Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem8N Structured version   Unicode version

Theorem osumcllem8N 30834
Description: Lemma for osumclN 30838. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
osumcllem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
osumcllem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
osumcllem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
osumcllem.o  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
osumcllem.c  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
osumcllem.m  |-  M  =  ( X  .+  {
p } )
osumcllem.u  |-  U  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )
Assertion
Ref Expression
osumcllem8N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  A )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( Y  i^i  M
)  =  (/) )

Proof of Theorem osumcllem8N
Dummy variable  q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3639 . . . 4  |-  ( ( Y  i^i  M )  =/=  (/)  <->  E. q  q  e.  ( Y  i^i  M
) )
2 osumcllem.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 osumcllem.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 osumcllem.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 osumcllem.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( + P `  K
)
6 osumcllem.o . . . . . . 7  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
7 osumcllem.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
8 osumcllem.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( X  .+  {
p } )
9 osumcllem.u . . . . . . 7  |-  U  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9osumcllem7N 30833 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  A )  /\  q  e.  ( Y  i^i  M
) )  ->  p  e.  ( X  .+  Y
) )
11103expia 1156 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  A ) )  -> 
( q  e.  ( Y  i^i  M )  ->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) )
1211exlimdv 1647 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  A ) )  -> 
( E. q  q  e.  ( Y  i^i  M )  ->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) )
131, 12syl5bi 210 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  A ) )  -> 
( ( Y  i^i  M )  =/=  (/)  ->  p  e.  ( X  .+  Y
) ) )
1413necon1bd 2674 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  A ) )  -> 
( -.  p  e.  ( X  .+  Y
)  ->  ( Y  i^i  M )  =  (/) ) )
15143impia 1151 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  A )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( Y  i^i  M
)  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   lecple 13541   joincjn 14406   Atomscatm 30135   HLchlt 30222   + Pcpadd 30666   _|_ PcpolN 30773   PSubClcpscN 30805
This theorem is referenced by:  osumcllem9N  30835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-pmap 30375  df-padd 30667  df-polarityN 30774
  Copyright terms: Public domain W3C validator