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Theorem ostthlem1 20792
Description: Lemma for ostth 20804. If two absolute values agree on the positive integers greater than one, then they agree for all rational numbers and thus are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
ostthlem1.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostthlem1.2  |-  ( ph  ->  G  e.  A )
ostthlem1.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
Assertion
Ref Expression
ostthlem1  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Distinct variable groups:    n, G    ph, n    A, n    Q, n   
n, F

Proof of Theorem ostthlem1
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostthlem1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
2 qabsabv.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
3 qrng.q . . . . 5  |-  Q  =  (flds  QQ )
43qrngbas 20784 . . . 4  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
52, 4abvf 15604 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  F : QQ --> RR )
6 ffn 5405 . . 3  |-  ( F : QQ --> RR  ->  F  Fn  QQ )
71, 5, 63syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  F  Fn  QQ )
8 ostthlem1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  A )
92, 4abvf 15604 . . 3  |-  ( G  e.  A  ->  G : QQ --> RR )
10 ffn 5405 . . 3  |-  ( G : QQ --> RR  ->  G  Fn  QQ )
118, 9, 103syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  G  Fn  QQ )
12 elq 10334 . . . 4  |-  ( y  e.  QQ  <->  E. k  e.  ZZ  E. n  e.  NN  y  =  ( k  /  n ) )
133qdrng 20785 . . . . . . . . . 10  |-  Q  e.  DivRing
1413a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  Q  e.  DivRing )
151adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  F  e.  A )
16 zq 10338 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  QQ )
1716ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
k  e.  QQ )
18 nnq 10345 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  QQ )
1918ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  n  e.  QQ )
20 nnne0 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
2120ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  n  =/=  0 )
223qrng0 20786 . . . . . . . . . 10  |-  0  =  ( 0g `  Q )
23 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  (/r `  Q
)  =  (/r `  Q
)
242, 4, 22, 23abvdiv 15618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Q  e.  DivRing  /\  F  e.  A )  /\  ( k  e.  QQ  /\  n  e.  QQ  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( k (/r `  Q
) n ) )  =  ( ( F `
 k )  / 
( F `  n
) ) )
2514, 15, 17, 19, 21, 24syl23anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( ( F `  k
)  /  ( F `
 n ) ) )
268adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  G  e.  A )
272, 4, 22, 23abvdiv 15618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Q  e.  DivRing  /\  G  e.  A )  /\  ( k  e.  QQ  /\  n  e.  QQ  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( G `  ( k (/r `  Q
) n ) )  =  ( ( G `
 k )  / 
( G `  n
) ) )
2814, 26, 17, 19, 21, 27syl23anc 1189 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( G `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( ( G `  k
)  /  ( G `
 n ) ) )
29 elz 10042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  <->  ( k  e.  RR  /\  ( k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) ) )
3029simprbi 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) )
3130adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) )
322, 22abv0 15612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  0 )  =  0 )
331, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  0 )
342, 22abv0 15612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  A  ->  ( G `  0 )  =  0 )
358, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  0 )
3633, 35eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  ( G `
 0 ) )
37 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
38 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  ( G `  k )  =  ( G ` 
0 ) )
3937, 38eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  0  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 k )  <->  ( F `  0 )  =  ( G `  0
) ) )
4036, 39syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) ) )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) ) )
4241imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  -> 
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) )
43 elnn1uz2 10310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  <->  ( n  =  1  \/  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
443qrng1 20787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  =  ( 1r `  Q )
452, 44abv1 15614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Q  e.  DivRing  /\  F  e.  A )  ->  ( F `  1 )  =  1 )
4613, 1, 45sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  1 )
472, 44abv1 15614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Q  e.  DivRing  /\  G  e.  A )  ->  ( G `  1 )  =  1 )
4813, 8, 47sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  1 )
4946, 48eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 1 ) )
50 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) )
51 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  1  ->  ( G `  n )  =  ( G ` 
1 ) )
5250, 51eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  1  ->  (
( F `  n
)  =  ( G `
 n )  <->  ( F `  1 )  =  ( G `  1
) ) )
5349, 52syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) ) )
5453imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  = 
1 )  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
55 ostthlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
5654, 55jaodan 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  =  1  \/  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
5743, 56sylan2b 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( G `  n
) )
5857ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
5958adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
60 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
61 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
6260, 61eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
)  =  ( G `
 n )  <->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) ) )
6362rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
6459, 63sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
6558ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
6616adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  QQ )
673qrngneg 20788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  QQ  ->  (
( inv g `  Q ) `  k
)  =  -u k
)
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( inv g `  Q
) `  k )  =  -u k )
6968eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( inv g `  Q ) `  k
)  e.  NN  <->  -u k  e.  NN ) )
7069biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
( inv g `  Q ) `  k
)  e.  NN )
71 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( ( inv g `  Q ) `
 k )  -> 
( F `  n
)  =  ( F `
 ( ( inv g `  Q ) `
 k ) ) )
72 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( ( inv g `  Q ) `
 k )  -> 
( G `  n
)  =  ( G `
 ( ( inv g `  Q ) `
 k ) ) )
7371, 72eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( ( inv g `  Q ) `
 k )  -> 
( ( F `  n )  =  ( G `  n )  <-> 
( F `  (
( inv g `  Q ) `  k
) )  =  ( G `  ( ( inv g `  Q
) `  k )
) ) )
7473rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n )  /\  (
( inv g `  Q ) `  k
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( inv g `  Q ) `  k
) )  =  ( G `  ( ( inv g `  Q
) `  k )
) )
7565, 70, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( inv g `  Q ) `
 k ) )  =  ( G `  ( ( inv g `  Q ) `  k
) ) )
761ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  F  e.  A )
7716ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  k  e.  QQ )
78 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( inv g `  Q )  =  ( inv g `  Q )
792, 4, 78abvneg 15615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  A  /\  k  e.  QQ )  ->  ( F `  (
( inv g `  Q ) `  k
) )  =  ( F `  k ) )
8076, 77, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( inv g `  Q ) `
 k ) )  =  ( F `  k ) )
818ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  G  e.  A )
822, 4, 78abvneg 15615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  A  /\  k  e.  QQ )  ->  ( G `  (
( inv g `  Q ) `  k
) )  =  ( G `  k ) )
8381, 77, 82syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( G `  ( ( inv g `  Q ) `
 k ) )  =  ( G `  k ) )
8475, 80, 833eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
8542, 64, 843jaodan 1248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
8631, 85mpdan 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( F `
 k )  =  ( G `  k
) )
8786adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) )
8857adantrl 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  n
)  =  ( G `
 n ) )
8987, 88oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  k )  /  ( F `  n )
)  =  ( ( G `  k )  /  ( G `  n ) ) )
9028, 89eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( G `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( ( F `  k
)  /  ( F `
 n ) ) )
9125, 90eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( G `  ( k (/r `  Q ) n ) ) )
923qrngdiv 20789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  QQ  /\  n  e.  QQ  /\  n  =/=  0 )  ->  (
k (/r `  Q ) n )  =  ( k  /  n ) )
9317, 19, 21, 92syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( k (/r `  Q
) n )  =  ( k  /  n
) )
9493fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( F `  ( k  /  n ) ) )
9593fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( G `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( G `  ( k  /  n ) ) )
9691, 94, 953eqtr3d 2336 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  (
k  /  n ) )  =  ( G `
 ( k  /  n ) ) )
97 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( k  /  n )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( k  /  n
) ) )
98 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( k  /  n )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  ( k  /  n
) ) )
9997, 98eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( k  /  n )  ->  (
( F `  y
)  =  ( G `
 y )  <->  ( F `  ( k  /  n
) )  =  ( G `  ( k  /  n ) ) ) )
10096, 99syl5ibrcom 213 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( y  =  ( k  /  n )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )
101100rexlimdvva 2687 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  ZZ  E. n  e.  NN  y  =  ( k  /  n )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )
10212, 101syl5bi 208 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  QQ  ->  ( F `  y
)  =  ( G `
 y ) ) )
103102imp 418 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  QQ )  ->  ( F `
 y )  =  ( G `  y
) )
1047, 11, 103eqfnfvd 5641 1  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   QQcq 10332   ↾s cress 13165   inv gcminusg 14379  /rcdvr 15480   DivRingcdr 15528  AbsValcabv 15597  ℂfldccnfld 16393
This theorem is referenced by:  ostthlem2  20793  ostth2  20802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-ico 10678  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-subg 14634  df-cmn 15107  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-abv 15598  df-cnfld 16394
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