padic.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
55 ostth.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
56 ostth2.4 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
57 ostth2.6 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
5811, 10, 54, 55, 3, 4, 1, 56, 19, 57, 18, 40ostth2lem3 21197 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^ c  U ) ) ^ n )  <_  ( n  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
5949, 53, 58ostth2lem1 21180 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  /  ( T  ^ c  U ) )  <_  1 )
6014, 32, 48ledivmuld 10630 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  / 
( T  ^ c  U ) )  <_ 
1  <->  ( F `  N )  <_  (
( T  ^ c  U )  x.  1 ) ) )
6159, 60mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( ( T  ^ c  U )  x.  1 ) )
6248rpcnd 10583 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  ^ c  U )  e.  CC )
6362mulid1d 9039 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( T  ^ c  U )  x.  1 )  =  ( T  ^ c  U ) )
6461, 63breqtrd 4178 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( T  ^ c  U )
)
6564adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( F `  N )  <_  ( T  ^ c  U ) )
66 iftrue 3689 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  =  1 )
6718, 66syl5eq 2432 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  T  =  1 )
6867oveq1d 6036 . . . . . 6  |-  ( ( F `  M )  <_  1  ->  ( T  ^ c  U )  =  ( 1  ^ c  U ) )
6947recnd 9048 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
70691cxpd 20466 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  ^ c  U )  =  1 )
7168, 70sylan9eqr 2442 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( T  ^ c  U )  =  1 )
7265, 71breqtrd 4178 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  M )  <_  1
)  ->  ( F `  N )  <_  1
)
7317, 72mtand 641 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  M )  <_  1
)
74 ltnle 9089 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  -> 
( 1  <  ( F `  M )  <->  -.  ( F `  M
)  <_  1 ) )
752, 26, 74sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  <->  -.  ( F `  M
)  <_  1 ) )
7673, 75mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 M ) )
7731, 32, 14, 34, 1lttrd 9164 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 N ) )
7814, 77elrpd 10579 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR+ )
7978reeflogd 20387 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  =  ( F `  N ) )
80 iffalse 3690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( F `  M
)  <_  1  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  =  ( F `
 M ) )
8118, 80syl5eq 2432 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( F `  M
)  <_  1  ->  T  =  ( F `  M ) )
8273, 81syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =  ( F `
 M ) )
8382oveq1d 6036 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  ^ c  U )  =  ( ( F `  M
)  ^ c  U
) )
8426recnd 9048 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  CC )
8531, 32, 26, 34, 76lttrd 9164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 M ) )
8626, 85elrpd 10579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR+ )
8786rpne0d 10586 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =/=  0 )
8884, 87, 69cxpefd 20471 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M )  ^ c  U )  =  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) ) ) )
8983, 88eqtr2d 2421 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M
) ) ) )  =  ( T  ^ c  U ) )
9064, 79, 893brtr4d 4184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `  M
) ) ) ) )
9178relogcld 20386 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR )
9286relogcld 20386 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  M )
)  e.  RR )
9347, 92remulcld 9050 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) )  e.  RR )
94 efle 12647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR  /\  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) ) ) )
9591, 93, 94syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) ) ) )
9690, 95mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( U  x.  ( log `  ( F `  M )
) ) )
9742recnd 9048 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
9892recnd 9048 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  M )
)  e.  CC )
9945rpcnd 10583 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  CC )
10045rpne0d 10586 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  =/=  0 )
10197, 98, 99, 100div12d 9759 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) ) )
10240oveq2i 6032 . . . . . . 7  |-  ( ( log `  ( F `
 M ) )  x.  U )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) )
103101, 102syl6eqr 2438 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  U ) )
10498, 69mulcomd 9043 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  M )
)  x.  U )  =  ( U  x.  ( log `  ( F `
 M ) ) ) )
105103, 104eqtrd 2420 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  ( ( log `  ( F `
 M ) )  /  ( log `  M
) ) )  =  ( U  x.  ( log `  ( F `  M ) ) ) )
10696, 105breqtrrd 4180 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) ) )
10792, 45rerpdivcld 10608 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR )
1087nnred 9948 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1096simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <  N )
110108, 109rplogcld 20392 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR+ )
11191, 107, 110ledivmuld 10630 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( F `  N
) )  /  ( log `  N ) )  <_  ( ( log `  ( F `  M
) )  /  ( log `  M ) )  <-> 
( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) ) ) )
112106, 111mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )  <_ 
( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) ) )
113112, 56, 573brtr4g 4186 . 2  |-  ( ph  ->  R  <_  S )
11476, 113jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( F `  M )  /\  R  <_  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ifcif 3683   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    < clt 9054    <_ cle 9055   -ucneg 9225    / cdiv 9610   NNcn 9933   2c2 9982   ZZ>=cuz 10421   QQcq 10507   ^cexp 11310   expce 12592   Primecprime 13007    pCnt cpc 13138   ↾s cress 13398  AbsValcabv 15832  ℂfldccnfld 16627   logclog 20320    ^ c ccxp 20321
This theorem is referenced by:  ostth2  21199
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-tpos 6416  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-fac 11495  df-bc 11522  df-hash 11547  df-shft 11810  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-ef 12598  df-sin 12600  df-cos 12601  df-pi 12603  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-mulg 14743  df-subg 14869  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-cring 15592  df-ur 15593  df-oppr 15656  df-dvdsr 15674  df-unit 15675  df-invr 15705  df-dvr 15716  df-drng 15765  df-subrg 15794  df-abv 15833  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-limc 19621  df-dv 19622  df-log 20322  df-cxp 20323
  Copyright terms: Public domain W3C validator