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Theorem ovolgelb 18937
Description: The outer volume is the greatest lower bound on the sum of all interval coverings of  A. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ovolgelb.1  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) )
Assertion
Ref Expression
ovolgelb  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol * `  A )  +  B
) ) )
Distinct variable groups:    A, g    B, g
Allowed substitution hint:    S( g)

Proof of Theorem ovolgelb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
2 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
31, 2ltaddrpd 10508 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( vol * `  A )  <  ( ( vol
* `  A )  +  B ) )
42rpred 10479 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
51, 4readdcld 8949 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  e.  RR )
61, 5ltnled 9053 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  A )  <  (
( vol * `  A )  +  B
)  <->  -.  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_ 
( vol * `  A ) ) )
73, 6mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  -.  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  ( vol * `
 A ) )
8 eqid 2358 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  =  { y  e. 
RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }
98ovolval 18931 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol
* `  A )  =  sup ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) )
1093ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( vol * `  A )  =  sup ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) )
1110breq2d 4114 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  ( vol * `
 A )  <->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  sup ( { y  e. 
RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
12 ssrab2 3334 . . . . . . 7  |-  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } 
C_  RR*
135rexrd 8968 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  e.  RR* )
14 infmxrgelb 10742 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) ) }  C_  RR*  /\  (
( vol * `  A )  +  B
)  e.  RR* )  ->  ( ( ( vol
* `  A )  +  B )  <_  sup ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  {
y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  x )
)
1512, 13, 14sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  {
y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  x )
)
16 eqeq1 2364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <->  x  =  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  ) ) )
17 ovolgelb.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) )
1817rneqi 4984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  S  =  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) )
1918supeq1i 7287 . . . . . . . . . . . 12  |-  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )
2019eqeq2i 2368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <-> 
x  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) )
2116, 20syl6bbr 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <->  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
2221anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <-> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
2322rexbidv 2640 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( E. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <->  E. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
2423ralrab 3003 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  x  <->  A. x  e.  RR*  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x ) )
25 ralcom 2776 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR*  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) A. x  e.  RR*  ( ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x ) )
26 r19.23v 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x )  <->  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x ) )
2726ralbii 2643 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR*  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. x  e.  RR*  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x ) )
28 ancomsimp 1369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  -> 
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g ) )  -> 
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  x )
)
29 impexp 433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g ) )  -> 
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  x )
) )
3028, 29bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  -> 
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  x )
) )
3130ralbii 2643 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR*  ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. x  e.  RR*  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  ( ( vol
* `  A )  +  B )  <_  x
) ) )
32 reex 8915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  RR  e.  _V
3332, 32xpex 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
3433inex2 4235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  e.  _V
35 nnex 9839 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  e.  _V
3634, 35elmap 6881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  g : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
37 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
3837, 17ovolsf 18930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
3936, 38sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  S : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
40 frn 5475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  S 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ran  S  C_  (
0 [,)  +oo ) )
42 icossxr 10823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
4341, 42syl6ss 3267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ran  S  C_  RR* )
44 supxrcl 10722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
S  C_  RR*  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
46 breq2 4106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( ( vol * `  A
)  +  B )  <_  x  <->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
4746imbi2d 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  -> 
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  x )  <->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  -> 
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4847ceqsralv 2891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  ->  ( A. x  e.  RR*  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  ( ( vol
* `  A )  +  B )  <_  x
) )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4945, 48syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ( A. x  e.  RR*  ( x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  ( ( vol
* `  A )  +  B )  <_  x
) )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
5031, 49syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  ( A. x  e.  RR*  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
5150ralbiia 2651 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) A. x  e.  RR*  ( ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5225, 27, 513bitr3i 266 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  RR*  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  x  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  x )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5324, 52bitri 240 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  x  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5415, 53syl6rbb 253 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  -> 
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  <->  ( ( vol
* `  A )  +  B )  <_  sup ( { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
5511, 54bitr4d 247 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  ( vol * `
 A )  <->  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) ) )
567, 55mtbid 291 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  -.  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
57 rexanali 2665 . . 3  |-  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  -.  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  <->  -.  A. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  ->  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
5856, 57sylibr 203 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  -.  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
59 xrltnle 8978 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  ( ( vol * `  A
)  +  B )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  < 
( ( vol * `  A )  +  B
)  <->  -.  ( ( vol * `  A )  +  B )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
60 xrltle 10572 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  ( ( vol * `  A
)  +  B )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  < 
( ( vol * `  A )  +  B
)  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  B ) ) )
6159, 60sylbird 226 . . . . 5  |-  ( ( sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  ( ( vol * `  A
)  +  B )  e.  RR* )  ->  ( -.  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  B
) ) )
6245, 13, 61syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  /\  g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( -.  (
( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  B
) ) )
6362anim2d 548 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  /\  g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  -.  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol * `  A )  +  B
) ) ) )
6463reximdva 2731 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( E. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  -.  ( ( vol * `  A )  +  B
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol * `  A )  +  B
) ) ) )
6558, 64mpd 14 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol * `  A )  +  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   {crab 2623    i^i cin 3227    C_ wss 3228   U.cuni 3906   class class class wbr 4102    X. cxp 4766   `'ccnv 4767   ran crn 4769    o. ccom 4772   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942    ^m cmap 6857   supcsup 7280   RRcr 8823   0cc0 8824   1c1 8825    + caddc 8827    +oocpnf 8951   RR*cxr 8953    < clt 8954    <_ cle 8955    - cmin 9124   NNcn 9833   RR+crp 10443   (,)cioo 10745   [,)cico 10747    seq cseq 11135   abscabs 11809   vol
*covol 18920
This theorem is referenced by:  ovolunlem2  18955  ovoliunlem3  18961  ovolscalem2  18971  ioombl1  19017  uniioombl  19042
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-rp 10444  df-ico 10751  df-fz 10872  df-seq 11136  df-exp 11195  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-ovol 18922
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