Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolicc1 Structured version   Unicode version

Theorem ovolicc1 19417
 Description: The measure of a closed interval is lower bounded by its length. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1
ovolicc.2
ovolicc.3
ovolicc1.4
Assertion
Ref Expression
ovolicc1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ovolicc1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolicc.1 . . . 4
2 ovolicc.2 . . . 4
3 iccssre 10997 . . . 4
41, 2, 3syl2anc 644 . . 3
5 ovolcl 19379 . . 3
64, 5syl 16 . 2
7 ovolicc.3 . . . . . . . . . . 11
8 df-br 4216 . . . . . . . . . . 11
97, 8sylib 190 . . . . . . . . . 10
10 opelxpi 4913 . . . . . . . . . . 11
111, 2, 10syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
12 elin 3532 . . . . . . . . . 10
139, 11, 12sylanbrc 647 . . . . . . . . 9
1413adantr 453 . . . . . . . 8
15 0le0 10086 . . . . . . . . . 10
16 df-br 4216 . . . . . . . . . 10
1715, 16mpbi 201 . . . . . . . . 9
18 0re 9096 . . . . . . . . . 10
19 opelxpi 4913 . . . . . . . . . 10
2018, 18, 19mp2an 655 . . . . . . . . 9
21 elin 3532 . . . . . . . . 9
2217, 20, 21mpbir2an 888 . . . . . . . 8
23 ifcl 3777 . . . . . . . 8
2414, 22, 23sylancl 645 . . . . . . 7
25 ovolicc1.4 . . . . . . 7
2624, 25fmptd 5896 . . . . . 6
27 eqid 2438 . . . . . . 7
28 eqid 2438 . . . . . . 7
2927, 28ovolsf 19374 . . . . . 6
3026, 29syl 16 . . . . 5
31 frn 5600 . . . . 5
3230, 31syl 16 . . . 4
33 icossxr 11000 . . . 4
3432, 33syl6ss 3362 . . 3
35 supxrcl 10898 . . 3
3634, 35syl 16 . 2
372, 1resubcld 9470 . . 3
3837rexrd 9139 . 2
39 1nn 10016 . . . . . . 7
4039a1i 11 . . . . . 6
41 op1stg 6362 . . . . . . . . 9
421, 2, 41syl2anc 644 . . . . . . . 8
4342adantr 453 . . . . . . 7
44 elicc2 10980 . . . . . . . . . 10
451, 2, 44syl2anc 644 . . . . . . . . 9
4645biimpa 472 . . . . . . . 8
4746simp2d 971 . . . . . . 7
4843, 47eqbrtrd 4235 . . . . . 6
4946simp3d 972 . . . . . . 7
50 op2ndg 6363 . . . . . . . . 9
511, 2, 50syl2anc 644 . . . . . . . 8
5251adantr 453 . . . . . . 7
5349, 52breqtrrd 4241 . . . . . 6
54 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11
55 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . . 13
56 opex 4430 . . . . . . . . . . . . 13
5755, 25, 56fvmpt 5809 . . . . . . . . . . . 12
5839, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
5954, 58syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10
6059fveq2d 5735 . . . . . . . . 9
6160breq1d 4225 . . . . . . . 8
6259fveq2d 5735 . . . . . . . . 9
6362breq2d 4227 . . . . . . . 8
6461, 63anbi12d 693 . . . . . . 7
6564rspcev 3054 . . . . . 6
6640, 48, 53, 65syl12anc 1183 . . . . 5
6766ralrimiva 2791 . . . 4
68 ovolficc 19370 . . . . 5
694, 26, 68syl2anc 644 . . . 4
7067, 69mpbird 225 . . 3
7128ovollb2 19390 . . 3
7226, 70, 71syl2anc 644 . 2
73 addid1 9251 . . . . . . . . 9
7473adantl 454 . . . . . . . 8
75 nnuz 10526 . . . . . . . . . 10
7639, 75eleqtri 2510 . . . . . . . . 9
7776a1i 11 . . . . . . . 8
78 simpr 449 . . . . . . . . 9
7978, 75syl6eleq 2528 . . . . . . . 8
80 pnfxr 10718 . . . . . . . . . . 11
81 icossre 10996 . . . . . . . . . . 11
8218, 80, 81mp2an 655 . . . . . . . . . 10
8330adantr 453 . . . . . . . . . . 11
84 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . 11
8583, 39, 84sylancl 645 . . . . . . . . . 10
8682, 85sseldi 3348 . . . . . . . . 9
8786recnd 9119 . . . . . . . 8
8826ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10
89 elfzuz 11060 . . . . . . . . . . . . 13
9089adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
91 df-2 10063 . . . . . . . . . . . . 13
9291fveq2i 5734 . . . . . . . . . . . 12
9390, 92syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . 11
94 eluz2b3 10554 . . . . . . . . . . . 12
9594simplbi 448 . . . . . . . . . . 11
9693, 95syl 16 . . . . . . . . . 10
9727ovolfsval 19372 . . . . . . . . . 10
9888, 96, 97syl2anc 644 . . . . . . . . 9
99 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10099ifbid 3759 . . . . . . . . . . . . . . . 16
101 opex 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10256, 101ifex 3799 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103100, 25, 102fvmpt 5809 . . . . . . . . . . . . . . 15
10496, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
10594simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10693, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
107106neneqd 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15
108 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . . . 15
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
110104, 109eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13
111110fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12
112 c0ex 9090 . . . . . . . . . . . . 13
113112, 112op2nd 6359 . . . . . . . . . . . 12
114111, 113syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11
115110fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12
116112, 112op1st 6358 . . . . . . . . . . . 12
117115, 116syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11
118114, 117oveq12d 6102 . . . . . . . . . 10
119 0cn 9089 . . . . . . . . . . 11
120119subidi 9376 . . . . . . . . . 10
121118, 120syl6eq 2486 . . . . . . . . 9
12298, 121eqtrd 2470 . . . . . . . 8
12374, 77, 79, 87, 122seqid2 11374 . . . . . . 7
124 1z 10316 . . . . . . . 8
12526adantr 453 . . . . . . . . . 10
12627ovolfsval 19372 . . . . . . . . . 10
127125, 39, 126sylancl 645 . . . . . . . . 9
12858fveq2i 5734 . . . . . . . . . . 11
12951adantr 453 . . . . . . . . . . 11
130128, 129syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10
13158fveq2i 5734 . . . . . . . . . . 11
13242adantr 453 . . . . . . . . . . 11
133131, 132syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10
134130, 133oveq12d 6102 . . . . . . . . 9
135127, 134eqtrd 2470 . . . . . . . 8
136124, 135seq1i 11342 . . . . . . 7
137123, 136eqtr3d 2472 . . . . . 6
13837leidd 9598 . . . . . . 7
139138adantr 453 . . . . . 6
140137, 139eqbrtrd 4235 . . . . 5
141140ralrimiva 2791 . . . 4
142 ffn 5594 . . . . . 6
14330, 142syl 16 . . . . 5
144 breq1 4218 . . . . . 6
145144ralrn 5876 . . . . 5
146143, 145syl 16 . . . 4
147141, 146mpbird 225 . . 3
148 supxrleub 10910 . . . 4
14934, 38, 148syl2anc 644 . . 3
150147, 149mpbird 225 . 2
1516, 36, 38, 72, 150xrletrd 10757 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708   cin 3321   wss 3322  cif 3741  cop 3819  cuni 4017   class class class wbr 4215   cmpt 4269   cxp 4879   crn 4882   ccom 4885   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  c1st 6350  c2nd 6351  csup 7448  cc 8993  cr 8994  cc0 8995  c1 8996   caddc 8998   cpnf 9122  cxr 9124   clt 9125   cle 9126   cmin 9296  cn 10005  c2 10054  cuz 10493  cico 10923  cicc 10924  cfz 11048   cseq 11328  cabs 12044  covol 19364 This theorem is referenced by:  ovolicc  19424 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-ovol 19366
 Copyright terms: Public domain W3C validator