MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostthlem1 Unicode version

Theorem ostthlem1 20776
Description: Lemma for ostth 20788. If two absolute values agree on the positive integers greater than one, then they agree for all rational numbers and thus are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
ostthlem1.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostthlem1.2  |-  ( ph  ->  G  e.  A )
ostthlem1.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
Assertion
Ref Expression
ostthlem1  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Distinct variable groups:    n, G    ph, n    A, n    Q, n   
n, F

Proof of Theorem ostthlem1
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostthlem1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
2 qabsabv.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
3 qrng.q . . . . 5  |-  Q  =  (flds  QQ )
43qrngbas 20768 . . . 4  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
52, 4abvf 15588 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  F : QQ --> RR )
6 ffn 5389 . . 3  |-  ( F : QQ --> RR  ->  F  Fn  QQ )
71, 5, 63syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  F  Fn  QQ )
8 ostthlem1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  A )
92, 4abvf 15588 . . 3  |-  ( G  e.  A  ->  G : QQ --> RR )
10 ffn 5389 . . 3  |-  ( G : QQ --> RR  ->  G  Fn  QQ )
118, 9, 103syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  G  Fn  QQ )
12 elq 10318 . . . 4  |-  ( y  e.  QQ  <->  E. k  e.  ZZ  E. n  e.  NN  y  =  ( k  /  n ) )
133qdrng 20769 . . . . . . . . . 10  |-  Q  e.  DivRing
1413a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  Q  e.  DivRing )
151adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  F  e.  A )
16 zq 10322 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  QQ )
1716ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
k  e.  QQ )
18 nnq 10329 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  QQ )
1918ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  n  e.  QQ )
20 nnne0 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
2120ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  n  =/=  0 )
223qrng0 20770 . . . . . . . . . 10  |-  0  =  ( 0g `  Q )
23 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  (/r `  Q
)  =  (/r `  Q
)
242, 4, 22, 23abvdiv 15602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Q  e.  DivRing  /\  F  e.  A )  /\  ( k  e.  QQ  /\  n  e.  QQ  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( k (/r `  Q
) n ) )  =  ( ( F `
 k )  / 
( F `  n
) ) )
2514, 15, 17, 19, 21, 24syl23anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( ( F `  k
)  /  ( F `
 n ) ) )
268adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  G  e.  A )
272, 4, 22, 23abvdiv 15602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Q  e.  DivRing  /\  G  e.  A )  /\  ( k  e.  QQ  /\  n  e.  QQ  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( G `  ( k (/r `  Q
) n ) )  =  ( ( G `
 k )  / 
( G `  n
) ) )
2814, 26, 17, 19, 21, 27syl23anc 1189 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( G `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( ( G `  k
)  /  ( G `
 n ) ) )
29 elz 10026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  <->  ( k  e.  RR  /\  ( k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) ) )
3029simprbi 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) )
3130adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) )
322, 22abv0 15596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  0 )  =  0 )
331, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  0 )
342, 22abv0 15596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  A  ->  ( G `  0 )  =  0 )
358, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  0 )
3633, 35eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  ( G `
 0 ) )
37 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
38 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  ( G `  k )  =  ( G ` 
0 ) )
3937, 38eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  0  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 k )  <->  ( F `  0 )  =  ( G `  0
) ) )
4036, 39syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) ) )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) ) )
4241imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  -> 
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) )
43 elnn1uz2 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  <->  ( n  =  1  \/  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
443qrng1 20771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  =  ( 1r `  Q )
452, 44abv1 15598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Q  e.  DivRing  /\  F  e.  A )  ->  ( F `  1 )  =  1 )
4613, 1, 45sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  1 )
472, 44abv1 15598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Q  e.  DivRing  /\  G  e.  A )  ->  ( G `  1 )  =  1 )
4813, 8, 47sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  1 )
4946, 48eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 1 ) )
50 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) )
51 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  1  ->  ( G `  n )  =  ( G ` 
1 ) )
5250, 51eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  1  ->  (
( F `  n
)  =  ( G `
 n )  <->  ( F `  1 )  =  ( G `  1
) ) )
5349, 52syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) ) )
5453imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  = 
1 )  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
55 ostthlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
5654, 55jaodan 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  =  1  \/  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
5743, 56sylan2b 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( G `  n
) )
5857ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
5958adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
60 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
61 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
6260, 61eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
)  =  ( G `
 n )  <->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) ) )
6362rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
6459, 63sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
6558ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
6616adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  QQ )
673qrngneg 20772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  QQ  ->  (
( inv g `  Q ) `  k
)  =  -u k
)
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( inv g `  Q
) `  k )  =  -u k )
6968eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( inv g `  Q ) `  k
)  e.  NN  <->  -u k  e.  NN ) )
7069biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
( inv g `  Q ) `  k
)  e.  NN )
71 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( ( inv g `  Q ) `
 k )  -> 
( F `  n
)  =  ( F `
 ( ( inv g `  Q ) `
 k ) ) )
72 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( ( inv g `  Q ) `
 k )  -> 
( G `  n
)  =  ( G `
 ( ( inv g `  Q ) `
 k ) ) )
7371, 72eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( ( inv g `  Q ) `
 k )  -> 
( ( F `  n )  =  ( G `  n )  <-> 
( F `  (
( inv g `  Q ) `  k
) )  =  ( G `  ( ( inv g `  Q
) `  k )
) ) )
7473rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n )  /\  (
( inv g `  Q ) `  k
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( inv g `  Q ) `  k
) )  =  ( G `  ( ( inv g `  Q
) `  k )
) )
7565, 70, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( inv g `  Q ) `
 k ) )  =  ( G `  ( ( inv g `  Q ) `  k
) ) )
761ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  F  e.  A )
7716ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  k  e.  QQ )
78 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( inv g `  Q )  =  ( inv g `  Q )
792, 4, 78abvneg 15599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  A  /\  k  e.  QQ )  ->  ( F `  (
( inv g `  Q ) `  k
) )  =  ( F `  k ) )
8076, 77, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( inv g `  Q ) `
 k ) )  =  ( F `  k ) )
818ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  G  e.  A )
822, 4, 78abvneg 15599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  A  /\  k  e.  QQ )  ->  ( G `  (
( inv g `  Q ) `  k
) )  =  ( G `  k ) )
8381, 77, 82syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( G `  ( ( inv g `  Q ) `
 k ) )  =  ( G `  k ) )
8475, 80, 833eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
8542, 64, 843jaodan 1248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
8631, 85mpdan 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( F `
 k )  =  ( G `  k
) )
8786adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) )
8857adantrl 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  n
)  =  ( G `
 n ) )
8987, 88oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  k )  /  ( F `  n )
)  =  ( ( G `  k )  /  ( G `  n ) ) )
9028, 89eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( G `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( ( F `  k
)  /  ( F `
 n ) ) )
9125, 90eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( G `  ( k (/r `  Q ) n ) ) )
923qrngdiv 20773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  QQ  /\  n  e.  QQ  /\  n  =/=  0 )  ->  (
k (/r `  Q ) n )  =  ( k  /  n ) )
9317, 19, 21, 92syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( k (/r `  Q
) n )  =  ( k  /  n
) )
9493fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( F `  ( k  /  n ) ) )
9593fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( G `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( G `  ( k  /  n ) ) )
9691, 94, 953eqtr3d 2323 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  (
k  /  n ) )  =  ( G `
 ( k  /  n ) ) )
97 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( k  /  n )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( k  /  n
) ) )
98 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( k  /  n )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  ( k  /  n
) ) )
9997, 98eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( k  /  n )  ->  (
( F `  y
)  =  ( G `
 y )  <->  ( F `  ( k  /  n
) )  =  ( G `  ( k  /  n ) ) ) )
10096, 99syl5ibrcom 213 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( y  =  ( k  /  n )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )
101100rexlimdvva 2674 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  ZZ  E. n  e.  NN  y  =  ( k  /  n )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )
10212, 101syl5bi 208 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  QQ  ->  ( F `  y
)  =  ( G `
 y ) ) )
103102imp 418 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  QQ )  ->  ( F `
 y )  =  ( G `  y
) )
1047, 11, 103eqfnfvd 5625 1  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   QQcq 10316   ↾s cress 13149   inv gcminusg 14363  /rcdvr 15464   DivRingcdr 15512  AbsValcabv 15581  ℂfldccnfld 16377
This theorem is referenced by:  ostthlem2  20777  ostth2  20786
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-ico 10662  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-abv 15582  df-cnfld 16378
  Copyright terms: Public domain W3C validator