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Theorem ovolicc2 18881
Description: The measure of a closed interval is upper bounded by its length. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ovolicc.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ovolicc.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ovolicc2.m  |-  M  =  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) }
Assertion
Ref Expression
ovolicc2  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  ( vol * `
 ( A [,] B ) ) )
Distinct variable groups:    y, f, A    B, f, y    y, M    ph, f, y
Allowed substitution hint:    M( f)

Proof of Theorem ovolicc2
Dummy variables  g 
k  t  u  v  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolicc2.m . . . . . 6  |-  M  =  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) }
21elovolm 18834 . . . . 5  |-  ( z  e.  M  <->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
3 ioof 10741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
4 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
6 dffn3 5396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* ) 
<->  (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ran  (,) )
75, 6mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ran  (,)
8 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
9 reex 8828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  RR  e.  _V
109, 9xpex 4801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
1110inex2 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  e.  _V
12 nnex 9752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN  e.  _V
1311, 12elmap 6796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
148, 13sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
15 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
16 ressxr 8876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR  C_  RR*
17 xpss12 4792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
1816, 16, 17mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
1915, 18sstri 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
20 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  -> 
f : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
2114, 19, 20sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  f : NN --> ( RR*  X.  RR* ) )
22 fco 5398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ran  (,)  /\  f : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  f
) : NN --> ran  (,) )
237, 21, 22sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( (,)  o.  f ) : NN --> ran  (,) )
2423adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ( (,)  o.  f ) : NN --> ran  (,) )
25 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (,)  o.  f ) : NN --> ran  (,)  ->  ran  ( (,)  o.  f )  C_  ran  (,) )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ran  ( (,)  o.  f ) 
C_  ran  (,) )
27 retopbas 18269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
28 bastg 16704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
3026, 29syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ran  ( (,)  o.  f ) 
C_  ( topGen `  ran  (,) ) )
31 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  _V
3231elpw2 4175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( (,)  o.  f
)  e.  ~P ( topGen `
 ran  (,) )  <->  ran  ( (,)  o.  f
)  C_  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
3330, 32sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ran  ( (,)  o.  f )  e.  ~P ( topGen ` 
ran  (,) ) )
34 ovolicc.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
35 ovolicc.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
36 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
37 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )
3836, 37icccmp 18330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  e.  Comp )
3934, 35, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  e.  Comp )
40 retop 18270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
41 iccssre 10731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
4234, 35, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
43 uniretop 18271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
4443cmpsub 17127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  e.  Comp  <->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  ran  (,) )
( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v
) ) )
4540, 42, 44sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  e. 
Comp 
<-> 
A. u  e.  ~P  ( topGen `  ran  (,) )
( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v
) ) )
4639, 45mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  ran  (,) )
( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v
) )
4746adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  ran  (,) ) ( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v ) )
48 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f ) )
49 unieq 3836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  ->  U. u  =  U. ran  ( (,)  o.  f
) )
5049sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  -> 
( ( A [,] B )  C_  U. u  <->  ( A [,] B ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  f ) ) )
51 pweq 3628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  ->  ~P u  =  ~P ran  ( (,)  o.  f
) )
5251ineq1d 3369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  -> 
( ~P u  i^i 
Fin )  =  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin ) )
5352rexeqdv 2743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  -> 
( E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v ) )
5450, 53imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  -> 
( ( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v )  <->  ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  ->  E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v ) ) )
5554rspcv 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( (,)  o.  f
)  e.  ~P ( topGen `
 ran  (,) )  ->  ( A. u  e. 
~P  ( topGen `  ran  (,) ) ( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v )  ->  (
( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  ->  E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v
) ) )
5633, 47, 48, 55syl3c 57 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v )
57 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i 
Fin ) )
58 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  <->  ( v  e.  ~P ran  ( (,) 
o.  f )  /\  v  e.  Fin )
)
5957, 58sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
v  e.  ~P ran  ( (,)  o.  f )  /\  v  e.  Fin ) )
6059simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  v  e.  Fin )
6159simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  v  e.  ~P ran  ( (,) 
o.  f ) )
62 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  ~P ran  ( (,)  o.  f )  -> 
v  C_  ran  ( (,) 
o.  f ) )
6361, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  v  C_ 
ran  ( (,)  o.  f ) )
6463sseld 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
t  e.  v  -> 
t  e.  ran  ( (,)  o.  f ) ) )
65 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( (,)  o.  f ) : NN --> ran  (,)  ->  ( (,)  o.  f
)  Fn  NN )
6623, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( (,)  o.  f )  Fn  NN )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  ( (,)  o.  f )  Fn  NN )
68 fvelrnb 5570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (,)  o.  f )  Fn  NN  ->  (
t  e.  ran  ( (,)  o.  f )  <->  E. k  e.  NN  ( ( (,) 
o.  f ) `  k )  =  t ) )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
t  e.  ran  ( (,)  o.  f )  <->  E. k  e.  NN  ( ( (,) 
o.  f ) `  k )  =  t ) )
7064, 69sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
t  e.  v  ->  E. k  e.  NN  ( ( (,)  o.  f ) `  k
)  =  t ) )
7170ralrimiv 2625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  A. t  e.  v  E. k  e.  NN  ( ( (,) 
o.  f ) `  k )  =  t )
72 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( g `  t )  ->  (
( (,)  o.  f
) `  k )  =  ( ( (,) 
o.  f ) `  ( g `  t
) ) )
7372eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( g `  t )  ->  (
( ( (,)  o.  f ) `  k
)  =  t  <->  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  t
) )  =  t ) )
7473ac6sfi 7101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  A. t  e.  v  E. k  e.  NN  (
( (,)  o.  f
) `  k )  =  t )  ->  E. g ( g : v --> NN  /\  A. t  e.  v  (
( (,)  o.  f
) `  ( g `  t ) )  =  t ) )
7560, 71, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  E. g
( g : v --> NN  /\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  t
) )  =  t ) )
7634ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  A  e.  RR )
7735ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  B  e.  RR )
78 ovolicc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
7978ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  A  <_  B )
80 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)
8114adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
82 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i 
Fin ) )
83 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  U. v )
84 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  g : v --> NN )
85 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  t
) )  =  t )
86 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  x  ->  (
g `  t )  =  ( g `  x ) )
8786fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  x  ->  (
( (,)  o.  f
) `  ( g `  t ) )  =  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  x )
) )
88 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  x  ->  t  =  x )
8987, 88eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t  <->  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  x
) )  =  x ) )
9089rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t  /\  x  e.  v )  ->  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  x )
)  =  x )
9185, 90sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  /\  x  e.  v )  ->  (
( (,)  o.  f
) `  ( g `  x ) )  =  x )
92 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { u  e.  v  |  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) }  =  { u  e.  v  |  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) }
9376, 77, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 91, 92ovolicc2lem5 18880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) )
9493expr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
( g : v --> NN  /\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  t
) )  =  t )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
9594exlimdv 1664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  ( E. g ( g : v --> NN  /\  A. t  e.  v  (
( (,)  o.  f
) `  ( g `  t ) )  =  t )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
9675, 95mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) )
9796expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( A [,] B )  C_  U. v  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
9897rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
9998adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ( E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
10056, 99mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) )
101 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( ( B  -  A )  <_  z  <->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
102100, 101syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  (
z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( B  -  A
)  <_  z )
)
103102expr 598 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  (
( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  -> 
( z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( B  -  A
)  <_  z )
) )
104103imp3a 420 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  (
( ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) )  ->  ( B  -  A )  <_  z
) )
105104rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) )  -> 
( B  -  A
)  <_  z )
)
1062, 105syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  M  ->  ( B  -  A
)  <_  z )
)
107106ralrimiv 2625 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  M  ( B  -  A
)  <_  z )
108 ssrab2 3258 . . . . 5  |-  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } 
C_  RR*
1091, 108eqsstri 3208 . . . 4  |-  M  C_  RR*
11035, 34resubcld 9211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
111110rexrd 8881 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR* )
112 infmxrgelb 10653 . . . 4  |-  ( ( M  C_  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR* )  ->  (
( B  -  A
)  <_  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. z  e.  M  ( B  -  A
)  <_  z )
)
113109, 111, 112sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  <_  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. z  e.  M  ( B  -  A
)  <_  z )
)
114107, 113mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  ) )
1151ovolval 18833 . . 3  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  RR  ->  ( vol
* `  ( A [,] B ) )  =  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  )
)
11642, 115syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A [,] B ) )  =  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  ) )
117114, 116breqtrrd 4049 1  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  ( vol * `
 ( A [,] B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   ran crn 4690    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   supcsup 7193   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659    seq cseq 11046   abscabs 11719   ↾t crest 13325   topGenctg 13342   Topctop 16631   TopBasesctb 16635   Compccmp 17113   vol *covol 18822
This theorem is referenced by:  ovolicc  18882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824
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