MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolctb2 Structured version   Unicode version

Theorem ovolctb2 19390
Description: The volume of a countable set is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolctb2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( vol
* `  A )  =  0 )

Proof of Theorem ovolctb2
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  A  C_  RR )
2 nnssre 10006 . . . 4  |-  NN  C_  RR
31, 2jctir 526 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A 
C_  RR  /\  NN  C_  RR ) )
4 unss 3523 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  NN  C_  RR )  <->  ( A  u.  NN )  C_  RR )
53, 4sylib 190 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  C_  RR )
6 nnenom 11321 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
7 domentr 7168 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  NN  ~~  om )  ->  A  ~<_  om )
86, 7mpan2 654 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  ~<_  om )
98adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  A  ~<_  om )
10 endom 7136 . . . . . . 7  |-  ( NN 
~~  om  ->  NN  ~<_  om )
116, 10ax-mp 8 . . . . . 6  |-  NN  ~<_  om
12 unctb 8087 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  NN  ~<_  om )  ->  ( A  u.  NN )  ~<_  om )
139, 11, 12sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  ~<_  om )
146ensymi 7159 . . . . 5  |-  om  ~~  NN
15 domentr 7168 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  NN )  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  ( A  u.  NN )  ~<_  NN )
1613, 14, 15sylancl 645 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  ~<_  NN )
17 reex 9083 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
1817ssex 4349 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  NN ) 
C_  RR  ->  ( A  u.  NN )  e. 
_V )
195, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  e. 
_V )
20 ssun2 3513 . . . . 5  |-  NN  C_  ( A  u.  NN )
21 ssdomg 7155 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  NN )  e.  _V  ->  ( NN  C_  ( A  u.  NN )  ->  NN  ~<_  ( A  u.  NN ) ) )
2219, 20, 21ee10 1386 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  NN  ~<_  ( A  u.  NN ) )
23 sbth 7229 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  NN )  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  ( A  u.  NN ) )  ->  ( A  u.  NN )  ~~  NN )
2416, 22, 23syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  ~~  NN )
25 ovolctb 19388 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  NN )  C_  RR  /\  ( A  u.  NN )  ~~  NN )  ->  ( vol * `  ( A  u.  NN ) )  =  0 )
265, 24, 25syl2anc 644 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( vol
* `  ( A  u.  NN ) )  =  0 )
27 ssun1 3512 . . 3  |-  A  C_  ( A  u.  NN )
28 ovolssnul 19385 . . 3  |-  ( ( A  C_  ( A  u.  NN )  /\  ( A  u.  NN )  C_  RR  /\  ( vol
* `  ( A  u.  NN ) )  =  0 )  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
2927, 28mp3an1 1267 . 2  |-  ( ( ( A  u.  NN )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( A  u.  NN ) )  =  0 )  -> 
( vol * `  A )  =  0 )
305, 26, 29syl2anc 644 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( vol
* `  A )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322   class class class wbr 4214   omcom 4847   ` cfv 5456    ~~ cen 7108    ~<_ cdom 7109   RRcr 8991   0cc0 8992   NNcn 10002   vol *covol 19361
This theorem is referenced by:  ovol0  19391  ovolfi  19392  uniiccdif  19472  voliunnfl  26252  volsupnfl  26253
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xadd 10713  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-xmet 16697  df-met 16698  df-ovol 19363
  Copyright terms: Public domain W3C validator