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Theorem osumcllem9N 30775
Description: Lemma for osumclN 30778. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
osumcllem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
osumcllem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
osumcllem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
osumcllem.o  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
osumcllem.c  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
osumcllem.m  |-  M  =  ( X  .+  {
p } )
osumcllem.u  |-  U  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )
Assertion
Ref Expression
osumcllem9N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  M  =  X )

Proof of Theorem osumcllem9N
StepHypRef Expression
1 inass 3392 . . . . . . 7  |-  ( ( (  ._|_  `  X )  i^i  U )  i^i 
M )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M ) )
2 simp11 985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  K  e.  HL )
3 simp13 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  Y  e.  C )
4 simp21 988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )
5 osumcllem.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 osumcllem.j . . . . . . . . . 10  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 osumcllem.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( Atoms `  K )
8 osumcllem.p . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( + P `  K
)
9 osumcllem.o . . . . . . . . . 10  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
10 osumcllem.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
11 osumcllem.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( X  .+  {
p } )
12 osumcllem.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )
135, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem3N 30769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  (
(  ._|_  `  X )  i^i  U )  =  Y )
142, 3, 4, 13syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  X
)  i^i  U )  =  Y )
1514ineq1d 3382 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( ( (  ._|_  `  X )  i^i  U
)  i^i  M )  =  ( Y  i^i  M ) )
161, 15syl5eqr 2342 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  X
)  i^i  ( U  i^i  M ) )  =  ( Y  i^i  M
) )
17 simp12 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  e.  C )
187, 10psubclssatN 30752 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C )  ->  X  C_  A )
192, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  C_  A )
207, 10psubclssatN 30752 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  C )  ->  Y  C_  A )
212, 3, 20syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  Y  C_  A )
22 simp22 989 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  =/=  (/) )
237, 8paddssat 30625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A )
242, 19, 21, 23syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( X  .+  Y
)  C_  A )
257, 9polssatN 30719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  A )  -> 
(  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  A )
262, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  A )
277, 9polssatN 30719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  C_  A )
282, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )  C_  A )
2912, 28syl5eqss 3235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  U  C_  A )
30 simp23 990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  p  e.  U )
3129, 30sseldd 3194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  p  e.  A )
32 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )
335, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem8N 30774 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  A )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( Y  i^i  M
)  =  (/) )
342, 19, 21, 4, 22, 31, 32, 33syl331anc 1207 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( Y  i^i  M
)  =  (/) )
3516, 34eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  X
)  i^i  ( U  i^i  M ) )  =  (/) )
3635fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  =  (  ._|_  `  (/) ) )
377, 9pol0N 30720 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  (  ._|_  `  (/) )  =  A )
382, 37syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  (/) )  =  A )
3936, 38eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  =  A )
405, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem1N 30767 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  p  e.  U )  ->  ( U  i^i  M
)  =  M )
412, 19, 21, 30, 40syl31anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( U  i^i  M
)  =  M )
4239, 41ineq12d 3384 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  i^i  ( U  i^i  M
) )  =  ( A  i^i  M ) )
437, 9, 10polsubclN 30763 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y ) ) )  e.  C )
442, 26, 43syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( X  .+  Y
) ) )  e.  C )
4512, 44syl5eqel 2380 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  U  e.  C )
467, 8, 10paddatclN 30760 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  p  e.  A )  ->  ( X  .+  {
p } )  e.  C )
472, 17, 31, 46syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( X  .+  {
p } )  e.  C )
4811, 47syl5eqel 2380 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  M  e.  C )
4910psubclinN 30759 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  U  e.  C  /\  M  e.  C )  ->  ( U  i^i  M
)  e.  C )
502, 45, 48, 49syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( U  i^i  M
)  e.  C )
515, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem2N 30768 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  p  e.  U )  ->  X  C_  ( U  i^i  M ) )
522, 19, 21, 30, 51syl31anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  X  C_  ( U  i^i  M ) )
5310, 9poml6N 30766 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  ( U  i^i  M )  e.  C )  /\  X  C_  ( U  i^i  M ) )  ->  (
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  i^i  ( U  i^i  M
) )  =  X )
542, 17, 50, 52, 53syl31anc 1185 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  ( U  i^i  M
) ) )  i^i  ( U  i^i  M
) )  =  X )
5531snssd 3776 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  { p }  C_  A )
567, 8paddssat 30625 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  {
p }  C_  A
)  ->  ( X  .+  { p } ) 
C_  A )
572, 19, 55, 56syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( X  .+  {
p } )  C_  A )
5811, 57syl5eqss 3235 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  M  C_  A )
59 sseqin2 3401 . . 3  |-  ( M 
C_  A  <->  ( A  i^i  M )  =  M )
6058, 59sylib 188 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  -> 
( A  i^i  M
)  =  M )
6142, 54, 603eqtr3rd 2337 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  C  /\  Y  e.  C )  /\  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  X  =/=  (/)  /\  p  e.  U )  /\  -.  p  e.  ( X  .+  Y ) )  ->  M  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   lecple 13231   joincjn 14094   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   + Pcpadd 30606   _|_ PcpolN 30713   PSubClcpscN 30745
This theorem is referenced by:  osumcllem11N  30777
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-polarityN 30714  df-psubclN 30746
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