MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolcl Unicode version

Theorem ovolcl 19357
Description: The volume of a set is an extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolcl  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol
* `  A )  e.  RR* )

Proof of Theorem ovolcl
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2430 . . 3  |-  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  =  { y  e. 
RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }
21ovolval 19353 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol
* `  A )  =  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) )
3 ssrab2 3415 . . 3  |-  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } 
C_  RR*
4 infmxrcl 10879 . . 3  |-  ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } 
C_  RR*  ->  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
53, 4ax-mp 8 . 2  |-  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*
62, 5syl6eqel 2518 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol
* `  A )  e.  RR* )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2693   {crab 2696    i^i cin 3306    C_ wss 3307   U.cuni 4002    X. cxp 4862   `'ccnv 4863   ran crn 4865    o. ccom 4868   ` cfv 5440  (class class class)co 6067    ^m cmap 7004   supcsup 7431   RRcr 8973   1c1 8975    + caddc 8977   RR*cxr 9103    < clt 9104    <_ cle 9105    - cmin 9275   NNcn 9984   (,)cioo 10900    seq cseq 11306   abscabs 12022   vol
*covol 19342
This theorem is referenced by:  ovolf  19361  ovollecl  19362  ovolsslem  19363  ovolssnul  19366  ovollb2lem  19367  ovollb2  19368  ovolctb  19369  ovolun  19378  ovolunnul  19379  ovoliunlem2  19382  ovoliun  19384  ovoliunnul  19386  ovolscalem1  19392  ovolscalem2  19393  ovolicc1  19395  ovolicc  19402  ovolicopnf  19403  ovolre  19404  voliunlem3  19429  volsup  19433  uniioovol  19454  uniiccvol  19455  vitalilem4  19486  vitalilem5  19487  itg2gt0  19635  itg2cnlem2  19637  ftc1a  19904  mblfinlem2  26186  mblfinlem3  26187  ismblfin  26188  ovoliunnfl  26189  volsupnfl  26192
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-op 3810  df-uni 4003  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-riota 6535  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-sup 7432  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-ovol 19344
  Copyright terms: Public domain W3C validator