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Theorem osumcllem11N 30825
Description: Lemma for osumclN 30826. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcl.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
osumcl.o  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
osumcl.c  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
Assertion
Ref Expression
osumcllem11N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( X  .+  Y
)  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) ) )

Proof of Theorem osumcllem11N
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nonconne 2610 . 2  |-  -.  ( X  =  X  /\  X  =/=  X )
2 simpl1 961 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  K  e.  HL )
3 simpl2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  X  e.  C )
4 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
5 osumcl.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
64, 5psubclssatN 30800 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C )  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) )
72, 3, 6syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  X  C_  ( Atoms `  K
) )
8 simpl3 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  Y  e.  C )
94, 5psubclssatN 30800 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K ) )
102, 8, 9syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K
) )
11 osumcl.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( + P `  K
)
124, 11paddssat 30673 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  ( Atoms `  K
)  /\  Y  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( X  .+  Y )  C_  ( Atoms `  K ) )
132, 7, 10, 12syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( X  .+  Y
)  C_  ( Atoms `  K ) )
14 osumcl.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
154, 142polssN 30774 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  ( Atoms `  K
) )  ->  ( X  .+  Y )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )
162, 13, 15syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( X  .+  Y
)  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) ) )
17 df-pss 3338 . . . . . . 7  |-  ( ( X  .+  Y ) 
C.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  <-> 
( ( X  .+  Y )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  /\  ( X 
.+  Y )  =/=  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) ) )
18 pssnel 3695 . . . . . . 7  |-  ( ( X  .+  Y ) 
C.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  ->  E. p ( p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) ) )
1917, 18sylbir 206 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  .+  Y
)  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) )  /\  ( X 
.+  Y )  =/=  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  ->  E. p ( p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) ) )
20 df-rex 2713 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) )  -.  p  e.  ( X  .+  Y
)  <->  E. p ( p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) ) )
2119, 20sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ( ( X  .+  Y
)  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) )  /\  ( X 
.+  Y )  =/=  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  ->  E. p  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )
22 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
23 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
24 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X 
.+  { p }
)  =  ( X 
.+  { p }
)
25 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) )
2622, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25osumcllem9N 30823 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  ( X  .+  { p }
)  =  X )
27 simp11 988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  K  e.  HL )
28 simp12 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  X  e.  C )
2927, 28, 6syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  X  C_  ( Atoms `  K )
)
30 simp13 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  Y  e.  C )
3127, 30, 9syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K )
)
32133adantr3 1119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  C_  ( Atoms `  K ) )
33323adant3 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  ( X  .+  Y )  C_  ( Atoms `  K )
)
344, 14polssatN 30767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  ( Atoms `  K
) )  ->  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  ( Atoms `  K )
)
3527, 33, 34syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  ( Atoms `  K )
)
364, 14polssatN 30767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  ( Atoms `  K )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) )  C_  ( Atoms `  K ) )
3727, 35, 36syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  C_  ( Atoms `  K ) )
38 simp23 993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) ) )
3937, 38sseldd 3351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K )
)
40 simp3 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )
4122, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25osumcllem10N 30824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )
)  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  ( X  .+  { p } )  =/=  X )
4227, 29, 31, 39, 40, 41syl311anc 1199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  ( X  .+  { p }
)  =/=  X )
4326, 42pm2.21ddne 2680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y
) )  ->  ( X  =  X  /\  X  =/=  X ) )
44433exp 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  ->  ( ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) ) )  ->  ( -.  p  e.  ( X  .+  Y )  ->  ( X  =  X  /\  X  =/=  X ) ) ) )
45443expd 1171 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  ->  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  -> 
( X  =/=  (/)  ->  (
p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) )  ->  ( -.  p  e.  ( X  .+  Y )  ->  ( X  =  X  /\  X  =/=  X ) ) ) ) ) )
4645imp32 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( p  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  ->  ( -.  p  e.  ( X  .+  Y )  ->  ( X  =  X  /\  X  =/=  X ) ) ) )
4746rexlimdv 2831 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( E. p  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )  -.  p  e.  ( X 
.+  Y )  -> 
( X  =  X  /\  X  =/=  X
) ) )
4821, 47syl5 31 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( ( ( X 
.+  Y )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )  /\  ( X  .+  Y )  =/=  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) ) )  ->  ( X  =  X  /\  X  =/= 
X ) ) )
4916, 48mpand 658 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( ( X  .+  Y )  =/=  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  ->  ( X  =  X  /\  X  =/= 
X ) ) )
5049necon1bd 2674 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( -.  ( X  =  X  /\  X  =/=  X )  ->  ( X  .+  Y )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) ) ) )
511, 50mpi 17 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( X  .+  Y
)  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X 
.+  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708    C_ wss 3322    C. wpss 3323   (/)c0 3630   {csn 3816   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   lecple 13538   joincjn 14403   Atomscatm 30123   HLchlt 30210   + Pcpadd 30654   _|_ PcpolN 30761   PSubClcpscN 30793
This theorem is referenced by:  osumclN  30826
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-undef 6545  df-riota 6551  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-p1 14471  df-lat 14477  df-clat 14539  df-oposet 30036  df-ol 30038  df-oml 30039  df-covers 30126  df-ats 30127  df-atl 30158  df-cvlat 30182  df-hlat 30211  df-psubsp 30362  df-pmap 30363  df-padd 30655  df-polarityN 30762  df-psubclN 30794
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