Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovmptss Structured version   Unicode version

Theorem ovmptss 6457
 Description: If all the values of the mapping are subsets of a class , then so is any evaluation of the mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ovmptss.1
Assertion
Ref Expression
ovmptss
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem ovmptss
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovmptss.1 . . . 4
2 mpt2mptsx 6443 . . . 4
31, 2eqtri 2462 . . 3
43fvmptss 5842 . 2
5 vex 2965 . . . . . . . 8
6 vex 2965 . . . . . . . 8
75, 6op1std 6386 . . . . . . 7
87csbeq1d 3273 . . . . . 6
95, 6op2ndd 6387 . . . . . . . 8
109csbeq1d 3273 . . . . . . 7
1110csbeq2dv 3662 . . . . . 6
128, 11eqtrd 2474 . . . . 5
1312sseq1d 3361 . . . 4
1413raliunxp 5043 . . 3
15 nfcv 2578 . . . . 5
16 nfcv 2578 . . . . . 6
17 nfcsb1v 3282 . . . . . 6
1816, 17nfxp 4933 . . . . 5
19 sneq 3849 . . . . . 6
20 csbeq1a 3275 . . . . . 6
2119, 20xpeq12d 4932 . . . . 5
2215, 18, 21cbviun 4152 . . . 4
2322raleqi 2914 . . 3
24 nfv 1630 . . . 4
25 nfcsb1v 3282 . . . . . 6
26 nfcv 2578 . . . . . 6
2725, 26nfss 3327 . . . . 5
2817, 27nfral 2765 . . . 4
29 nfv 1630 . . . . . 6
30 nfcsb1v 3282 . . . . . . 7
31 nfcv 2578 . . . . . . 7
3230, 31nfss 3327 . . . . . 6
33 csbeq1a 3275 . . . . . . 7
3433sseq1d 3361 . . . . . 6
3529, 32, 34cbvral 2934 . . . . 5
36 csbeq1a 3275 . . . . . . 7
3736sseq1d 3361 . . . . . 6
3820, 37raleqbidv 2922 . . . . 5
3935, 38syl5bb 250 . . . 4
4024, 28, 39cbvral 2934 . . 3
4114, 23, 403bitr4ri 271 . 2
42 df-ov 6113 . . 3
4342sseq1i 3358 . 2
444, 41, 433imtr4i 259 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1653  wral 2711  csb 3267   wss 3306  csn 3838  cop 3841  ciun 4117   cmpt 4291   cxp 4905  cfv 5483  (class class class)co 6110   cmpt2 6112  c1st 6376  c2nd 6377 This theorem is referenced by:  relmpt2opab  6458  relxpchom  14309  reldv  19788 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379
 Copyright terms: Public domain W3C validator