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Theorem ovmpt2dxf 5973
Description: Value of an operation given by a maps-to rule, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovmpt2dx.1  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) )
ovmpt2dx.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  A  /\  y  =  B ) )  ->  R  =  S )
ovmpt2dx.3  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  D  =  L )
ovmpt2dx.4  |-  ( ph  ->  A  e.  C )
ovmpt2dx.5  |-  ( ph  ->  B  e.  L )
ovmpt2dx.6  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
ovmpt2dxf.px  |-  F/ x ph
ovmpt2dxf.py  |-  F/ y
ph
ovmpt2dxf.ay  |-  F/_ y A
ovmpt2dxf.bx  |-  F/_ x B
ovmpt2dxf.sx  |-  F/_ x S
ovmpt2dxf.sy  |-  F/_ y S
Assertion
Ref Expression
ovmpt2dxf  |-  ( ph  ->  ( A F B )  =  S )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    y, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( y)    B( x)    C( x, y)    D( x, y)    R( x, y)    S( x, y)    F( x, y)    L( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem ovmpt2dxf
StepHypRef Expression
1 ovmpt2dx.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) )
21oveqd 5875 . 2  |-  ( ph  ->  ( A F B )  =  ( A ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) B ) )
3 ovmpt2dx.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  C )
4 ovmpt2dxf.px . . . . 5  |-  F/ x ph
5 ovmpt2dx.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  L )
6 ovmpt2dxf.py . . . . . . 7  |-  F/ y
ph
7 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R )  =  ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R )
87ovmpt4g 5970 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D  /\  R  e.  _V )  ->  ( x ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) y )  =  R )
98a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D  /\  R  e. 
_V )  ->  (
x ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) y )  =  R ) )
106, 9alrimi 1745 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D  /\  R  e.  _V )  ->  ( x ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) y )  =  R ) )
11 spsbc 3003 . . . . . 6  |-  ( B  e.  L  ->  ( A. y ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D  /\  R  e. 
_V )  ->  (
x ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) y )  =  R )  ->  [. B  /  y ]. ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D  /\  R  e. 
_V )  ->  (
x ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) y )  =  R ) ) )
125, 10, 11sylc 56 . . . . 5  |-  ( ph  ->  [. B  /  y ]. ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D  /\  R  e. 
_V )  ->  (
x ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) y )  =  R ) )
134, 12alrimi 1745 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x [. B  /  y ]. (
( x  e.  C  /\  y  e.  D  /\  R  e.  _V )  ->  ( x ( x  e.  C , 
y  e.  D  |->  R ) y )  =  R ) )
14 spsbc 3003 . . . 4  |-  ( A  e.  C  ->  ( A. x [. B  / 
y ]. ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D  /\  R  e. 
_V )  ->  (
x ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) y )  =  R )  ->  [. A  /  x ]. [. B  /  y ]. ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D  /\  R  e. 
_V )  ->  (
x ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) y )  =  R ) ) )
153, 13, 14sylc 56 . . 3  |-  ( ph  ->  [. A  /  x ]. [. B  /  y ]. ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D  /\  R  e. 
_V )  ->  (
x ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) y )  =  R ) )
165adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  B  e.  L )
17 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  A )  /\  y  =  B )  ->  x  =  A )
183ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  A )  /\  y  =  B )  ->  A  e.  C )
1917, 18eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  A )  /\  y  =  B )  ->  x  e.  C )
205ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  A )  /\  y  =  B )  ->  B  e.  L )
21 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  A )  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
22 ovmpt2dx.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  D  =  L )
2322adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  A )  /\  y  =  B )  ->  D  =  L )
2421, 23eleq12d 2351 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  A )  /\  y  =  B )  ->  (
y  e.  D  <->  B  e.  L ) )
2520, 24mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  A )  /\  y  =  B )  ->  y  e.  D )
26 ovmpt2dx.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  A  /\  y  =  B ) )  ->  R  =  S )
2726anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  A )  /\  y  =  B )  ->  R  =  S )
28 ovmpt2dx.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
29 elex 2796 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  X  ->  S  e.  _V )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
3130ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  A )  /\  y  =  B )  ->  S  e.  _V )
3227, 31eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  A )  /\  y  =  B )  ->  R  e.  _V )
33 biimt 325 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D  /\  R  e.  _V )  ->  ( ( x ( x  e.  C , 
y  e.  D  |->  R ) y )  =  R  <->  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D  /\  R  e. 
_V )  ->  (
x ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) y )  =  R ) ) )
3419, 25, 32, 33syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  A )  /\  y  =  B )  ->  (
( x ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) y )  =  R  <-> 
( ( x  e.  C  /\  y  e.  D  /\  R  e. 
_V )  ->  (
x ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) y )  =  R ) ) )
3517, 21oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  A )  /\  y  =  B )  ->  (
x ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) y )  =  ( A ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) B ) )
3635, 27eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  A )  /\  y  =  B )  ->  (
( x ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) y )  =  R  <-> 
( A ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) B )  =  S ) )
3734, 36bitr3d 246 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  A )  /\  y  =  B )  ->  (
( ( x  e.  C  /\  y  e.  D  /\  R  e. 
_V )  ->  (
x ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) y )  =  R )  <-> 
( A ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) B )  =  S ) )
38 ovmpt2dxf.ay . . . . . . 7  |-  F/_ y A
3938nfeq2 2430 . . . . . 6  |-  F/ y  x  =  A
406, 39nfan 1771 . . . . 5  |-  F/ y ( ph  /\  x  =  A )
41 nfmpt22 5915 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R )
42 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ y B
4338, 41, 42nfov 5881 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( A ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) B )
44 ovmpt2dxf.sy . . . . . . 7  |-  F/_ y S
4543, 44nfeq 2426 . . . . . 6  |-  F/ y ( A ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) B )  =  S
4645a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  F/ y ( A ( x  e.  C , 
y  e.  D  |->  R ) B )  =  S )
4716, 37, 40, 46sbciedf 3026 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  ( [. B  /  y ]. ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D  /\  R  e. 
_V )  ->  (
x ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) y )  =  R )  <-> 
( A ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) B )  =  S ) )
48 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ x A
49 nfmpt21 5914 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R )
50 ovmpt2dxf.bx . . . . . . 7  |-  F/_ x B
5148, 49, 50nfov 5881 . . . . . 6  |-  F/_ x
( A ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) B )
52 ovmpt2dxf.sx . . . . . 6  |-  F/_ x S
5351, 52nfeq 2426 . . . . 5  |-  F/ x
( A ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) B )  =  S
5453a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  F/ x ( A ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) B )  =  S )
553, 47, 4, 54sbciedf 3026 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [. A  /  x ]. [. B  / 
y ]. ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D  /\  R  e. 
_V )  ->  (
x ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) y )  =  R )  <-> 
( A ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) B )  =  S ) )
5615, 55mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( A ( x  e.  C ,  y  e.  D  |->  R ) B )  =  S )
572, 56eqtrd 2315 1  |-  ( ph  ->  ( A F B )  =  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860
This theorem is referenced by:  ovmpt2dx  5974  fmuldfeqlem1  27712  mpt2xopoveq  28085
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863
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