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Theorem ovolicc2 18934
Description: The measure of a closed interval is upper bounded by its length. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ovolicc.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ovolicc.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ovolicc2.m  |-  M  =  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) }
Assertion
Ref Expression
ovolicc2  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  ( vol * `
 ( A [,] B ) ) )
Distinct variable groups:    y, f, A    B, f, y    y, M    ph, f, y
Allowed substitution hint:    M( f)

Proof of Theorem ovolicc2
Dummy variables  g 
k  t  u  v  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolicc2.m . . . . . 6  |-  M  =  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) }
21elovolm 18887 . . . . 5  |-  ( z  e.  M  <->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
3 ioof 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
4 ffn 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
6 dffn3 5434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* ) 
<->  (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ran  (,) )
75, 6mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ran  (,)
8 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
9 reex 8873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  RR  e.  _V
109, 9xpex 4838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
1110inex2 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  e.  _V
12 nnex 9797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN  e.  _V
1311, 12elmap 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
148, 13sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
15 inss2 3424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
16 ressxr 8921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR  C_  RR*
17 xpss12 4829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
1816, 16, 17mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
1915, 18sstri 3222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
20 fss 5435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  -> 
f : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
2114, 19, 20sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  f : NN --> ( RR*  X.  RR* ) )
22 fco 5436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ran  (,)  /\  f : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  f
) : NN --> ran  (,) )
237, 21, 22sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( (,)  o.  f ) : NN --> ran  (,) )
2423adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ( (,)  o.  f ) : NN --> ran  (,) )
25 frn 5433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (,)  o.  f ) : NN --> ran  (,)  ->  ran  ( (,)  o.  f )  C_  ran  (,) )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ran  ( (,)  o.  f ) 
C_  ran  (,) )
27 retopbas 18321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
28 bastg 16760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
3026, 29syl6ss 3225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ran  ( (,)  o.  f ) 
C_  ( topGen `  ran  (,) ) )
31 fvex 5577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  _V
3231elpw2 4212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( (,)  o.  f
)  e.  ~P ( topGen `
 ran  (,) )  <->  ran  ( (,)  o.  f
)  C_  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
3330, 32sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ran  ( (,)  o.  f )  e.  ~P ( topGen ` 
ran  (,) ) )
34 ovolicc.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
35 ovolicc.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
36 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
37 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )
3836, 37icccmp 18382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  e.  Comp )
3934, 35, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  e.  Comp )
40 retop 18322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
41 iccssre 10778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
4234, 35, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
43 uniretop 18323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
4443cmpsub 17183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  e.  Comp  <->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  ran  (,) )
( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v
) ) )
4540, 42, 44sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  e. 
Comp 
<-> 
A. u  e.  ~P  ( topGen `  ran  (,) )
( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v
) ) )
4639, 45mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  ran  (,) )
( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v
) )
4746adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  ran  (,) ) ( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v ) )
48 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f ) )
49 unieq 3873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  ->  U. u  =  U. ran  ( (,)  o.  f
) )
5049sseq2d 3240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  -> 
( ( A [,] B )  C_  U. u  <->  ( A [,] B ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  f ) ) )
51 pweq 3662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  ->  ~P u  =  ~P ran  ( (,)  o.  f
) )
5251ineq1d 3403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  -> 
( ~P u  i^i 
Fin )  =  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin ) )
5352rexeqdv 2777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  -> 
( E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v ) )
5450, 53imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  -> 
( ( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v )  <->  ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  ->  E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v ) ) )
5554rspcv 2914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( (,)  o.  f
)  e.  ~P ( topGen `
 ran  (,) )  ->  ( A. u  e. 
~P  ( topGen `  ran  (,) ) ( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v )  ->  (
( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  ->  E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v
) ) )
5633, 47, 48, 55syl3c 57 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v )
57 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i 
Fin ) )
58 elin 3392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  <->  ( v  e.  ~P ran  ( (,) 
o.  f )  /\  v  e.  Fin )
)
5957, 58sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
v  e.  ~P ran  ( (,)  o.  f )  /\  v  e.  Fin ) )
6059simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  v  e.  Fin )
6159simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  v  e.  ~P ran  ( (,) 
o.  f ) )
62 elpwi 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  ~P ran  ( (,)  o.  f )  -> 
v  C_  ran  ( (,) 
o.  f ) )
6361, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  v  C_ 
ran  ( (,)  o.  f ) )
6463sseld 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
t  e.  v  -> 
t  e.  ran  ( (,)  o.  f ) ) )
65 ffn 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( (,)  o.  f ) : NN --> ran  (,)  ->  ( (,)  o.  f
)  Fn  NN )
6623, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( (,)  o.  f )  Fn  NN )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  ( (,)  o.  f )  Fn  NN )
68 fvelrnb 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (,)  o.  f )  Fn  NN  ->  (
t  e.  ran  ( (,)  o.  f )  <->  E. k  e.  NN  ( ( (,) 
o.  f ) `  k )  =  t ) )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
t  e.  ran  ( (,)  o.  f )  <->  E. k  e.  NN  ( ( (,) 
o.  f ) `  k )  =  t ) )
7064, 69sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
t  e.  v  ->  E. k  e.  NN  ( ( (,)  o.  f ) `  k
)  =  t ) )
7170ralrimiv 2659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  A. t  e.  v  E. k  e.  NN  ( ( (,) 
o.  f ) `  k )  =  t )
72 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( g `  t )  ->  (
( (,)  o.  f
) `  k )  =  ( ( (,) 
o.  f ) `  ( g `  t
) ) )
7372eqeq1d 2324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( g `  t )  ->  (
( ( (,)  o.  f ) `  k
)  =  t  <->  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  t
) )  =  t ) )
7473ac6sfi 7146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  A. t  e.  v  E. k  e.  NN  (
( (,)  o.  f
) `  k )  =  t )  ->  E. g ( g : v --> NN  /\  A. t  e.  v  (
( (,)  o.  f
) `  ( g `  t ) )  =  t ) )
7560, 71, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  E. g
( g : v --> NN  /\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  t
) )  =  t ) )
7634ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  A  e.  RR )
7735ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  B  e.  RR )
78 ovolicc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
7978ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  A  <_  B )
80 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)
8114adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
82 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i 
Fin ) )
83 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  U. v )
84 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  g : v --> NN )
85 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  t
) )  =  t )
86 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  x  ->  (
g `  t )  =  ( g `  x ) )
8786fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  x  ->  (
( (,)  o.  f
) `  ( g `  t ) )  =  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  x )
) )
88 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  x  ->  t  =  x )
8987, 88eqeq12d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t  <->  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  x
) )  =  x ) )
9089rspccva 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t  /\  x  e.  v )  ->  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  x )
)  =  x )
9185, 90sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  /\  x  e.  v )  ->  (
( (,)  o.  f
) `  ( g `  x ) )  =  x )
92 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { u  e.  v  |  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) }  =  { u  e.  v  |  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) }
9376, 77, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 91, 92ovolicc2lem5 18933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) )
9493expr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
( g : v --> NN  /\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  t
) )  =  t )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
9594exlimdv 1627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  ( E. g ( g : v --> NN  /\  A. t  e.  v  (
( (,)  o.  f
) `  ( g `  t ) )  =  t )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
9675, 95mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) )
9796expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( A [,] B )  C_  U. v  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
9897rexlimdva 2701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
9998adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ( E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
10056, 99mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) )
101 breq2 4064 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( ( B  -  A )  <_  z  <->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
102100, 101syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  (
z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( B  -  A
)  <_  z )
)
103102expr 598 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  (
( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  -> 
( z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( B  -  A
)  <_  z )
) )
104103imp3a 420 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  (
( ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) )  ->  ( B  -  A )  <_  z
) )
105104rexlimdva 2701 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) )  -> 
( B  -  A
)  <_  z )
)
1062, 105syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  M  ->  ( B  -  A
)  <_  z )
)
107106ralrimiv 2659 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  M  ( B  -  A
)  <_  z )
108 ssrab2 3292 . . . . 5  |-  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } 
C_  RR*
1091, 108eqsstri 3242 . . . 4  |-  M  C_  RR*
11035, 34resubcld 9256 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
111110rexrd 8926 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR* )
112 infmxrgelb 10700 . . . 4  |-  ( ( M  C_  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR* )  ->  (
( B  -  A
)  <_  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. z  e.  M  ( B  -  A
)  <_  z )
)
113109, 111, 112sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  <_  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. z  e.  M  ( B  -  A
)  <_  z )
)
114107, 113mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  ) )
1151ovolval 18886 . . 3  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  RR  ->  ( vol
* `  ( A [,] B ) )  =  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  )
)
11642, 115syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A [,] B ) )  =  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  ) )
117114, 116breqtrrd 4086 1  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  ( vol * `
 ( A [,] B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1532    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   E.wrex 2578   {crab 2581    i^i cin 3185    C_ wss 3186   (/)c0 3489   ~Pcpw 3659   U.cuni 3864   class class class wbr 4060    X. cxp 4724   `'ccnv 4725   ran crn 4727    o. ccom 4730    Fn wfn 5287   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    ^m cmap 6815   Fincfn 6906   supcsup 7238   RRcr 8781   1c1 8783    + caddc 8785   RR*cxr 8911    < clt 8912    <_ cle 8913    - cmin 9082   NNcn 9791   (,)cioo 10703   [,]cicc 10706    seq cseq 11093   abscabs 11766   ↾t crest 13374   topGenctg 13391   Topctop 16687   TopBasesctb 16691   Compccmp 17169   vol *covol 18875
This theorem is referenced by:  ovolicc  18935
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ioo 10707  df-ico 10709  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-sum 12206  df-rest 13376  df-topgen 13393  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-cmp 17170  df-ovol 18877
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