MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolf Structured version   Unicode version

Theorem ovolf 19409
Description: The domain and range of the outer volume function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolf  |-  vol * : ~P RR --> ( 0 [,]  +oo )

Proof of Theorem ovolf
Dummy variables  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 10765 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
2 cnvso 5440 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
31, 2mpbi 201 . . . 4  |-  `'  <  Or 
RR*
43supex 7497 . . 3  |-  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( x  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  _V
5 df-ovol 19392 . . 3  |-  vol *  =  ( x  e. 
~P RR  |->  sup ( { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( x  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) )
64, 5fnmpti 5602 . 2  |-  vol *  Fn  ~P RR
7 elpwi 3831 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P RR  ->  x 
C_  RR )
8 ovolcl 19405 . . . . 5  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( vol
* `  x )  e.  RR* )
9 ovolge0 19408 . . . . 5  |-  ( x 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol * `  x ) )
10 pnfge 10758 . . . . . 6  |-  ( ( vol * `  x
)  e.  RR*  ->  ( vol * `  x
)  <_  +oo )
118, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( vol
* `  x )  <_  +oo )
12 0xr 9162 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
13 pnfxr 10744 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
14 elicc1 10991 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
( vol * `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( ( vol * `  x )  e.  RR*  /\  0  <_  ( vol * `
 x )  /\  ( vol * `  x
)  <_  +oo ) ) )
1512, 13, 14mp2an 655 . . . . 5  |-  ( ( vol * `  x
)  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( ( vol * `  x )  e.  RR*  /\  0  <_  ( vol * `  x )  /\  ( vol * `  x )  <_  +oo ) )
168, 9, 11, 15syl3anbrc 1139 . . . 4  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( vol
* `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
177, 16syl 16 . . 3  |-  ( x  e.  ~P RR  ->  ( vol * `  x
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1817rgen 2777 . 2  |-  A. x  e.  ~P  RR ( vol
* `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo )
19 ffnfv 5923 . 2  |-  ( vol
* : ~P RR --> ( 0 [,]  +oo ) 
<->  ( vol *  Fn  ~P RR  /\  A. x  e.  ~P  RR ( vol
* `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
206, 18, 19mpbir2an 888 1  |-  vol * : ~P RR --> ( 0 [,]  +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   E.wrex 2712   {crab 2715    i^i cin 3305    C_ wss 3306   ~Pcpw 3823   U.cuni 4039   class class class wbr 4237    Or wor 4531    X. cxp 4905   `'ccnv 4906   ran crn 4908    o. ccom 4911    Fn wfn 5478   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    ^m cmap 7047   supcsup 7474   RRcr 9020   0cc0 9021   1c1 9022    + caddc 9024    +oocpnf 9148   RR*cxr 9150    < clt 9151    <_ cle 9152    - cmin 9322   NNcn 10031   (,)cioo 10947   [,]cicc 10950    seq cseq 11354   abscabs 12070   vol
*covol 19390
This theorem is referenced by:  ismbl  19453  volf  19456  ovolfs2  19494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-seq 11355  df-exp 11414  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-ovol 19392
  Copyright terms: Public domain W3C validator