Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem3N Unicode version

Theorem osumcllem3N 30073
Description: Lemma for osumclN 30082. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
osumcllem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
osumcllem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
osumcllem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
osumcllem.o  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
osumcllem.c  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
osumcllem.m  |-  M  =  ( X  .+  {
p } )
osumcllem.u  |-  U  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )
Assertion
Ref Expression
osumcllem3N  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (
(  ._|_  `  X )  i^i  U )  =  Y )

Proof of Theorem osumcllem3N
StepHypRef Expression
1 incom 3477 . 2  |-  ( ( 
._|_  `  X )  i^i 
U )  =  ( U  i^i  (  ._|_  `  X ) )
2 osumcllem.u . . . . 5  |-  U  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )
3 simp1 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  K  e.  HL )
4 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )
5 osumcllem.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
6 osumcllem.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
75, 6psubclssatN 30056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C )  ->  Y  C_  A )
873adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  Y  C_  A )
9 osumcllem.o . . . . . . . . . . 11  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
105, 9polssatN 30023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  Y )  C_  A )
113, 8, 10syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  A )
124, 11sstrd 3302 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  X  C_  A )
13 osumcllem.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( + P `  K
)
145, 13, 9poldmj1N 30043 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
153, 12, 8, 14syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
16 incom 3477 . . . . . . 7  |-  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  =  ( ( 
._|_  `  Y )  i^i  (  ._|_  `  X ) )
1715, 16syl6eq 2436 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  Y
)  i^i  (  ._|_  `  X ) ) )
1817fveq2d 5673 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  Y
)  i^i  (  ._|_  `  X ) ) ) )
192, 18syl5eq 2432 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  U  =  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  Y )  i^i  (  ._|_  `  X
) ) ) )
2019ineq1d 3485 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  ( U  i^i  (  ._|_  `  X
) )  =  ( (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  Y )  i^i  (  ._|_  `  X ) ) )  i^i  (  ._|_  `  X ) ) )
215, 9polcon2N 30034 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  Y  C_  (  ._|_  `  X ) )
228, 21syld3an2 1231 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  Y  C_  (  ._|_  `  X ) )
235, 9poml5N 30069 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  Y )  i^i  (  ._|_  `  X ) ) )  i^i  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
243, 12, 22, 23syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  Y )  i^i  (  ._|_  `  X ) ) )  i^i  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
259, 6psubcli2N 30054 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
26253adant3 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  =  Y )
2720, 24, 263eqtrd 2424 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  ( U  i^i  (  ._|_  `  X
) )  =  Y )
281, 27syl5eq 2432 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (
(  ._|_  `  X )  i^i  U )  =  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    i^i cin 3263    C_ wss 3264   {csn 3758   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   lecple 13464   joincjn 14329   Atomscatm 29379   HLchlt 29466   + Pcpadd 29910   _|_ PcpolN 30017   PSubClcpscN 30049
This theorem is referenced by:  osumcllem9N  30079
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-undef 6480  df-riota 6486  df-poset 14331  df-plt 14343  df-lub 14359  df-glb 14360  df-join 14361  df-meet 14362  df-p0 14396  df-p1 14397  df-lat 14403  df-clat 14465  df-oposet 29292  df-ol 29294  df-oml 29295  df-covers 29382  df-ats 29383  df-atl 29414  df-cvlat 29438  df-hlat 29467  df-psubsp 29618  df-pmap 29619  df-padd 29911  df-polarityN 30018  df-psubclN 30050
  Copyright terms: Public domain W3C validator