Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumclN Structured version   Unicode version

Theorem osumclN 30701
 Description: Closure of orthogonal sum. If and are orthogonal closed projective subspaces, then their sum is closed. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcl.p
osumcl.o
osumcl.c
Assertion
Ref Expression
osumclN

Proof of Theorem osumclN
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . 3
2 simpl2 961 . . . 4
3 eqid 2435 . . . . 5
4 osumcl.c . . . . 5
53, 4psubclssatN 30675 . . . 4
61, 2, 5syl2anc 643 . . 3
7 simpl3 962 . . . 4
83, 4psubclssatN 30675 . . . 4
91, 7, 8syl2anc 643 . . 3
10 osumcl.p . . . 4
113, 10paddssat 30548 . . 3
121, 6, 9, 11syl3anc 1184 . 2
13 simpll1 996 . . . 4
14 oveq1 6080 . . . . . 6
153, 10padd02 30546 . . . . . . 7
161, 9, 15syl2anc 643 . . . . . 6
1714, 16sylan9eqr 2489 . . . . 5
18 simpll3 998 . . . . 5
1917, 18eqeltrd 2509 . . . 4
20 osumcl.o . . . . 5
2120, 4psubcli2N 30673 . . . 4
2213, 19, 21syl2anc 643 . . 3
2310, 20, 4osumcllem11N 30700 . . . . 5
2423anassrs 630 . . . 4
2524eqcomd 2440 . . 3
2622, 25pm2.61dane 2676 . 2
273, 20, 4ispsubclN 30671 . . 3
281, 27syl 16 . 2
2912, 26, 28mpbir2and 889 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598   wss 3312  c0 3620  cfv 5446  (class class class)co 6073  catm 29998  chlt 30085  cpadd 30529  cpolN 30636  cpscN 30668 This theorem is referenced by:  pmapojoinN  30702  pexmidN  30703 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-polarityN 30637  df-psubclN 30669
 Copyright terms: Public domain W3C validator