MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovmpt2d Unicode version

Theorem ovmpt2d 5975
Description: Value of an operation given by a maps-to rule, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovmpt2d.1  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) )
ovmpt2d.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  A  /\  y  =  B ) )  ->  R  =  S )
ovmpt2d.3  |-  ( ph  ->  A  e.  C )
ovmpt2d.4  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
ovmpt2d.5  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
Assertion
Ref Expression
ovmpt2d  |-  ( ph  ->  ( A F B )  =  S )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, S, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    D( x, y)    R( x, y)    F( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem ovmpt2d
StepHypRef Expression
1 ovmpt2d.1 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) )
2 ovmpt2d.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  A  /\  y  =  B ) )  ->  R  =  S )
3 eqidd 2284 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  D  =  D )
4 ovmpt2d.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  C )
5 ovmpt2d.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
6 ovmpt2d.5 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
71, 2, 3, 4, 5, 6ovmpt2dx 5974 1  |-  ( ph  ->  ( A F B )  =  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860
This theorem is referenced by:  ovmpt2ga  5977  erov  6755  cnfcomlem  7402  swrdval  11450  splval  11466  ramval  13055  prdsval  13355  prdsplusgval  13372  prdsmulrval  13374  prdsdsval  13377  prdsvscaval  13378  imasval  13414  imasdsval  13418  divsval  13444  homfval  13595  comffval  13602  comfval  13603  oppccofval  13619  ismon  13636  sectfval  13654  invfval  13661  cofuval  13756  cofu2nd  13759  resfval  13766  isnat  13821  fucval  13832  fucco  13836  setchom  13912  setcco  13915  catchom  13931  catcco  13933  xpcval  13951  xpcid  13963  1stf2  13967  2ndf2  13970  prfval  13973  prf2fval  13975  evlfval  13991  evlf2  13992  evlf2val  13993  evlf1  13994  curfval  13997  uncfval  14008  diagval  14014  hof2fval  14029  hof2val  14030  yonedalem4a  14049  gsumvalx  14451  pj1fval  15003  psrval  16110  cnfval  16963  cnpfval  16964  fmval  17638  fmf  17640  fcfval  17728  tsmsval2  17812  blval  17948  ishtpy  18470  isphtpy  18479  limcfval  19222  q1pval  19539  r1pval  19542  ofoprabco  23232  ofcfval  23459  cndprobval  23636  orvcval  23658  iseupa  23881  vdgrfval  23889  relexp0  24025  relexpsucr  24026  iscst2  25175  sgplpte21  26132  sgplpte22  26138  isray2  26153  isray  26154  ismtyval  26524  rrnmval  26552  uvcfval  27233  mamufval  27443  mamuval  27444  mamufv  27445
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863
  Copyright terms: Public domain W3C validator