MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolf Unicode version

Theorem ovolf 19331
Description: The domain and range of the outer volume function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolf  |-  vol * : ~P RR --> ( 0 [,]  +oo )

Proof of Theorem ovolf
Dummy variables  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 10690 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
2 cnvso 5370 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
31, 2mpbi 200 . . . 4  |-  `'  <  Or 
RR*
43supex 7424 . . 3  |-  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( x  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  _V
5 df-ovol 19314 . . 3  |-  vol *  =  ( x  e. 
~P RR  |->  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( x  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) )
64, 5fnmpti 5532 . 2  |-  vol *  Fn  ~P RR
7 elpwi 3767 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P RR  ->  x 
C_  RR )
8 ovolcl 19327 . . . . 5  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( vol
* `  x )  e.  RR* )
9 ovolge0 19330 . . . . 5  |-  ( x 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol * `  x ) )
10 pnfge 10683 . . . . . 6  |-  ( ( vol * `  x
)  e.  RR*  ->  ( vol * `  x
)  <_  +oo )
118, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( vol
* `  x )  <_  +oo )
12 0xr 9087 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
13 pnfxr 10669 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
14 elicc1 10916 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
( vol * `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( ( vol * `  x )  e.  RR*  /\  0  <_  ( vol * `
 x )  /\  ( vol * `  x
)  <_  +oo ) ) )
1512, 13, 14mp2an 654 . . . . 5  |-  ( ( vol * `  x
)  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( ( vol * `  x )  e.  RR*  /\  0  <_  ( vol * `  x )  /\  ( vol * `  x )  <_  +oo ) )
168, 9, 11, 15syl3anbrc 1138 . . . 4  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( vol
* `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
177, 16syl 16 . . 3  |-  ( x  e.  ~P RR  ->  ( vol * `  x
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1817rgen 2731 . 2  |-  A. x  e.  ~P  RR ( vol
* `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo )
19 ffnfv 5853 . 2  |-  ( vol
* : ~P RR --> ( 0 [,]  +oo ) 
<->  ( vol *  Fn  ~P RR  /\  A. x  e.  ~P  RR ( vol
* `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
206, 18, 19mpbir2an 887 1  |-  vol * : ~P RR --> ( 0 [,]  +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    Or wor 4462    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   supcsup 7403   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875    seq cseq 11278   abscabs 11994   vol
*covol 19312
This theorem is referenced by:  ismbl  19375  volf  19378  ovolfs2  19416
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-ovol 19314
  Copyright terms: Public domain W3C validator