Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostthlem1 Structured version   Unicode version

Theorem ostthlem1 21313
 Description: Lemma for ostth 21325. If two absolute values agree on the positive integers greater than one, then they agree for all rational numbers and thus are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q flds
qabsabv.a AbsVal
ostthlem1.1
ostthlem1.2
ostthlem1.3
Assertion
Ref Expression
ostthlem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ostthlem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostthlem1.1 . . 3
2 qabsabv.a . . . 4 AbsVal
3 qrng.q . . . . 5 flds
43qrngbas 21305 . . . 4
52, 4abvf 15903 . . 3
6 ffn 5583 . . 3
71, 5, 63syl 19 . 2
8 ostthlem1.2 . . 3
92, 4abvf 15903 . . 3
10 ffn 5583 . . 3
118, 9, 103syl 19 . 2
12 elq 10568 . . . 4
133qdrng 21306 . . . . . . . . . 10
1413a1i 11 . . . . . . . . 9
151adantr 452 . . . . . . . . 9
16 zq 10572 . . . . . . . . . 10
1716ad2antrl 709 . . . . . . . . 9
18 nnq 10579 . . . . . . . . . 10
1918ad2antll 710 . . . . . . . . 9
20 nnne0 10024 . . . . . . . . . 10
2120ad2antll 710 . . . . . . . . 9
223qrng0 21307 . . . . . . . . . 10
23 eqid 2435 . . . . . . . . . 10 /r /r
242, 4, 22, 23abvdiv 15917 . . . . . . . . 9 /r
2514, 15, 17, 19, 21, 24syl23anc 1191 . . . . . . . 8 /r
268adantr 452 . . . . . . . . . 10
272, 4, 22, 23abvdiv 15917 . . . . . . . . . 10 /r
2814, 26, 17, 19, 21, 27syl23anc 1191 . . . . . . . . 9 /r
29 elz 10276 . . . . . . . . . . . . . 14
3029simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13
3130adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
322, 22abv0 15911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
342, 22abv0 15911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
358, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3633, 35eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
38 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3937, 38eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4036, 39syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . 15
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
4241imp 419 . . . . . . . . . . . . 13
43 elnn1uz2 10544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
443qrng1 21308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
452, 44abv1 15913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4613, 1, 45sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
472, 44abv1 15913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4813, 8, 47sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4946, 48eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
50 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
51 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5250, 51eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5349, 52syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5453imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
55 ostthlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5654, 55jaodan 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5743, 56sylan2b 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5857ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
60 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16
61 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6260, 61eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . 15
6362rspccva 3043 . . . . . . . . . . . . . 14
6459, 63sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13
6558ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
6616adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
673qrngneg 21309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6968eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
71 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
72 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7371, 72eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7473rspccva 3043 . . . . . . . . . . . . . . 15
7565, 70, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
761ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
7716ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15
78 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16
792, 4, 78abvneg 15914 . . . . . . . . . . . . . . 15
8076, 77, 79syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
818ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
822, 4, 78abvneg 15914 . . . . . . . . . . . . . . 15
8381, 77, 82syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
8475, 80, 833eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . 13
8542, 64, 843jaodan 1250 . . . . . . . . . . . 12
8631, 85mpdan 650 . . . . . . . . . . 11
8786adantrr 698 . . . . . . . . . 10
8857adantrl 697 . . . . . . . . . 10
8987, 88oveq12d 6091 . . . . . . . . 9
9028, 89eqtr4d 2470 . . . . . . . 8 /r
9125, 90eqtr4d 2470 . . . . . . 7 /r /r
923qrngdiv 21310 . . . . . . . . 9 /r
9317, 19, 21, 92syl3anc 1184 . . . . . . . 8 /r
9493fveq2d 5724 . . . . . . 7 /r
9593fveq2d 5724 . . . . . . 7 /r
9691, 94, 953eqtr3d 2475 . . . . . 6
97 fveq2 5720 . . . . . . 7
98 fveq2 5720 . . . . . . 7
9997, 98eqeq12d 2449 . . . . . 6
10096, 99syl5ibrcom 214 . . . . 5
101100rexlimdvva 2829 . . . 4
10212, 101syl5bi 209 . . 3
103102imp 419 . 2
1047, 11, 103eqfnfvd 5822 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 358   wa 359   w3o 935   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cr 8981  cc0 8982  c1 8983  cneg 9284   cdiv 9669  cn 9992  c2 10041  cz 10274  cuz 10480  cq 10566   ↾s cress 13462  cminusg 14678  /rcdvr 15779  cdr 15827  AbsValcabv 15896  ℂfldccnfld 16695 This theorem is referenced by:  ostthlem2  21314  ostth2  21323 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-ico 10914  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-subg 14933  df-cmn 15406  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-subrg 15858  df-abv 15897  df-cnfld 16696
 Copyright terms: Public domain W3C validator