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Theorem ovolgelb 19333
Description: The outer volume is the greatest lower bound on the sum of all interval coverings of  A. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ovolgelb.1  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) )
Assertion
Ref Expression
ovolgelb  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol * `  A )  +  B
) ) )
Distinct variable groups:    A, g    B, g
Allowed substitution hint:    S( g)

Proof of Theorem ovolgelb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
2 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
31, 2ltaddrpd 10637 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( vol * `  A )  <  ( ( vol
* `  A )  +  B ) )
42rpred 10608 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
51, 4readdcld 9075 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  e.  RR )
61, 5ltnled 9180 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  A )  <  (
( vol * `  A )  +  B
)  <->  -.  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_ 
( vol * `  A ) ) )
73, 6mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  -.  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  ( vol * `
 A ) )
8 eqid 2408 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  =  { y  e. 
RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }
98ovolval 19327 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol
* `  A )  =  sup ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) )
1093ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( vol * `  A )  =  sup ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) )
1110breq2d 4188 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  ( vol * `
 A )  <->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  sup ( { y  e. 
RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
12 ssrab2 3392 . . . . . . 7  |-  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } 
C_  RR*
135rexrd 9094 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  e.  RR* )
14 infmxrgelb 10873 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) ) }  C_  RR*  /\  (
( vol * `  A )  +  B
)  e.  RR* )  ->  ( ( ( vol
* `  A )  +  B )  <_  sup ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  {
y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  x )
)
1512, 13, 14sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  {
y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  x )
)
16 eqeq1 2414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <->  x  =  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  ) ) )
17 ovolgelb.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) )
1817rneqi 5059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  S  =  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) )
1918supeq1i 7414 . . . . . . . . . . . 12  |-  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )
2019eqeq2i 2418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <-> 
x  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) )
2116, 20syl6bbr 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <->  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
2221anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <-> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
2322rexbidv 2691 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( E. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <->  E. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
2423ralrab 3060 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  x  <->  A. x  e.  RR*  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x ) )
25 ralcom 2832 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR*  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) A. x  e.  RR*  ( ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x ) )
26 r19.23v 2786 . . . . . . . . 9  |-  ( A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x )  <->  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x ) )
2726ralbii 2694 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR*  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. x  e.  RR*  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x ) )
28 ancomsimp 1375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  -> 
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g ) )  -> 
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  x )
)
29 impexp 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g ) )  -> 
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  x )
) )
3028, 29bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  -> 
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  x )
) )
3130ralbii 2694 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR*  ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. x  e.  RR*  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  ( ( vol
* `  A )  +  B )  <_  x
) ) )
32 reex 9041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  RR  e.  _V
3332, 32xpex 4953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
3433inex2 4309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  e.  _V
35 nnex 9966 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  e.  _V
3634, 35elmap 7005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  g : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
37 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
3837, 17ovolsf 19326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
3936, 38sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  S : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
40 frn 5560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  S 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ran  S  C_  (
0 [,)  +oo ) )
42 icossxr 10955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
4341, 42syl6ss 3324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ran  S  C_  RR* )
44 supxrcl 10853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
S  C_  RR*  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
46 breq2 4180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( ( vol * `  A
)  +  B )  <_  x  <->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
4746imbi2d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  -> 
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  -> 
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4847ceqsralv 2947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  ->  ( A. x  e.  RR*  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  ( ( vol
* `  A )  +  B )  <_  x
) )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4945, 48syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ( A. x  e.  RR*  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  ( ( vol
* `  A )  +  B )  <_  x
) )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
5031, 49syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ( A. x  e.  RR*  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
5150ralbiia 2702 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) A. x  e.  RR*  ( ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5225, 27, 513bitr3i 267 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  RR*  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5324, 52bitri 241 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  x  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5415, 53syl6rbb 254 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  -> 
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  <->  ( ( vol
* `  A )  +  B )  <_  sup ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
5511, 54bitr4d 248 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  ( vol * `
 A )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
567, 55mtbid 292 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  -.  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
57 rexanali 2716 . . 3  |-  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  -.  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  <->  -.  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5856, 57sylibr 204 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  -.  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
59 xrltnle 9104 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  ( ( vol * `  A
)  +  B )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  < 
( ( vol * `  A )  +  B
)  <->  -.  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
60 xrltle 10702 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  ( ( vol * `  A
)  +  B )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  < 
( ( vol * `  A )  +  B
)  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  B ) ) )
6159, 60sylbird 227 . . . . 5  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  ( ( vol * `  A
)  +  B )  e.  RR* )  ->  ( -.  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  B
) ) )
6245, 13, 61syl2anr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  /\  g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( -.  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  B
) ) )
6362anim2d 549 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  /\  g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  -.  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol * `  A )  +  B
) ) ) )
6463reximdva 2782 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( E. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  -.  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol * `  A )  +  B
) ) ) )
6558, 64mpd 15 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol * `  A )  +  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671   {crab 2674    i^i cin 3283    C_ wss 3284   U.cuni 3979   class class class wbr 4176    X. cxp 4839   `'ccnv 4840   ran crn 4842    o. ccom 4845   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044    ^m cmap 6981   supcsup 7407   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    +oocpnf 9077   RR*cxr 9079    < clt 9080    <_ cle 9081    - cmin 9251   NNcn 9960   RR+crp 10572   (,)cioo 10876   [,)cico 10878    seq cseq 11282   abscabs 11998   vol
*covol 19316
This theorem is referenced by:  ovolunlem2  19351  ovoliunlem3  19357  ovolscalem2  19367  ioombl1  19413  uniioombl  19438  mblfinlem2  26148  mblfinlem3  26149
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-ico 10882  df-fz 11004  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-ovol 19318
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