Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem3N Unicode version

Theorem osumcllem3N 30769
Description: Lemma for osumclN 30778. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
osumcllem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
osumcllem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
osumcllem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
osumcllem.o  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
osumcllem.c  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
osumcllem.m  |-  M  =  ( X  .+  {
p } )
osumcllem.u  |-  U  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )
Assertion
Ref Expression
osumcllem3N  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (
(  ._|_  `  X )  i^i  U )  =  Y )

Proof of Theorem osumcllem3N
StepHypRef Expression
1 incom 3374 . 2  |-  ( ( 
._|_  `  X )  i^i 
U )  =  ( U  i^i  (  ._|_  `  X ) )
2 osumcllem.u . . . . 5  |-  U  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )
3 simp1 955 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  K  e.  HL )
4 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )
5 osumcllem.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
6 osumcllem.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
75, 6psubclssatN 30752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C )  ->  Y  C_  A )
873adant3 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  Y  C_  A )
9 osumcllem.o . . . . . . . . . . 11  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
105, 9polssatN 30719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  Y )  C_  A )
113, 8, 10syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  A )
124, 11sstrd 3202 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  X  C_  A )
13 osumcllem.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( + P `  K
)
145, 13, 9poldmj1N 30739 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
153, 12, 8, 14syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
16 incom 3374 . . . . . . 7  |-  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  =  ( ( 
._|_  `  Y )  i^i  (  ._|_  `  X ) )
1715, 16syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  Y
)  i^i  (  ._|_  `  X ) ) )
1817fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  Y
)  i^i  (  ._|_  `  X ) ) ) )
192, 18syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  U  =  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  Y )  i^i  (  ._|_  `  X
) ) ) )
2019ineq1d 3382 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  ( U  i^i  (  ._|_  `  X
) )  =  ( (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  Y )  i^i  (  ._|_  `  X ) ) )  i^i  (  ._|_  `  X ) ) )
215, 9polcon2N 30730 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  Y  C_  (  ._|_  `  X ) )
228, 21syld3an2 1229 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  Y  C_  (  ._|_  `  X ) )
235, 9poml5N 30765 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  Y )  i^i  (  ._|_  `  X ) ) )  i^i  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
243, 12, 22, 23syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  Y )  i^i  (  ._|_  `  X ) ) )  i^i  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
259, 6psubcli2N 30750 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
26253adant3 975 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  =  Y )
2720, 24, 263eqtrd 2332 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  ( U  i^i  (  ._|_  `  X
) )  =  Y )
281, 27syl5eq 2340 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (
(  ._|_  `  X )  i^i  U )  =  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {csn 3653   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   lecple 13231   joincjn 14094   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   + Pcpadd 30606   _|_ PcpolN 30713   PSubClcpscN 30745
This theorem is referenced by:  osumcllem9N  30775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-polarityN 30714  df-psubclN 30746
  Copyright terms: Public domain W3C validator