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Theorem ovolfiniun 18876
Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive. Finite sum version. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolfiniun  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem ovolfiniun
Dummy variables  m  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2749 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  (/)  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) ) )
2 iuneq1 3934 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  (/)  B )
32fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( vol
* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol * `  U_ k  e.  (/)  B ) )
4 sumeq1 12178 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B
) )
53, 4breq12d 4052 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( vol * `  B
)  <->  ( vol * `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B ) ) )
61, 5imbi12d 311 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B ) )  <-> 
( A. k  e.  (/)  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B ) ) ) )
7 raleq 2749 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) ) )
8 iuneq1 3934 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  y  B )
98fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol * `  U_ k  e.  y  B ) )
10 sumeq1 12178 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B )  = 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) )
119, 10breq12d 4052 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B )  <->  ( vol * `
 U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )
127, 11imbi12d 311 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B ) )  <-> 
( A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) ) )
13 raleq 2749 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) ) )
14 iuneq1 3934 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1514fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B ) )
16 sumeq1 12178 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B
)  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  B
) )
1715, 16breq12d 4052 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( vol
* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B
)  <->  ( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol
* `  B )
) )
1813, 17imbi12d 311 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B ) )  <->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol
* `  B )
) ) )
19 raleq 2749 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR ) ) )
20 iuneq1 3934 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  A  B
)
2120fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol * `  U_ k  e.  A  B ) )
22 sumeq1 12178 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol * `  B
) )
2321, 22breq12d 4052 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B )  <->  ( vol * `
 U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) ) )
2419, 23imbi12d 311 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B ) )  <-> 
( A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) ) ) )
25 0le0 9843 . . . . 5  |-  0  <_  0
26 0iun 3975 . . . . . . 7  |-  U_ k  e.  (/)  B  =  (/)
2726fveq2i 5544 . . . . . 6  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  (/)  B )  =  ( vol * `  (/) )
28 ovol0 18868 . . . . . 6  |-  ( vol
* `  (/) )  =  0
2927, 28eqtri 2316 . . . . 5  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  (/)  B )  =  0
30 sum0 12210 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B )  =  0
3125, 29, 303brtr4i 4067 . . . 4  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B )
3231a1i 10 . . 3  |-  ( A. k  e.  (/)  ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B
) )
33 ssun1 3351 . . . . . 6  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
34 ssralv 3250 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) ) )
3533, 34ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
3635imim1i 54 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )
37 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
38 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
39 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k RR
4038, 39nfss 3186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR
41 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k vol *
4241, 38nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )
4342nfel1 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR
4440, 43nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
45 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
4645sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR ) )
4745fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  ( vol * `  B )  =  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B ) )
4847eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( vol * `  B )  e.  RR  <->  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
4946, 48anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) 
<->  ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
5044, 49rspc 2891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
5137, 50mpan9 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
5251simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
5352ralrimiva 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
54 iunss 3959 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ m  e.  ( y  u.  { z } )
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  <->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
5553, 54sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
56 iunss1 3932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
5733, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
5857, 55syl5ss 3203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR )
59 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  y  e.  Fin )
60 elun1 3355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  y  ->  m  e.  ( y  u.  {
z } ) )
6151simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
6260, 61sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( vol * `
 [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
6359, 62fsumrecl 12223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
64 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) )
65 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ m B
6665, 38, 45cbviun 3955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ k  e.  y  B  =  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
6766fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  y  B )  =  ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)
68 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ m
( vol * `  B )
6968, 42, 47cbvsumi 12186 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B )  = 
sum_ m  e.  y 
( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )
7064, 67, 693brtr3g 4070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol * `
 [_ m  /  k ]_ B ) )
71 ovollecl 18858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  sum_
m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR  /\  ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
) )  ->  ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
7258, 63, 70, 71syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
73 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
74 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
7574snid 3680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
{ z }
7673, 75sselii 3190 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
77 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
7877, 39nfss 3186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  C_  RR
7941, 77nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( vol * `  [_ z  /  k ]_ B )
8079nfel1 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR
8178, 80nfan 1783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR )
82 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
8382sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR ) )
8482fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( vol * `  B )  =  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )
8584eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  (
( vol * `  B )  e.  RR  <->  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
8683, 85anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  z  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) 
<->  ( [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
8781, 86rspc 2891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
8876, 37, 87mpsyl 59 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
8988simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR )
9072, 89readdcld 8878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )  e.  RR )
91 iunxun 3999 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B )
92 csbeq1 3097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  z  ->  [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
9374, 92iunxsn 3997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B
9493uneq2i 3339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  U_ m  e.  {
z } [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B )
9591, 94eqtri 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
)
9695fveq2i 5544 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol
* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol
* `  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B ) )
97 ovolun 18874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  /\  ( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )  -> 
( vol * `  ( U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  <_  (
( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
9858, 72, 88, 97syl21anc 1181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  <_  (
( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
9996, 98syl5eqbr 4072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
100 ovollecl 18858 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )  e.  RR  /\  ( vol
* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )  ->  ( vol * `  U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
10155, 90, 99, 100syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
102 snfi 6957 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  e.  Fin
103 unfi 7140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
104102, 103mpan2 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
105104ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
106105, 61fsumrecl 12223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
10772, 63, 89, 70leadd1dd 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )  <_ 
( sum_ m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
108 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
109 disjsn 3706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
110108, 109sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
111 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
11261recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  CC )
113110, 111, 105, 112fsumsplit 12228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol
* `  [_ m  / 
k ]_ B )  + 
sum_ m  e.  { z }  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B ) ) )
11489recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 [_ z  /  k ]_ B )  e.  CC )
11592fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  z  ->  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B ) )
116115sumsn 12229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  {
z }  ( vol
* `  [_ m  / 
k ]_ B )  =  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )
11774, 114, 116sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e. 
{ z }  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B ) )
118117oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  y  ( vol
* `  [_ m  / 
k ]_ B )  + 
sum_ m  e.  { z }  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B ) )  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
119113, 118eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol
* `  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
120107, 119breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B ) )
121101, 90, 106, 99, 120letrd 8989 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
) )
12265, 38, 45cbviun 3955 . . . . . . . 8  |-  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
123122fveq2i 5544 . . . . . . 7  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( vol
* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
12468, 42, 47cbvsumi 12186 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  B
)  =  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)
125121, 123, 1243brtr4g 4071 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol
* `  B )
)
126125exp32 588 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( ( vol
* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `  B
)  ->  ( vol * `
 U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol
* `  B )
) ) )
127126a2d 23 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) )  -> 
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol * `  B ) ) ) )
12836, 127syl5 28 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol * `  B ) ) ) )
1296, 12, 18, 24, 32, 128findcard2s 7115 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) ) )
130129imp 418 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   [_csb 3094    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   U_ciun 3921   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    <_ cle 8884   sum_csu 12174   vol
*covol 18838
This theorem is referenced by:  volfiniun  18920  uniioombllem3a  18955  uniioombllem4  18957  i1fd  19052  i1fadd  19066  i1fmul  19067
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840
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