MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolf Unicode version

Theorem ovolf 18843
Description: The domain and range of the outer volume function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolf  |-  vol * : ~P RR --> ( 0 [,]  +oo )

Proof of Theorem ovolf
Dummy variables  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 10477 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
2 cnvso 5216 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
31, 2mpbi 199 . . . 4  |-  `'  <  Or 
RR*
43supex 7216 . . 3  |-  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( x  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  _V
5 df-ovol 18826 . . 3  |-  vol *  =  ( x  e. 
~P RR  |->  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( x  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) )
64, 5fnmpti 5374 . 2  |-  vol *  Fn  ~P RR
7 elpwi 3635 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P RR  ->  x 
C_  RR )
8 ovolcl 18839 . . . . 5  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( vol
* `  x )  e.  RR* )
9 ovolge0 18842 . . . . 5  |-  ( x 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol * `  x ) )
10 pnfge 10471 . . . . . 6  |-  ( ( vol * `  x
)  e.  RR*  ->  ( vol * `  x
)  <_  +oo )
118, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( vol
* `  x )  <_  +oo )
12 0xr 8880 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
13 pnfxr 10457 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
14 elicc1 10702 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
( vol * `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( ( vol * `  x )  e.  RR*  /\  0  <_  ( vol * `
 x )  /\  ( vol * `  x
)  <_  +oo ) ) )
1512, 13, 14mp2an 653 . . . . 5  |-  ( ( vol * `  x
)  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( ( vol * `  x )  e.  RR*  /\  0  <_  ( vol * `  x )  /\  ( vol * `  x )  <_  +oo ) )
168, 9, 11, 15syl3anbrc 1136 . . . 4  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( vol
* `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
177, 16syl 15 . . 3  |-  ( x  e.  ~P RR  ->  ( vol * `  x
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1817rgen 2610 . 2  |-  A. x  e.  ~P  RR ( vol
* `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo )
19 ffnfv 5687 . 2  |-  ( vol
* : ~P RR --> ( 0 [,]  +oo ) 
<->  ( vol *  Fn  ~P RR  /\  A. x  e.  ~P  RR ( vol
* `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
206, 18, 19mpbir2an 886 1  |-  vol * : ~P RR --> ( 0 [,]  +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546   {crab 2549    i^i cin 3153    C_ wss 3154   ~Pcpw 3627   U.cuni 3829   class class class wbr 4025    Or wor 4315    X. cxp 4689   `'ccnv 4690   ran crn 4692    o. ccom 4695    Fn wfn 5252   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860    ^m cmap 6774   supcsup 7195   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    +oocpnf 8866   RR*cxr 8868    < clt 8869    <_ cle 8870    - cmin 9039   NNcn 9748   (,)cioo 10658   [,]cicc 10661    seq cseq 11048   abscabs 11721   vol
*covol 18824
This theorem is referenced by:  ismbl  18887  volf  18890  ovolfs2  18928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-ovol 18826
  Copyright terms: Public domain W3C validator