MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolf Unicode version

Theorem ovolf 19056
Description: The domain and range of the outer volume function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolf  |-  vol * : ~P RR --> ( 0 [,]  +oo )

Proof of Theorem ovolf
Dummy variables  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 10627 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
2 cnvso 5317 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
31, 2mpbi 199 . . . 4  |-  `'  <  Or 
RR*
43supex 7361 . . 3  |-  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( x  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  _V
5 df-ovol 19039 . . 3  |-  vol *  =  ( x  e. 
~P RR  |->  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( x  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) )
64, 5fnmpti 5477 . 2  |-  vol *  Fn  ~P RR
7 elpwi 3722 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P RR  ->  x 
C_  RR )
8 ovolcl 19052 . . . . 5  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( vol
* `  x )  e.  RR* )
9 ovolge0 19055 . . . . 5  |-  ( x 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol * `  x ) )
10 pnfge 10620 . . . . . 6  |-  ( ( vol * `  x
)  e.  RR*  ->  ( vol * `  x
)  <_  +oo )
118, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( vol
* `  x )  <_  +oo )
12 0xr 9025 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
13 pnfxr 10606 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
14 elicc1 10853 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
( vol * `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( ( vol * `  x )  e.  RR*  /\  0  <_  ( vol * `
 x )  /\  ( vol * `  x
)  <_  +oo ) ) )
1512, 13, 14mp2an 653 . . . . 5  |-  ( ( vol * `  x
)  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( ( vol * `  x )  e.  RR*  /\  0  <_  ( vol * `  x )  /\  ( vol * `  x )  <_  +oo ) )
168, 9, 11, 15syl3anbrc 1137 . . . 4  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( vol
* `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
177, 16syl 15 . . 3  |-  ( x  e.  ~P RR  ->  ( vol * `  x
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1817rgen 2693 . 2  |-  A. x  e.  ~P  RR ( vol
* `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo )
19 ffnfv 5796 . 2  |-  ( vol
* : ~P RR --> ( 0 [,]  +oo ) 
<->  ( vol *  Fn  ~P RR  /\  A. x  e.  ~P  RR ( vol
* `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
206, 18, 19mpbir2an 886 1  |-  vol * : ~P RR --> ( 0 [,]  +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629   {crab 2632    i^i cin 3237    C_ wss 3238   ~Pcpw 3714   U.cuni 3929   class class class wbr 4125    Or wor 4416    X. cxp 4790   `'ccnv 4791   ran crn 4793    o. ccom 4796    Fn wfn 5353   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    ^m cmap 6915   supcsup 7340   RRcr 8883   0cc0 8884   1c1 8885    + caddc 8887    +oocpnf 9011   RR*cxr 9013    < clt 9014    <_ cle 9015    - cmin 9184   NNcn 9893   (,)cioo 10809   [,]cicc 10812    seq cseq 11210   abscabs 11926   vol
*covol 19037
This theorem is referenced by:  ismbl  19100  volf  19103  ovolfs2  19141
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-rp 10506  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-seq 11211  df-exp 11270  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-ovol 19039
  Copyright terms: Public domain W3C validator