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Theorem ovolfiniun 19397
Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive. Finite sum version. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolfiniun  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem ovolfiniun
Dummy variables  m  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2904 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  (/)  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) ) )
2 iuneq1 4106 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  (/)  B )
32fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( vol
* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol * `  U_ k  e.  (/)  B ) )
4 sumeq1 12483 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B
) )
53, 4breq12d 4225 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( vol * `  B
)  <->  ( vol * `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B ) ) )
61, 5imbi12d 312 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B ) )  <-> 
( A. k  e.  (/)  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B ) ) ) )
7 raleq 2904 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) ) )
8 iuneq1 4106 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  y  B )
98fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol * `  U_ k  e.  y  B ) )
10 sumeq1 12483 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B )  = 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) )
119, 10breq12d 4225 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B )  <->  ( vol * `
 U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )
127, 11imbi12d 312 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B ) )  <-> 
( A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) ) )
13 raleq 2904 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) ) )
14 iuneq1 4106 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1514fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B ) )
16 sumeq1 12483 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B
)  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  B
) )
1715, 16breq12d 4225 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( vol
* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B
)  <->  ( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol
* `  B )
) )
1813, 17imbi12d 312 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B ) )  <->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol
* `  B )
) ) )
19 raleq 2904 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR ) ) )
20 iuneq1 4106 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  A  B
)
2120fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol * `  U_ k  e.  A  B ) )
22 sumeq1 12483 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol * `  B
) )
2321, 22breq12d 4225 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B )  <->  ( vol * `
 U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) ) )
2419, 23imbi12d 312 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B ) )  <-> 
( A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) ) ) )
25 0le0 10081 . . . . 5  |-  0  <_  0
26 0iun 4148 . . . . . . 7  |-  U_ k  e.  (/)  B  =  (/)
2726fveq2i 5731 . . . . . 6  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  (/)  B )  =  ( vol * `  (/) )
28 ovol0 19389 . . . . . 6  |-  ( vol
* `  (/) )  =  0
2927, 28eqtri 2456 . . . . 5  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  (/)  B )  =  0
30 sum0 12515 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B )  =  0
3125, 29, 303brtr4i 4240 . . . 4  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B )
3231a1i 11 . . 3  |-  ( A. k  e.  (/)  ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B
) )
33 ssun1 3510 . . . . . 6  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
34 ssralv 3407 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) ) )
3533, 34ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
3635imim1i 56 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )
37 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
38 nfcsb1v 3283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
39 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k RR
4038, 39nfss 3341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR
41 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k vol *
4241, 38nffv 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )
4342nfel1 2582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR
4440, 43nfan 1846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
45 csbeq1a 3259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
4645sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR ) )
4745fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  ( vol * `  B )  =  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B ) )
4847eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( vol * `  B )  e.  RR  <->  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
4946, 48anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) 
<->  ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
5044, 49rspc 3046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
5137, 50mpan9 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
5251simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
5352ralrimiva 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
54 iunss 4132 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ m  e.  ( y  u.  { z } )
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  <->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
5553, 54sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
56 iunss1 4104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
5733, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
5857, 55syl5ss 3359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR )
59 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  y  e.  Fin )
60 elun1 3514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  y  ->  m  e.  ( y  u.  {
z } ) )
6151simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
6260, 61sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( vol * `
 [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
6359, 62fsumrecl 12528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
64 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) )
65 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ m B
6665, 38, 45cbviun 4128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ k  e.  y  B  =  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
6766fveq2i 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  y  B )  =  ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)
68 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ m
( vol * `  B )
6968, 42, 47cbvsumi 12491 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B )  = 
sum_ m  e.  y 
( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )
7064, 67, 693brtr3g 4243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol * `
 [_ m  /  k ]_ B ) )
71 ovollecl 19379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  sum_
m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR  /\  ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
) )  ->  ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
7258, 63, 70, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
73 ssun2 3511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
74 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
7574snid 3841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
{ z }
7673, 75sselii 3345 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
77 nfcsb1v 3283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
7877, 39nfss 3341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  C_  RR
7941, 77nffv 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( vol * `  [_ z  /  k ]_ B )
8079nfel1 2582 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR
8178, 80nfan 1846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR )
82 csbeq1a 3259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
8382sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR ) )
8482fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( vol * `  B )  =  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )
8584eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  (
( vol * `  B )  e.  RR  <->  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
8683, 85anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  z  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) 
<->  ( [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
8781, 86rspc 3046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
8876, 37, 87mpsyl 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
8988simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR )
9072, 89readdcld 9115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )  e.  RR )
91 iunxun 4172 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B )
92 csbeq1 3254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  z  ->  [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
9374, 92iunxsn 4170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B
9493uneq2i 3498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  U_ m  e.  {
z } [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B )
9591, 94eqtri 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
)
9695fveq2i 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol
* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol
* `  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B ) )
97 ovolun 19395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  /\  ( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )  -> 
( vol * `  ( U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  <_  (
( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
9858, 72, 88, 97syl21anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  <_  (
( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
9996, 98syl5eqbr 4245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
100 ovollecl 19379 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )  e.  RR  /\  ( vol
* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )  ->  ( vol * `  U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
10155, 90, 99, 100syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
102 snfi 7187 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  e.  Fin
103 unfi 7374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
104102, 103mpan2 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
105104ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
106105, 61fsumrecl 12528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
10772, 63, 89, 70leadd1dd 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )  <_ 
( sum_ m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
108 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
109 disjsn 3868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
110108, 109sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
111 eqidd 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
11261recnd 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  CC )
113110, 111, 105, 112fsumsplit 12533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol
* `  [_ m  / 
k ]_ B )  + 
sum_ m  e.  { z }  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B ) ) )
11489recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 [_ z  /  k ]_ B )  e.  CC )
11592fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  z  ->  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B ) )
116115sumsn 12534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  {
z }  ( vol
* `  [_ m  / 
k ]_ B )  =  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )
11774, 114, 116sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e. 
{ z }  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B ) )
118117oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  y  ( vol
* `  [_ m  / 
k ]_ B )  + 
sum_ m  e.  { z }  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B ) )  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
119113, 118eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol
* `  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
120107, 119breqtrrd 4238 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B ) )
121101, 90, 106, 99, 120letrd 9227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
) )
12265, 38, 45cbviun 4128 . . . . . . . 8  |-  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
123122fveq2i 5731 . . . . . . 7  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( vol
* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
12468, 42, 47cbvsumi 12491 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  B
)  =  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)
125121, 123, 1243brtr4g 4244 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol
* `  B )
)
126125exp32 589 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( ( vol
* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `  B
)  ->  ( vol * `
 U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol
* `  B )
) ) )
127126a2d 24 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) )  -> 
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol * `  B ) ) ) )
12836, 127syl5 30 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol * `  B ) ) ) )
1296, 12, 18, 24, 32, 128findcard2s 7349 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) ) )
130129imp 419 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956   [_csb 3251    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   U_ciun 4093   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990    + caddc 8993    <_ cle 9121   sum_csu 12479   vol
*covol 19359
This theorem is referenced by:  volfiniun  19441  uniioombllem3a  19476  uniioombllem4  19478  i1fd  19573  i1fadd  19587  i1fmul  19588  volsupnfl  26251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xadd 10711  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-xmet 16695  df-met 16696  df-ovol 19361
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