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Theorem ostthlem1 21188
Description: Lemma for ostth 21200. If two absolute values agree on the positive integers greater than one, then they agree for all rational numbers and thus are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
ostthlem1.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostthlem1.2  |-  ( ph  ->  G  e.  A )
ostthlem1.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
Assertion
Ref Expression
ostthlem1  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Distinct variable groups:    n, G    ph, n    A, n    Q, n   
n, F

Proof of Theorem ostthlem1
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostthlem1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
2 qabsabv.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
3 qrng.q . . . . 5  |-  Q  =  (flds  QQ )
43qrngbas 21180 . . . 4  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
52, 4abvf 15838 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  F : QQ --> RR )
6 ffn 5531 . . 3  |-  ( F : QQ --> RR  ->  F  Fn  QQ )
71, 5, 63syl 19 . 2  |-  ( ph  ->  F  Fn  QQ )
8 ostthlem1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  A )
92, 4abvf 15838 . . 3  |-  ( G  e.  A  ->  G : QQ --> RR )
10 ffn 5531 . . 3  |-  ( G : QQ --> RR  ->  G  Fn  QQ )
118, 9, 103syl 19 . 2  |-  ( ph  ->  G  Fn  QQ )
12 elq 10508 . . . 4  |-  ( y  e.  QQ  <->  E. k  e.  ZZ  E. n  e.  NN  y  =  ( k  /  n ) )
133qdrng 21181 . . . . . . . . . 10  |-  Q  e.  DivRing
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  Q  e.  DivRing )
151adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  F  e.  A )
16 zq 10512 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  QQ )
1716ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
k  e.  QQ )
18 nnq 10519 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  QQ )
1918ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  n  e.  QQ )
20 nnne0 9964 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
2120ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  n  =/=  0 )
223qrng0 21182 . . . . . . . . . 10  |-  0  =  ( 0g `  Q )
23 eqid 2387 . . . . . . . . . 10  |-  (/r `  Q
)  =  (/r `  Q
)
242, 4, 22, 23abvdiv 15852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Q  e.  DivRing  /\  F  e.  A )  /\  ( k  e.  QQ  /\  n  e.  QQ  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( k (/r `  Q
) n ) )  =  ( ( F `
 k )  / 
( F `  n
) ) )
2514, 15, 17, 19, 21, 24syl23anc 1191 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( ( F `  k
)  /  ( F `
 n ) ) )
268adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  ->  G  e.  A )
272, 4, 22, 23abvdiv 15852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Q  e.  DivRing  /\  G  e.  A )  /\  ( k  e.  QQ  /\  n  e.  QQ  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( G `  ( k (/r `  Q
) n ) )  =  ( ( G `
 k )  / 
( G `  n
) ) )
2814, 26, 17, 19, 21, 27syl23anc 1191 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( G `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( ( G `  k
)  /  ( G `
 n ) ) )
29 elz 10216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  <->  ( k  e.  RR  /\  ( k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) ) )
3029simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) )
3130adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) )
322, 22abv0 15846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  0 )  =  0 )
331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  0 )
342, 22abv0 15846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  A  ->  ( G `  0 )  =  0 )
358, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  0 )
3633, 35eqtr4d 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  ( G `
 0 ) )
37 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
38 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  ( G `  k )  =  ( G ` 
0 ) )
3937, 38eqeq12d 2401 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  0  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 k )  <->  ( F `  0 )  =  ( G `  0
) ) )
4036, 39syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) ) )
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) ) )
4241imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  -> 
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) )
43 elnn1uz2 10484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  <->  ( n  =  1  \/  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
443qrng1 21183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  =  ( 1r `  Q )
452, 44abv1 15848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Q  e.  DivRing  /\  F  e.  A )  ->  ( F `  1 )  =  1 )
4613, 1, 45sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  1 )
472, 44abv1 15848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Q  e.  DivRing  /\  G  e.  A )  ->  ( G `  1 )  =  1 )
4813, 8, 47sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  1 )
4946, 48eqtr4d 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 1 ) )
50 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) )
51 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  1  ->  ( G `  n )  =  ( G ` 
1 ) )
5250, 51eqeq12d 2401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  1  ->  (
( F `  n
)  =  ( G `
 n )  <->  ( F `  1 )  =  ( G `  1
) ) )
5349, 52syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) ) )
5453imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  = 
1 )  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
55 ostthlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
5654, 55jaodan 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  =  1  \/  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  ->  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
5743, 56sylan2b 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( G `  n
) )
5857ralrimiva 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
5958adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
60 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
61 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
6260, 61eqeq12d 2401 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
)  =  ( G `
 n )  <->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) ) )
6362rspccva 2994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
6459, 63sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
6558ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n ) )
6616adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  QQ )
673qrngneg 21184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  QQ  ->  (
( inv g `  Q ) `  k
)  =  -u k
)
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( inv g `  Q
) `  k )  =  -u k )
6968eleq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( inv g `  Q ) `  k
)  e.  NN  <->  -u k  e.  NN ) )
7069biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
( inv g `  Q ) `  k
)  e.  NN )
71 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( ( inv g `  Q ) `
 k )  -> 
( F `  n
)  =  ( F `
 ( ( inv g `  Q ) `
 k ) ) )
72 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( ( inv g `  Q ) `
 k )  -> 
( G `  n
)  =  ( G `
 ( ( inv g `  Q ) `
 k ) ) )
7371, 72eqeq12d 2401 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( ( inv g `  Q ) `
 k )  -> 
( ( F `  n )  =  ( G `  n )  <-> 
( F `  (
( inv g `  Q ) `  k
) )  =  ( G `  ( ( inv g `  Q
) `  k )
) ) )
7473rspccva 2994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  =  ( G `  n )  /\  (
( inv g `  Q ) `  k
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( inv g `  Q ) `  k
) )  =  ( G `  ( ( inv g `  Q
) `  k )
) )
7565, 70, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( inv g `  Q ) `
 k ) )  =  ( G `  ( ( inv g `  Q ) `  k
) ) )
761ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  F  e.  A )
7716ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  k  e.  QQ )
78 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( inv g `  Q )  =  ( inv g `  Q )
792, 4, 78abvneg 15849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  A  /\  k  e.  QQ )  ->  ( F `  (
( inv g `  Q ) `  k
) )  =  ( F `  k ) )
8076, 77, 79syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( inv g `  Q ) `
 k ) )  =  ( F `  k ) )
818ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  G  e.  A )
822, 4, 78abvneg 15849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  A  /\  k  e.  QQ )  ->  ( G `  (
( inv g `  Q ) `  k
) )  =  ( G `  k ) )
8381, 77, 82syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( G `  ( ( inv g `  Q ) `
 k ) )  =  ( G `  k ) )
8475, 80, 833eqtr3d 2427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
8542, 64, 843jaodan 1250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
8631, 85mpdan 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( F `
 k )  =  ( G `  k
) )
8786adantrr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) )
8857adantrl 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  n
)  =  ( G `
 n ) )
8987, 88oveq12d 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  k )  /  ( F `  n )
)  =  ( ( G `  k )  /  ( G `  n ) ) )
9028, 89eqtr4d 2422 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( G `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( ( F `  k
)  /  ( F `
 n ) ) )
9125, 90eqtr4d 2422 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( G `  ( k (/r `  Q ) n ) ) )
923qrngdiv 21185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  QQ  /\  n  e.  QQ  /\  n  =/=  0 )  ->  (
k (/r `  Q ) n )  =  ( k  /  n ) )
9317, 19, 21, 92syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( k (/r `  Q
) n )  =  ( k  /  n
) )
9493fveq2d 5672 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( F `  ( k  /  n ) ) )
9593fveq2d 5672 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( G `  (
k (/r `  Q ) n ) )  =  ( G `  ( k  /  n ) ) )
9691, 94, 953eqtr3d 2427 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( F `  (
k  /  n ) )  =  ( G `
 ( k  /  n ) ) )
97 fveq2 5668 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( k  /  n )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( k  /  n
) ) )
98 fveq2 5668 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( k  /  n )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  ( k  /  n
) ) )
9997, 98eqeq12d 2401 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( k  /  n )  ->  (
( F `  y
)  =  ( G `
 y )  <->  ( F `  ( k  /  n
) )  =  ( G `  ( k  /  n ) ) ) )
10096, 99syl5ibrcom 214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( y  =  ( k  /  n )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )
101100rexlimdvva 2780 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  ZZ  E. n  e.  NN  y  =  ( k  /  n )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )
10212, 101syl5bi 209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  QQ  ->  ( F `  y
)  =  ( G `
 y ) ) )
103102imp 419 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  QQ )  ->  ( F `
 y )  =  ( G `  y
) )
1047, 11, 103eqfnfvd 5769 1  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650    Fn wfn 5389   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924   -ucneg 9224    / cdiv 9609   NNcn 9932   2c2 9981   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   QQcq 10506   ↾s cress 13397   inv gcminusg 14613  /rcdvr 15714   DivRingcdr 15762  AbsValcabv 15831  ℂfldccnfld 16626
This theorem is referenced by:  ostthlem2  21189  ostth2  21198
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-ico 10854  df-fz 10976  df-seq 11251  df-exp 11310  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-subg 14868  df-cmn 15341  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-cring 15591  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-invr 15704  df-dvr 15715  df-drng 15764  df-subrg 15793  df-abv 15832  df-cnfld 16627
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