MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolctb Unicode version

Theorem ovolctb 18865
Description: The volume of a denumerable set is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ovolctb  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~~  NN )  ->  ( vol * `  A )  =  0 )

Proof of Theorem ovolctb
Dummy variables  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 6926 . 2  |-  ( A 
~~  NN  ->  NN  ~~  A )
2 bren 6887 . . . 4  |-  ( NN 
~~  A  <->  E. f 
f : NN -1-1-onto-> A )
3 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
4 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  f : NN
--> A )
54adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f : NN --> A )
6 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : NN --> A  /\  x  e.  NN )  ->  ( f `  x
)  e.  A )
75, 6sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  e.  A )
83, 7sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  e.  RR )
98leidd 9355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  <_  ( f `  x
) )
10 df-br 4040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  x )  <_  ( f `  x )  <->  <. ( f `
 x ) ,  ( f `  x
) >.  e.  <_  )
119, 10sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  <_  )
12 opelxpi 4737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  RR  /\  ( f `  x
)  e.  RR )  ->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  e.  ( RR  X.  RR ) )
138, 8, 12syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
14 elin 3371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <-> 
( <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  e.  <_  /\  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) ) )
1511, 13, 14sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
16 df-ov 5877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  x )  _I  ( f `  x ) )  =  (  _I  `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
17 opex 4253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  _V
18 fvi 5595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.  e.  _V  ->  (  _I  ` 
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
)  =  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  _I 
`  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >.
2016, 19eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  _I  ( f `  x ) )  = 
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
2120mpteq2i 4119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `  x )  _I  ( f `  x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
2215, 21fmptd 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( ( f `  x
)  _I  ( f `
 x ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
23 nnex 9768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  e.  _V
2423a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  NN  e.  _V )
258recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  e.  CC )
265feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f  =  ( x  e.  NN  |->  ( f `  x ) ) )
2724, 25, 25, 26, 26offval2 6111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
f  o F  _I  f )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `  x
)  _I  ( f `
 x ) ) ) )
2827feq1d 5395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( f  o F  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `
 x )  _I  ( f `  x
) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
2922, 28mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
f  o F  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
30 f1ofo 5495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  f : NN -onto-> A )
3130adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f : NN -onto-> A )
32 forn 5470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  ran  f  =  A
)
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ran  f  =  A )
3433eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  ran  f  <->  y  e.  A ) )
35 f1ofn 5489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  f  Fn  NN )
3635adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  f  Fn  NN )
37 fvelrnb 5586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  Fn  NN  ->  (
y  e.  ran  f  <->  E. x  e.  NN  (
f `  x )  =  y ) )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  ran  f  <->  E. x  e.  NN  (
f `  x )  =  y ) )
3934, 38bitr3d 246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  A  <->  E. x  e.  NN  ( f `  x )  =  y ) )
4027, 21syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
f  o F  _I  f )  =  ( x  e.  NN  |->  <.
( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) )
4140fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( f  o F  _I  f ) `  x )  =  ( ( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) `  x )
)
42 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  NN  |->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )  =  ( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
4342fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  NN  /\  <.
( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.  e.  _V )  ->  (
( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) `  x )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
4417, 43mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  <. ( f `  x
) ,  ( f `
 x ) >.
) `  x )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )
4541, 44sylan9eq 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( f  o F  _I  f ) `  x )  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
4645fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( ( f  o F  _I  f
) `  x )
)  =  ( 1st `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. ) )
47 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
4847, 47op1st 6144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1st `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )  =  (
f `  x )
4946, 48syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( ( f  o F  _I  f
) `  x )
)  =  ( f `
 x ) )
5049, 9eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( ( f  o F  _I  f
) `  x )
)  <_  ( f `  x ) )
5145fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f
) `  x )
)  =  ( 2nd `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. ) )
5247, 47op2nd 6145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2nd `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>. )  =  (
f `  x )
5351, 52syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f
) `  x )
)  =  ( f `
 x ) )
549, 53breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
f `  x )  <_  ( 2nd `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) ) )
5550, 54jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( 1st `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) )  <_ 
( f `  x
)  /\  ( f `  x )  <_  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f
) `  x )
) ) )
56 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  (
( 1st `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) )  <_ 
( f `  x
)  <->  ( 1st `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y ) )
57 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  (
( f `  x
)  <_  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f ) `
 x ) )  <-> 
y  <_  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f ) `
 x ) ) ) )
5856, 57anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  (
( ( 1st `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) )  <_ 
( f `  x
)  /\  ( f `  x )  <_  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f
) `  x )
) )  <->  ( ( 1st `  ( ( f  o F  _I  f
) `  x )
)  <_  y  /\  y  <_  ( 2nd `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) ) ) ) )
5955, 58syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( f `  x
)  =  y  -> 
( ( 1st `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
6059reximdva 2668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( E. x  e.  NN  ( f `  x
)  =  y  ->  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
6139, 60sylbid 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
y  e.  A  ->  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
6261ralrimiv 2638 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  A. y  e.  A  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  ( ( f  o F  _I  f ) `
 x ) )  <_  y  /\  y  <_  ( 2nd `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) ) ) )
63 ovolficc 18844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
f  o F  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  ->  ( A  C_  U.
ran  ( [,]  o.  ( f  o F  _I  f ) )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
6429, 63syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( A  C_  U. ran  ( [,]  o.  ( f  o F  _I  f ) )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  NN  ( ( 1st `  (
( f  o F  _I  f ) `  x ) )  <_ 
y  /\  y  <_  ( 2nd `  ( ( f  o F  _I  f ) `  x
) ) ) ) )
6562, 64mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  A  C_ 
U. ran  ( [,]  o.  ( f  o F  _I  f ) ) )
66 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  o F  _I  f
) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( f  o F  _I  f ) ) )
6766ovollb2 18864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  o F  _I  f ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  A  C_ 
U. ran  ( [,]  o.  ( f  o F  _I  f ) ) )  ->  ( vol * `
 A )  <_  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  o F  _I  f
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
6829, 65, 67syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol * `  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  o F  _I  f ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
69 opelxpi 4737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  CC  /\  ( f `  x
)  e.  CC )  ->  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  e.  ( CC  X.  CC ) )
7025, 25, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  <. (
f `  x ) ,  ( f `  x ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
71 absf 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  abs : CC
--> RR
72 subf 9069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
73 fco 5414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC )  -> 
( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR )
7471, 72, 73mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs 
o.  -  ) :
( CC  X.  CC )
--> RR
7574a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC )
--> RR )
7675feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( abs  o.  -  )  =  ( y  e.  ( CC  X.  CC ) 
|->  ( ( abs  o.  -  ) `  y
) ) )
77 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  ->  ( ( abs 
o.  -  ) `  y )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. ( f `
 x ) ,  ( f `  x
) >. ) )
78 df-ov 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  x ) ( abs  o.  -  ) ( f `  x ) )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x ) >. )
7977, 78syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. ( f `  x ) ,  ( f `  x )
>.  ->  ( ( abs 
o.  -  ) `  y )  =  ( ( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) ) )
8070, 40, 76, 79fmptco 5707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( f  o F  _I  f ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( f `
 x ) ( abs  o.  -  )
( f `  x
) ) ) )
81 cnmet 18297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( Met `  CC )
82 met0 17924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( Met `  CC )  /\  (
f `  x )  e.  CC )  ->  (
( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) )  =  0 )
8381, 25, 82sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) )  =  0 )
8483mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( ( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  0 ) )
8580, 84eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( f  o F  _I  f ) )  =  ( x  e.  NN  |->  0 ) )
86 fconstmpt 4748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  NN  |->  0 )
8785, 86syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( f  o F  _I  f ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
8887seqeq3d 11070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  o F  _I  f ) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( NN 
X.  { 0 } ) ) )
89 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
90 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9190ser0f 11115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
9289, 91ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq  1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( NN  X.  {
0 } )
9388, 92syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  o F  _I  f ) ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
9493rneqd 4922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  o F  _I  f ) ) )  =  ran  ( NN 
X.  { 0 } ) )
95 1nn 9773 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
96 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
97 rnxp 5122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  ran  ( NN 
X.  { 0 } )  =  { 0 } )
9895, 96, 97mp2b 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( NN  X.  { 0 } )  =  { 0 }
9994, 98syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
f  o F  _I  f ) ) )  =  { 0 } )
10099supeq1d 7215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  o F  _I  f ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  ) )
101 xrltso 10491 . . . . . . . . . 10  |-  <  Or  RR*
102 0xr 8894 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
103 supsn 7236 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
104101, 102, 103mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
105100, 104syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( f  o F  _I  f ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0 )
10668, 105breqtrd 4063 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol * `  A )  <_  0 )
107 ovolge0 18856 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol * `  A ) )
108107adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  0  <_  ( vol * `  A ) )
109 ovolcl 18853 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol
* `  A )  e.  RR* )
110109adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol * `  A )  e.  RR* )
111 xrletri3 10502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( vol * `  A )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( ( vol * `  A )  =  0  <-> 
( ( vol * `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( vol
* `  A )
) ) )
112110, 102, 111sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  (
( vol * `  A )  =  0  <-> 
( ( vol * `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( vol
* `  A )
) ) )
113106, 108, 112mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  f : NN -1-1-onto-> A )  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
114113ex 423 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  ( vol * `
 A )  =  0 ) )
115114exlimdv 1626 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. f  f : NN -1-1-onto-> A  ->  ( vol * `  A )  =  0 ) )
1162, 115syl5bi 208 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( NN 
~~  A  ->  ( vol * `  A )  =  0 ) )
117116imp 418 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  NN  ~~  A )  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
1181, 117sylan2 460 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~~  NN )  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   <.cop 3656   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    _I cid 4320    Or wor 4329    X. cxp 4703   ran crn 4706    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137    ~~ cen 6876   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   ZZcz 10040   [,]cicc 10675    seq cseq 11062   abscabs 11735   Metcme 16386   vol *covol 18838
This theorem is referenced by:  ovolq  18866  ovolctb2  18867  ovoliunnfl  25001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840
  Copyright terms: Public domain W3C validator