Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem3N Structured version   Unicode version

Theorem osumcllem3N 30682
Description: Lemma for osumclN 30691. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
osumcllem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
osumcllem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
osumcllem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
osumcllem.o  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
osumcllem.c  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
osumcllem.m  |-  M  =  ( X  .+  {
p } )
osumcllem.u  |-  U  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )
Assertion
Ref Expression
osumcllem3N  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (
(  ._|_  `  X )  i^i  U )  =  Y )

Proof of Theorem osumcllem3N
StepHypRef Expression
1 incom 3525 . 2  |-  ( ( 
._|_  `  X )  i^i 
U )  =  ( U  i^i  (  ._|_  `  X ) )
2 osumcllem.u . . . . 5  |-  U  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )
3 simp1 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  K  e.  HL )
4 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )
5 osumcllem.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
6 osumcllem.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
75, 6psubclssatN 30665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C )  ->  Y  C_  A )
873adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  Y  C_  A )
9 osumcllem.o . . . . . . . . . . 11  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
105, 9polssatN 30632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  Y )  C_  A )
113, 8, 10syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  A )
124, 11sstrd 3350 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  X  C_  A )
13 osumcllem.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( + P `  K
)
145, 13, 9poldmj1N 30652 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
153, 12, 8, 14syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
16 incom 3525 . . . . . . 7  |-  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  =  ( ( 
._|_  `  Y )  i^i  (  ._|_  `  X ) )
1715, 16syl6eq 2483 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  Y
)  i^i  (  ._|_  `  X ) ) )
1817fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  Y
)  i^i  (  ._|_  `  X ) ) ) )
192, 18syl5eq 2479 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  U  =  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  Y )  i^i  (  ._|_  `  X
) ) ) )
2019ineq1d 3533 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  ( U  i^i  (  ._|_  `  X
) )  =  ( (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  Y )  i^i  (  ._|_  `  X ) ) )  i^i  (  ._|_  `  X ) ) )
215, 9polcon2N 30643 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  Y  C_  (  ._|_  `  X ) )
228, 21syld3an2 1231 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  Y  C_  (  ._|_  `  X ) )
235, 9poml5N 30678 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  Y )  i^i  (  ._|_  `  X ) ) )  i^i  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
243, 12, 22, 23syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  Y )  i^i  (  ._|_  `  X ) ) )  i^i  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
259, 6psubcli2N 30663 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
26253adant3 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  =  Y )
2720, 24, 263eqtrd 2471 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  ( U  i^i  (  ._|_  `  X
) )  =  Y )
281, 27syl5eq 2479 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (
(  ._|_  `  X )  i^i  U )  =  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3311    C_ wss 3312   {csn 3806   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   lecple 13528   joincjn 14393   Atomscatm 29988   HLchlt 30075   + Pcpadd 30519   _|_ PcpolN 30626   PSubClcpscN 30658
This theorem is referenced by:  osumcllem9N  30688
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29901  df-ol 29903  df-oml 29904  df-covers 29991  df-ats 29992  df-atl 30023  df-cvlat 30047  df-hlat 30076  df-psubsp 30227  df-pmap 30228  df-padd 30520  df-polarityN 30627  df-psubclN 30659
  Copyright terms: Public domain W3C validator