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Theorem ovolctb 19386
Description: The volume of a denumerable set is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ovolctb  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~~  NN )  ->  ( vol * `  A )  =  0 )

Proof of Theorem ovolctb
Dummy variables  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 7156 . 2  |-  ( A 
~~  NN  ->  NN  ~~  A )
2 bren 7117 . . . 4  |-  ( NN 
~~  A  <->  E. f 
f : NN -1-1-onto-> A )
3 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
4 f1of 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  f : NN
--> A )
54adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f : NN --> A )
65ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  e.  A )
73, 6sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  e.  RR )
87leidd 9593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  <_  ( f `  x
) )
9 df-br 4213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  x )  <_  ( f `  x )  <->  <. ( f `
 x ) ,  ( f `  x
) >.  e.  <_  )
108, 9sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  <_  )
11 opelxpi 4910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  RR  /\  ( f `  x
)  e.  RR )  ->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  e.  ( RR  X.  RR ) )
127, 7, 11syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
13 elin 3530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <-> 
( <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  e.  <_  /\  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) ) )
1410, 12, 13sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
15 df-ov 6084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  x )  _I  ( f `  x ) )  =  (  _I  `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
16 opex 4427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  _V
17 fvi 5783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.  e.  _V  ->  (  _I  ` 
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
)  =  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  _I 
`  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >.
1915, 18eqtri 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  _I  ( f `  x ) )  = 
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
2019mpteq2i 4292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `  x )  _I  ( f `  x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
2114, 20fmptd 5893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( ( f `  x
)  _I  ( f `
 x ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
22 nnex 10006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  e.  _V
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  NN  e.  _V )
247recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  e.  CC )
255feqmptd 5779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f  =  ( x  e.  NN  |->  ( f `  x ) ) )
2623, 24, 24, 25, 25offval2 6322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
f  o F  _I  f )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `  x
)  _I  ( f `
 x ) ) ) )
2726feq1d 5580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( f  o F  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `
 x )  _I  ( f `  x
) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
2821, 27mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
f  o F  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
29 f1ofo 5681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  f : NN -onto-> A )
3029adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f : NN -onto-> A )
31 forn 5656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  ran  f  =  A
)
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ran  f  =  A )
3332eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  ran  f  <->  y  e.  A ) )
34 f1ofn 5675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  f  Fn  NN )
3534adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f  Fn  NN )
36 fvelrnb 5774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  Fn  NN  ->  (
y  e.  ran  f  <->  E. x  e.  NN  (
f `  x )  =  y ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  ran  f  <->  E. x  e.  NN  (
f `  x )  =  y ) )
3833, 37bitr3d 247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  A  <->  E. x  e.  NN  ( f `  x )  =  y ) )
3926, 20syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
f  o F  _I  f )  =  ( x  e.  NN  |->  <.
( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) )
4039fveq1d 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( f  o F  _I  f ) `  x )  =  ( ( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) `  x )
)
41 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  NN  |->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )  =  ( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
4241fvmpt2 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  NN  /\  <.
( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.  e.  _V )  ->  (
( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) `  x )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
4316, 42mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) `  x )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
4440, 43sylan9eq 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( f  o F  _I  f ) `  x )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
4544fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( ( f  o F  _I  f
) `  x )
)  =  ( 1st `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. ) )
46 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
4746, 46op1st 6355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1st `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )  =  (
f `  x )
4845, 47syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( ( f  o F  _I  f
) `  x )
)  =  ( f `
 x ) )
4948, 8eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( ( f  o F  _I  f
) `  x )
)  <_  ( f `  x ) )
5044fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f
) `  x )
)  =  ( 2nd `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. ) )
5146, 46op2nd 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2nd `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )  =  (
f `  x )
5250, 51syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f
) `  x )
)  =  ( f `
 x ) )
538, 52breqtrrd 4238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  <_  ( 2nd `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) ) )
5449, 53jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( 1st `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) )  <_ 
( f `  x
)  /\  ( f `  x )  <_  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f
) `  x )
) ) )
55 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  (
( 1st `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) )  <_ 
( f `  x
)  <->  ( 1st `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y ) )
56 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  (
( f `  x
)  <_  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f ) `
 x ) )  <-> 
y  <_  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f ) `
 x ) ) ) )
5755, 56anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  (
( ( 1st `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) )  <_ 
( f `  x
)  /\  ( f `  x )  <_  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f
) `  x )
) )  <->  ( ( 1st `  ( ( f  o F  _I  f
) `  x )
)  <_  y  /\  y  <_  ( 2nd `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) ) ) ) )
5854, 57syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( f `  x
)  =  y  -> 
( ( 1st `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
5958reximdva 2818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( E. x  e.  NN  ( f `  x
)  =  y  ->  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
6038, 59sylbid 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  A  ->  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
6160ralrimiv 2788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  A. y  e.  A  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  ( ( f  o F  _I  f ) `
 x ) )  <_  y  /\  y  <_  ( 2nd `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) ) ) )
62 ovolficc 19365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
f  o F  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  ->  ( A  C_  U.
ran  ( [,]  o.  ( f  o F  _I  f ) )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
6328, 62syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( A  C_  U. ran  ( [,]  o.  ( f  o F  _I  f ) )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
6461, 63mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  A  C_ 
U. ran  ( [,]  o.  ( f  o F  _I  f ) ) )
65 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  o F  _I  f
) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( f  o F  _I  f ) ) )
6665ovollb2 19385 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  o F  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  A  C_ 
U. ran  ( [,]  o.  ( f  o F  _I  f ) ) )  ->  ( vol * `
 A )  <_  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  o F  _I  f
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
6728, 64, 66syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol * `  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  o F  _I  f ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
68 opelxpi 4910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  CC  /\  ( f `  x
)  e.  CC )  ->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  e.  ( CC  X.  CC ) )
6924, 24, 68syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
70 absf 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  abs : CC
--> RR
71 subf 9307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
72 fco 5600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC )  -> 
( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR )
7370, 71, 72mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs 
o.  -  ) :
( CC  X.  CC )
--> RR
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC )
--> RR )
7574feqmptd 5779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( abs  o.  -  )  =  ( y  e.  ( CC  X.  CC ) 
|->  ( ( abs  o.  -  ) `  y
) ) )
76 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  ->  ( ( abs 
o.  -  ) `  y )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. ( f `
 x ) ,  ( f `  x
) >. ) )
77 df-ov 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  x ) ( abs  o.  -  ) ( f `  x ) )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
7876, 77syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  ->  ( ( abs 
o.  -  ) `  y )  =  ( ( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) ) )
7969, 39, 75, 78fmptco 5901 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( f  o F  _I  f ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `
 x ) ( abs  o.  -  )
( f `  x
) ) ) )
80 cnmet 18806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( Met `  CC )
81 met0 18373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( Met `  CC )  /\  (
f `  x )  e.  CC )  ->  (
( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) )  =  0 )
8280, 24, 81sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) )  =  0 )
8382mpteq2dva 4295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( ( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  0 ) )
8479, 83eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( f  o F  _I  f ) )  =  ( x  e.  NN  |->  0 ) )
85 fconstmpt 4921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  NN  |->  0 )
8684, 85syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( f  o F  _I  f ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
8786seqeq3d 11331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  o F  _I  f ) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( NN 
X.  { 0 } ) ) )
88 1z 10311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
89 nnuz 10521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9089ser0f 11376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
9188, 90ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq  1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( NN  X.  {
0 } )
9287, 91syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  o F  _I  f ) ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
9392rneqd 5097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  o F  _I  f ) ) )  =  ran  ( NN 
X.  { 0 } ) )
94 1nn 10011 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
95 ne0i 3634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
96 rnxp 5299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  ran  ( NN 
X.  { 0 } )  =  { 0 } )
9794, 95, 96mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( NN  X.  { 0 } )  =  { 0 }
9893, 97syl6eq 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  o F  _I  f ) ) )  =  { 0 } )
9998supeq1d 7451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  o F  _I  f ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  ) )
100 xrltso 10734 . . . . . . . . . 10  |-  <  Or  RR*
101 0xr 9131 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
102 supsn 7474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
103100, 101, 102mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
10499, 103syl6eq 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  o F  _I  f ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0 )
10567, 104breqtrd 4236 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol * `  A )  <_  0 )
106 ovolge0 19377 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol * `  A ) )
107106adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  0  <_  ( vol * `  A ) )
108 ovolcl 19374 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol
* `  A )  e.  RR* )
109108adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol * `  A )  e.  RR* )
110 xrletri3 10745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( vol * `  A )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( ( vol * `  A )  =  0  <-> 
( ( vol * `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( vol
* `  A )
) ) )
111109, 101, 110sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( vol * `  A )  =  0  <-> 
( ( vol * `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( vol
* `  A )
) ) )
112105, 107, 111mpbir2and 889 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
113112ex 424 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  ( vol * `
 A )  =  0 ) )
114113exlimdv 1646 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. f  f : NN -1-1-onto-> A  ->  ( vol * `  A )  =  0 ) )
1152, 114syl5bi 209 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( NN 
~~  A  ->  ( vol * `  A )  =  0 ) )
116115imp 419 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  NN  ~~  A )  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
1171, 116sylan2 461 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~~  NN )  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   <.cop 3817   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    _I cid 4493    Or wor 4502    X. cxp 4876   ran crn 4879    o. ccom 4882    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -onto->wfo 5452   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303   1stc1st 6347   2ndc2nd 6348    ~~ cen 7106   supcsup 7445   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   NNcn 10000   ZZcz 10282   [,]cicc 10919    seq cseq 11323   abscabs 12039   Metcme 16687   vol *covol 19359
This theorem is referenced by:  ovolq  19387  ovolctb2  19388  ovoliunnfl  26248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xadd 10711  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-xmet 16695  df-met 16696  df-ovol 19361
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