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Theorem osumcllem9N 30698
Description: Lemma for osumclN 30701. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
osumcllem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
osumcllem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
osumcllem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
osumcllem.o  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
osumcllem.c  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
osumcllem.m  |-  M  =  ( X  .+  {
p } )
osumcllem.u  |-  U  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )
Assertion
Ref Expression
osumcllem9N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  M  =  X )

Proof of Theorem osumcllem9N
StepHypRef Expression
1 inass 3543 . . . . . . 7  |-  ( ( (  ._|_  `  X )  i^i  U )  i^i 
M )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M ) )
2 simp11 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  K  e.  HL )
3 simp13 989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  Y  e.  C )
4 simp21 990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )
5 osumcllem.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 osumcllem.j . . . . . . . . . 10  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 osumcllem.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( Atoms `  K )
8 osumcllem.p . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( + P `  K
)
9 osumcllem.o . . . . . . . . . 10  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
10 osumcllem.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
11 osumcllem.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( X  .+  {
p } )
12 osumcllem.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )
135, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem3N 30692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (
(  ._|_  `  X )  i^i  U )  =  Y )
142, 3, 4, 13syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  X
)  i^i  U )  =  Y )
1514ineq1d 3533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( ( (  ._|_  `  X )  i^i  U
)  i^i  M )  =  ( Y  i^i  M ) )
161, 15syl5eqr 2481 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  X
)  i^i  ( U  i^i  M ) )  =  ( Y  i^i  M
) )
17 simp12 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  e.  C )
187, 10psubclssatN 30675 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C )  ->  X  C_  A )
192, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  C_  A )
207, 10psubclssatN 30675 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C )  ->  Y  C_  A )
212, 3, 20syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  Y  C_  A )
22 simp22 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  =/=  (/) )
237, 8paddssat 30548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A )
242, 19, 21, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( X  .+  Y
)  C_  A )
257, 9polssatN 30642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  A )  -> 
(  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  A )
262, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  A )
277, 9polssatN 30642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  C_  A )
282, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )  C_  A )
2912, 28syl5eqss 3384 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  U  C_  A )
30 simp23 992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  p  e.  U )
3129, 30sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  p  e.  A )
32 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )
335, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem8N 30697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  A )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( Y  i^i  M
)  =  (/) )
342, 19, 21, 4, 22, 31, 32, 33syl331anc 1209 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( Y  i^i  M
)  =  (/) )
3516, 34eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  X
)  i^i  ( U  i^i  M ) )  =  (/) )
3635fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  =  (  ._|_  `  (/) ) )
377, 9pol0N 30643 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  (  ._|_  `  (/) )  =  A )
382, 37syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  (/) )  =  A )
3936, 38eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  =  A )
405, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem1N 30690 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  p  e.  U )  ->  ( U  i^i  M
)  =  M )
412, 19, 21, 30, 40syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( U  i^i  M
)  =  M )
4239, 41ineq12d 3535 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  i^i  ( U  i^i  M
) )  =  ( A  i^i  M ) )
437, 9, 10polsubclN 30686 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  e.  C )
442, 26, 43syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )  e.  C )
4512, 44syl5eqel 2519 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  U  e.  C )
467, 8, 10paddatclN 30683 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  p  e.  A )  ->  ( X  .+  {
p } )  e.  C )
472, 17, 31, 46syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( X  .+  {
p } )  e.  C )
4811, 47syl5eqel 2519 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  M  e.  C )
4910psubclinN 30682 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  U  e.  C  /\  M  e.  C )  ->  ( U  i^i  M
)  e.  C )
502, 45, 48, 49syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( U  i^i  M
)  e.  C )
515, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem2N 30691 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  p  e.  U )  ->  X  C_  ( U  i^i  M ) )
522, 19, 21, 30, 51syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  C_  ( U  i^i  M ) )
5310, 9poml6N 30689 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  ( U  i^i  M )  e.  C )  /\  X  C_  ( U  i^i  M ) )  ->  (
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  i^i  ( U  i^i  M
) )  =  X )
542, 17, 50, 52, 53syl31anc 1187 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  i^i  ( U  i^i  M
) )  =  X )
5531snssd 3935 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  { p }  C_  A )
567, 8paddssat 30548 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  {
p }  C_  A
)  ->  ( X  .+  { p } ) 
C_  A )
572, 19, 55, 56syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( X  .+  {
p } )  C_  A )
5811, 57syl5eqss 3384 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  M  C_  A )
59 sseqin2 3552 . . 3  |-  ( M 
C_  A  <->  ( A  i^i  M )  =  M )
6058, 59sylib 189 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( A  i^i  M
)  =  M )
6142, 54, 603eqtr3rd 2476 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  M  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   lecple 13528   joincjn 14393   Atomscatm 29998   HLchlt 30085   + Pcpadd 30529   _|_ PcpolN 30636   PSubClcpscN 30668
This theorem is referenced by:  osumcllem11N  30700
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-polarityN 30637  df-psubclN 30669
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