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Theorem ovolfiniun 18860
Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive. Finite sum version. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolfiniun  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem ovolfiniun
Dummy variables  m  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2736 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  (/)  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) ) )
2 iuneq1 3918 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  (/)  B )
32fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( vol
* `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol * `  U_ k  e.  (/)  B ) )
4 sumeq1 12162 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B
) )
53, 4breq12d 4036 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( vol * `  B
)  <->  ( vol * `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B ) ) )
61, 5imbi12d 311 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B ) )  <-> 
( A. k  e.  (/)  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B ) ) ) )
7 raleq 2736 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) ) )
8 iuneq1 3918 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  y  B )
98fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol * `  U_ k  e.  y  B ) )
10 sumeq1 12162 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B )  = 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) )
119, 10breq12d 4036 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B )  <->  ( vol * `
 U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )
127, 11imbi12d 311 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B ) )  <-> 
( A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) ) )
13 raleq 2736 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) ) )
14 iuneq1 3918 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1514fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B ) )
16 sumeq1 12162 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B
)  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  B
) )
1715, 16breq12d 4036 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( vol
* `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B
)  <->  ( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol
* `  B )
) )
1813, 17imbi12d 311 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B ) )  <->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol
* `  B )
) ) )
19 raleq 2736 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR ) ) )
20 iuneq1 3918 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  U_ k  e.  x  B  =  U_ k  e.  A  B
)
2120fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  =  ( vol * `  U_ k  e.  A  B ) )
22 sumeq1 12162 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol * `  B
) )
2321, 22breq12d 4036 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `  B )  <->  ( vol * `
 U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) ) )
2419, 23imbi12d 311 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. k  e.  x  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( vol * `
 B ) )  <-> 
( A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) ) ) )
25 0le0 9827 . . . . 5  |-  0  <_  0
26 0iun 3959 . . . . . . 7  |-  U_ k  e.  (/)  B  =  (/)
2726fveq2i 5528 . . . . . 6  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  (/)  B )  =  ( vol * `  (/) )
28 ovol0 18852 . . . . . 6  |-  ( vol
* `  (/) )  =  0
2927, 28eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  (/)  B )  =  0
30 sum0 12194 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B )  =  0
3125, 29, 303brtr4i 4051 . . . 4  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B )
3231a1i 10 . . 3  |-  ( A. k  e.  (/)  ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( vol * `  B
) )
33 ssun1 3338 . . . . . 6  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
34 ssralv 3237 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) ) )
3533, 34ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
3635imim1i 54 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  y  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )
37 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
38 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
39 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k RR
4038, 39nfss 3173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR
41 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k vol *
4241, 38nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )
4342nfel1 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR
4440, 43nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
45 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
4645sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR ) )
4745fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  ( vol * `  B )  =  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B ) )
4847eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( vol * `  B )  e.  RR  <->  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
4946, 48anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) 
<->  ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
5044, 49rspc 2878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
5137, 50mpan9 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
5251simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
5352ralrimiva 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
54 iunss 3943 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ m  e.  ( y  u.  { z } )
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  <->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
5553, 54sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
56 iunss1 3916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
5733, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
5857, 55syl5ss 3190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR )
59 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  y  e.  Fin )
60 elun1 3342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  y  ->  m  e.  ( y  u.  {
z } ) )
6151simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
6260, 61sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( vol * `
 [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
6359, 62fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
64 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) )
65 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ m B
6665, 38, 45cbviun 3939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ k  e.  y  B  =  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
6766fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  y  B )  =  ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)
68 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ m
( vol * `  B )
6968, 42, 47cbvsumi 12170 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B )  = 
sum_ m  e.  y 
( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )
7064, 67, 693brtr3g 4054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol * `
 [_ m  /  k ]_ B ) )
71 ovollecl 18842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  sum_
m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR  /\  ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
) )  ->  ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
7258, 63, 70, 71syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
73 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
74 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
7574snid 3667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
{ z }
7673, 75sselii 3177 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
77 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
7877, 39nfss 3173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  C_  RR
7941, 77nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( vol * `  [_ z  /  k ]_ B )
8079nfel1 2429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR
8178, 80nfan 1771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR )
82 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
8382sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR ) )
8482fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( vol * `  B )  =  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )
8584eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  (
( vol * `  B )  e.  RR  <->  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
8683, 85anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  z  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) 
<->  ( [_ z  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
8781, 86rspc 2878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
8876, 37, 87mpsyl 59 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
8988simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR )
9072, 89readdcld 8862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )  e.  RR )
91 iunxun 3983 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B )
92 csbeq1 3084 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  z  ->  [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
9374, 92iunxsn 3981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B
9493uneq2i 3326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  U_ m  e.  {
z } [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B )
9591, 94eqtri 2303 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
)
9695fveq2i 5528 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol
* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol
* `  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B ) )
97 ovolun 18858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  /\  ( [_ z  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )  -> 
( vol * `  ( U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  <_  (
( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
9858, 72, 88, 97syl21anc 1181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  <_  (
( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
9996, 98syl5eqbr 4056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
100 ovollecl 18842 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )  e.  RR  /\  ( vol
* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )  ->  ( vol * `  U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
10155, 90, 99, 100syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
102 snfi 6941 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  e.  Fin
103 unfi 7124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
104102, 103mpan2 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
105104ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
106105, 61fsumrecl 12207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
10772, 63, 89, 70leadd1dd 9386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )  <_ 
( sum_ m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
108 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
109 disjsn 3693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
110108, 109sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
111 eqidd 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
11261recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_ 
sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  CC )
113110, 111, 105, 112fsumsplit 12212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol
* `  [_ m  / 
k ]_ B )  + 
sum_ m  e.  { z }  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B ) ) )
11489recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 [_ z  /  k ]_ B )  e.  CC )
11592fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  z  ->  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B ) )
116115sumsn 12213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  {
z }  ( vol
* `  [_ m  / 
k ]_ B )  =  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )
11774, 114, 116sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e. 
{ z }  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol
* `  [_ z  / 
k ]_ B ) )
118117oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  y  ( vol
* `  [_ m  / 
k ]_ B )  + 
sum_ m  e.  { z }  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B ) )  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
119113, 118eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol
* `  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
120107, 119breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( ( vol * `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol * `  [_ z  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B ) )
121101, 90, 106, 99, 120letrd 8973 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  <_  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
) )
12265, 38, 45cbviun 3939 . . . . . . . 8  |-  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
123122fveq2i 5528 . . . . . . 7  |-  ( vol
* `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( vol
* `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
12468, 42, 47cbvsumi 12170 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  B
)  =  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol * `  [_ m  /  k ]_ B
)
125121, 123, 1243brtr4g 4055 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  /\  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) ) )  ->  ( vol * `
 U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol
* `  B )
)
126125exp32 588 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( ( vol
* `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `  B
)  ->  ( vol * `
 U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol
* `  B )
) ) )
127126a2d 23 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B 
C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `  B ) )  -> 
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol * `  B ) ) ) )
12836, 127syl5 28 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  y 
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  y  B )  <_  sum_ k  e.  y  ( vol * `
 B ) )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol * `  B ) ) ) )
1296, 12, 18, 24, 32, 128findcard2s 7099 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) ) )
130129imp 418 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( vol * `
 B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   [_csb 3081    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U_ciun 3905   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    <_ cle 8868   sum_csu 12158   vol
*covol 18822
This theorem is referenced by:  volfiniun  18904  uniioombllem3a  18939  uniioombllem4  18941  i1fd  19036  i1fadd  19050  i1fmul  19051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824
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