MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolctb2 Unicode version

Theorem ovolctb2 18867
Description: The volume of a countable set is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolctb2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( vol
* `  A )  =  0 )

Proof of Theorem ovolctb2
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  A  C_  RR )
2 nnssre 9766 . . . 4  |-  NN  C_  RR
31, 2jctir 524 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A 
C_  RR  /\  NN  C_  RR ) )
4 unss 3362 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  NN  C_  RR )  <->  ( A  u.  NN )  C_  RR )
53, 4sylib 188 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  C_  RR )
6 nnenom 11058 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
7 domentr 6936 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  NN  ~~  om )  ->  A  ~<_  om )
86, 7mpan2 652 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  ~<_  om )
98adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  A  ~<_  om )
10 endom 6904 . . . . . . 7  |-  ( NN 
~~  om  ->  NN  ~<_  om )
116, 10ax-mp 8 . . . . . 6  |-  NN  ~<_  om
12 unctb 7847 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  NN  ~<_  om )  ->  ( A  u.  NN )  ~<_  om )
139, 11, 12sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  ~<_  om )
146ensymi 6927 . . . . 5  |-  om  ~~  NN
15 domentr 6936 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  NN )  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  ( A  u.  NN )  ~<_  NN )
1613, 14, 15sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  ~<_  NN )
17 reex 8844 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
1817ssex 4174 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  NN ) 
C_  RR  ->  ( A  u.  NN )  e. 
_V )
195, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  e. 
_V )
20 ssun2 3352 . . . . 5  |-  NN  C_  ( A  u.  NN )
21 ssdomg 6923 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  NN )  e.  _V  ->  ( NN  C_  ( A  u.  NN )  ->  NN  ~<_  ( A  u.  NN ) ) )
2219, 20, 21ee10 1366 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  NN  ~<_  ( A  u.  NN ) )
23 sbth 6997 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  NN )  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  ( A  u.  NN ) )  ->  ( A  u.  NN )  ~~  NN )
2416, 22, 23syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( A  u.  NN )  ~~  NN )
25 ovolctb 18865 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  NN )  C_  RR  /\  ( A  u.  NN )  ~~  NN )  ->  ( vol * `  ( A  u.  NN ) )  =  0 )
265, 24, 25syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( vol
* `  ( A  u.  NN ) )  =  0 )
27 ssun1 3351 . . 3  |-  A  C_  ( A  u.  NN )
28 ovolssnul 18862 . . 3  |-  ( ( A  C_  ( A  u.  NN )  /\  ( A  u.  NN )  C_  RR  /\  ( vol
* `  ( A  u.  NN ) )  =  0 )  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
2927, 28mp3an1 1264 . 2  |-  ( ( ( A  u.  NN )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( A  u.  NN ) )  =  0 )  -> 
( vol * `  A )  =  0 )
305, 26, 29syl2anc 642 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( vol
* `  A )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   omcom 4672   ` cfv 5271    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877   RRcr 8752   0cc0 8753   NNcn 9762   vol *covol 18838
This theorem is referenced by:  ovol0  18868  ovolfi  18869  uniiccdif  18949
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840
  Copyright terms: Public domain W3C validator