MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovg Structured version   Unicode version

Theorem ovg 6215
Description: The value of an operation class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
ovg.1  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ps ) )
ovg.2  |-  ( y  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
ovg.3  |-  ( z  =  C  ->  ( ch 
<->  th ) )
ovg.4  |-  ( ( ta  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) )  ->  E! z ph )
ovg.5  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }
Assertion
Ref Expression
ovg  |-  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S  /\  C  e.  D ) )  -> 
( ( A F B )  =  C  <->  th ) )
Distinct variable groups:    ps, x    ch, x, y    th, x, y, z    ta, x, y   
x, R, y, z   
x, S, y, z   
x, A, y, z   
x, B, y, z   
x, C, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    ps( y, z)    ch( z)    ta( z)    D( x, y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem ovg
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6087 . . . . 5  |-  ( A F B )  =  ( F `  <. A ,  B >. )
2 ovg.5 . . . . . 6  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }
32fveq1i 5732 . . . . 5  |-  ( F `
 <. A ,  B >. )  =  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } `  <. A ,  B >. )
41, 3eqtri 2458 . . . 4  |-  ( A F B )  =  ( { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } `  <. A ,  B >. )
54eqeq1i 2445 . . 3  |-  ( ( A F B )  =  C  <->  ( { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } `  <. A ,  B >. )  =  C )
6 eqeq2 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  C  ->  (
( { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } `  <. A ,  B >. )  =  c  <->  ( { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } `  <. A ,  B >. )  =  C ) )
7 opeq2 3987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  C  ->  <. <. A ,  B >. ,  c >.  =  <. <. A ,  B >. ,  C >. )
87eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  C  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  c >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) )
96, 8bibi12d 314 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  /\  ph ) } `
 <. A ,  B >. )  =  c  <->  <. <. A ,  B >. ,  c >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } )  <->  ( ( { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } `  <. A ,  B >. )  =  C  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) ) )
109imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S
) )  ->  (
( { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } `  <. A ,  B >. )  =  c  <->  <. <. A ,  B >. ,  c >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) )  <->  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S ) )  -> 
( ( { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  /\  ph ) } `
 <. A ,  B >. )  =  C  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e. 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) ) ) )
11 ovg.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ta  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) )  ->  E! z ph )
1211ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ta 
->  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  E! z ph ) )
1312alrimivv 1643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ta 
->  A. x A. y
( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  E! z ph ) )
14 fnoprabg 6174 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  E! z ph )  ->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) } )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ta 
->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) } )
16 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  R  <->  A  e.  R ) )
1716anbi1d 687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  <->  ( A  e.  R  /\  y  e.  S ) ) )
18 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  S  <->  B  e.  S ) )
1918anbi2d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  e.  R  /\  y  e.  S
)  <->  ( A  e.  R  /\  B  e.  S ) ) )
2017, 19opelopabg 4476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) } 
<->  ( A  e.  R  /\  B  e.  S
) ) )
2120ibir 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) } )
22 fnopfvb 5771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) }  /\  <. A ,  B >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) } )  ->  (
( { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } `  <. A ,  B >. )  =  c  <->  <. <. A ,  B >. ,  c >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) )
2315, 21, 22syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S ) )  -> 
( ( { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  /\  ph ) } `
 <. A ,  B >. )  =  c  <->  <. <. A ,  B >. ,  c >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) )
2410, 23vtoclg 3013 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  D  ->  (
( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S )
)  ->  ( ( { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } `  <. A ,  B >. )  =  C  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) ) )
2524com12 30 . . . . . 6  |-  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S ) )  -> 
( C  e.  D  ->  ( ( { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  /\  ph ) } `
 <. A ,  B >. )  =  C  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e. 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) ) )
2625exp32 590 . . . . 5  |-  ( ta 
->  ( A  e.  R  ->  ( B  e.  S  ->  ( C  e.  D  ->  ( ( { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  /\  ph ) } `
 <. A ,  B >. )  =  C  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e. 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) ) ) ) )
27263imp2 1169 . . . 4  |-  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S  /\  C  e.  D ) )  -> 
( ( { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  /\  ph ) } `
 <. A ,  B >. )  =  C  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e. 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) )
28 ovg.1 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2917, 28anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) 
<->  ( ( A  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ps ) ) )
30 ovg.2 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
3119, 30anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( A  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ps ) 
<->  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  ch ) ) )
32 ovg.3 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  ( ch 
<->  th ) )
3332anbi2d 686 . . . . . 6  |-  ( z  =  C  ->  (
( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  ch ) 
<->  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) ) )
3429, 31, 33eloprabg 6164 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S  /\  C  e.  D )  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  C >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }  <->  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) ) )
3534adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S  /\  C  e.  D ) )  -> 
( <. <. A ,  B >. ,  C >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }  <->  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) ) )
3627, 35bitrd 246 . . 3  |-  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S  /\  C  e.  D ) )  -> 
( ( { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  /\  ph ) } `
 <. A ,  B >. )  =  C  <->  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) ) )
375, 36syl5bb 250 . 2  |-  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S  /\  C  e.  D ) )  -> 
( ( A F B )  =  C  <-> 
( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) ) )
38 biidd 230 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  ( ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) 
<->  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) ) )
3938bianabs 852 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  ( ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) 
<->  th ) )
40393adant3 978 . . 3  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S  /\  C  e.  D )  ->  ( ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) 
<->  th ) )
4140adantl 454 . 2  |-  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S  /\  C  e.  D ) )  -> 
( ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) 
<->  th ) )
4237, 41bitrd 246 1  |-  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S  /\  C  e.  D ) )  -> 
( ( A F B )  =  C  <->  th ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   E!weu 2283   <.cop 3819   {copab 4268    Fn wfn 5452   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   {coprab 6085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088
  Copyright terms: Public domain W3C validator