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Theorem ovolicc2lem3 19415
Description: Lemma for ovolicc2 19418. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ovolicc.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ovolicc.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ovolicc2.4  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ovolicc2.5  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ovolicc2.6  |-  ( ph  ->  U  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  F )  i^i  Fin ) )
ovolicc2.7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. U )
ovolicc2.8  |-  ( ph  ->  G : U --> NN )
ovolicc2.9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  U )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
ovolicc2.10  |-  T  =  { u  e.  U  |  ( u  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) }
ovolicc2.11  |-  ( ph  ->  H : T --> T )
ovolicc2.12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( H `  t
) )
ovolicc2.13  |-  ( ph  ->  A  e.  C )
ovolicc2.14  |-  ( ph  ->  C  e.  T )
ovolicc2.15  |-  K  =  seq  1 ( ( H  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { C } ) )
ovolicc2.16  |-  W  =  { n  e.  NN  |  B  e.  ( K `  n ) }
Assertion
Ref Expression
ovolicc2lem3  |-  ( (
ph  /\  ( N  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  /\  P  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m } ) )  -> 
( N  =  P  <-> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  N
) ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  P
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n, t, u, A    B, m, n, t, u    t, H    C, m, n, t    n, F, t    n, K, t, u    n, G, t   
m, W, n    ph, m, n, t    T, n, t   
n, N, t, u    U, n, t, u
Allowed substitution hints:    ph( u)    C( u)    P( u, t, m, n)    S( u, t, m, n)    T( u, m)    U( m)    F( u, m)    G( u, m)    H( u, m, n)    K( m)    N( m)    W( u, t)

Proof of Theorem ovolicc2lem3
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  ( K `  y )  =  ( K `  k ) )
21fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( y  =  k  ->  ( G `  ( K `  y ) )  =  ( G `  ( K `  k )
) )
32fveq2d 5732 . . 3  |-  ( y  =  k  ->  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) )  =  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )
43fveq2d 5732 . 2  |-  ( y  =  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 y ) ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  k ) ) ) ) )
5 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( y  =  N  ->  ( K `  y )  =  ( K `  N ) )
65fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  ( G `  ( K `  y ) )  =  ( G `  ( K `  N )
) )
76fveq2d 5732 . . 3  |-  ( y  =  N  ->  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) )  =  ( F `  ( G `  ( K `  N ) ) ) )
87fveq2d 5732 . 2  |-  ( y  =  N  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 y ) ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  N ) ) ) ) )
9 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( y  =  P  ->  ( K `  y )  =  ( K `  P ) )
109fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( y  =  P  ->  ( G `  ( K `  y ) )  =  ( G `  ( K `  P )
) )
1110fveq2d 5732 . . 3  |-  ( y  =  P  ->  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) )  =  ( F `  ( G `  ( K `  P ) ) ) )
1211fveq2d 5732 . 2  |-  ( y  =  P  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 y ) ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  P ) ) ) ) )
13 ssrab2 3428 . . 3  |-  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  C_  NN
14 nnssre 10004 . . 3  |-  NN  C_  RR
1513, 14sstri 3357 . 2  |-  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  C_  RR
1613sseli 3344 . . 3  |-  ( y  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  ->  y  e.  NN )
17 ovolicc2.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
18 inss2 3562 . . . . . . 7  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
19 fss 5599 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR ) )  ->  F : NN --> ( RR  X.  RR ) )
2017, 18, 19sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR 
X.  RR ) )
2120adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( RR  X.  RR ) )
22 ovolicc2.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : U --> NN )
2322adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  G : U
--> NN )
24 nnuz 10521 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
25 ovolicc2.15 . . . . . . . . . 10  |-  K  =  seq  1 ( ( H  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { C } ) )
26 1z 10311 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
28 ovolicc2.14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  T )
29 ovolicc2.11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H : T --> T )
3024, 25, 27, 28, 29algrf 13064 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K : NN --> T )
3130adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  K : NN
--> T )
32 ovolicc2.10 . . . . . . . . 9  |-  T  =  { u  e.  U  |  ( u  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) }
33 ssrab2 3428 . . . . . . . . 9  |-  { u  e.  U  |  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) }  C_  U
3432, 33eqsstri 3378 . . . . . . . 8  |-  T  C_  U
35 fss 5599 . . . . . . . 8  |-  ( ( K : NN --> T  /\  T  C_  U )  ->  K : NN --> U )
3631, 34, 35sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  K : NN
--> U )
37 ffvelrn 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( K : NN --> U  /\  y  e.  NN )  ->  ( K `  y
)  e.  U )
3836, 37sylancom 649 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( K `
 y )  e.  U )
3923, 38ffvelrnd 5871 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( G `
 ( K `  y ) )  e.  NN )
4021, 39ffvelrnd 5871 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( F `
 ( G `  ( K `  y ) ) )  e.  ( RR  X.  RR ) )
41 xp2nd 6377 . . . 4  |-  ( ( F `  ( G `
 ( K `  y ) ) )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  e.  RR )
4240, 41syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  e.  RR )
4316, 42sylan2 461 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m } )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  e.  RR )
4413sseli 3344 . . . 4  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  ->  k  e.  NN )
4544ad2antll 710 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  /\  k  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m } ) )  -> 
k  e.  NN )
4616anim2i 553 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m } )  ->  ( ph  /\  y  e.  NN )
)
4746adantrr 698 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  /\  k  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m } ) )  -> 
( ph  /\  y  e.  NN ) )
48 breq1 4215 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
n  <_  m  <->  k  <_  m ) )
4948ralbidv 2725 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( A. m  e.  W  n  <_  m  <->  A. m  e.  W  k  <_  m ) )
5049elrab 3092 . . . . 5  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  <->  ( k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  k  <_  m ) )
5150simprbi 451 . . . 4  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  ->  A. m  e.  W  k  <_  m )
5251ad2antll 710 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  /\  k  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m } ) )  ->  A. m  e.  W  k  <_  m )
53 breq1 4215 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
x  <_  m  <->  1  <_  m ) )
5453ralbidv 2725 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( A. m  e.  W  x  <_  m  <->  A. m  e.  W  1  <_  m ) )
55 breq2 4216 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
y  <  x  <->  y  <  1 ) )
56 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  ( K `  x )  =  ( K ` 
1 ) )
5756fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  ( G `  ( K `  x ) )  =  ( G `  ( K `  1 )
) )
5857fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) )  =  ( F `  ( G `  ( K `  1 ) ) ) )
5958fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 x ) ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  1 ) ) ) ) )
6059breq2d 4224 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) )  <-> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  1
) ) ) ) ) )
6155, 60imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( y  <  x  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) ) )  <->  ( y  <  1  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  1 ) ) ) ) ) ) )
6254, 61imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( A. m  e.  W  x  <_  m  ->  ( y  <  x  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) ) ) )  <->  ( A. m  e.  W  1  <_  m  ->  ( y  <  1  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  1 ) ) ) ) ) ) ) )
6362imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  x  <_  m  ->  ( y  <  x  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  1  <_  m  ->  ( y  <  1  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  1 ) ) ) ) ) ) ) ) )
64 breq1 4215 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (
x  <_  m  <->  k  <_  m ) )
6564ralbidv 2725 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( A. m  e.  W  x  <_  m  <->  A. m  e.  W  k  <_  m ) )
66 breq2 4216 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (
y  <  x  <->  y  <  k ) )
67 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  ( K `  x )  =  ( K `  k ) )
6867fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  ( G `  ( K `  x ) )  =  ( G `  ( K `  k )
) )
6968fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) )  =  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )
7069fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 x ) ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  k ) ) ) ) )
7170breq2d 4224 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) )  <-> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) )
7266, 71imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( y  <  x  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) ) )  <->  ( y  < 
k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) ) ) ) )
7365, 72imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
( A. m  e.  W  x  <_  m  ->  ( y  <  x  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) ) ) )  <->  ( A. m  e.  W  k  <_  m  ->  ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) ) ) ) ) )
7473imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  x  <_  m  ->  ( y  <  x  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  k  <_  m  ->  ( y  < 
k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) ) ) ) ) ) )
75 breq1 4215 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  <_  m  <->  ( k  +  1 )  <_  m ) )
7675ralbidv 2725 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. m  e.  W  x  <_  m  <->  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )
77 breq2 4216 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
y  <  x  <->  y  <  ( k  +  1 ) ) )
78 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( K `  x )  =  ( K `  ( k  +  1 ) ) )
7978fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( G `  ( K `  x ) )  =  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) )
8079fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) )  =  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
8180fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 x ) ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
8281breq2d 4224 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) )  <-> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
8377, 82imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( y  <  x  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) ) )  <->  ( y  < 
( k  +  1 )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
8476, 83imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A. m  e.  W  x  <_  m  ->  ( y  <  x  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) ) ) )  <->  ( A. m  e.  W  (
k  +  1 )  <_  m  ->  (
y  <  ( k  +  1 )  -> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) ) )
8584imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  x  <_  m  ->  ( y  <  x  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  x
) ) ) ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  ( y  < 
( k  +  1 )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
86 nnnlt1 10030 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  -.  y  <  1 )
8786adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  -.  y  <  1 )
8887pm2.21d 100 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  <  1  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 1 ) ) ) ) ) )
8988a1d 23 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  1  <_  m  ->  ( y  <  1  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  1 ) ) ) ) ) ) )
90 nnre 10007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
9190adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  W )  ->  k  e.  RR )
9291lep1d 9942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  W )  ->  k  <_  ( k  +  1 ) )
93 peano2re 9239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
9491, 93syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  W )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
95 ovolicc2.16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  W  =  { n  e.  NN  |  B  e.  ( K `  n ) }
96 ssrab2 3428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { n  e.  NN  |  B  e.  ( K `  n
) }  C_  NN
9795, 96eqsstri 3378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  W  C_  NN
9897, 14sstri 3357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  W  C_  RR
9998sseli 3344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  W  ->  m  e.  RR )
10099adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  W )  ->  m  e.  RR )
101 letr 9167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  ( ( k  <_ 
( k  +  1 )  /\  ( k  +  1 )  <_  m )  ->  k  <_  m ) )
10291, 94, 100, 101syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  W )  ->  ( ( k  <_ 
( k  +  1 )  /\  ( k  +  1 )  <_  m )  ->  k  <_  m ) )
10392, 102mpand 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  W )  ->  ( ( k  +  1 )  <_  m  ->  k  <_  m )
)
104103ralimdva 2784 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  A. m  e.  W  k  <_  m ) )
105104imim1d 71 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( A. m  e.  W  k  <_  m  ->  ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) )  ->  ( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  ( y  <  k  -> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) ) ) )
106105adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( A. m  e.  W  k  <_  m  ->  ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) )  ->  ( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  ( y  <  k  -> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) ) ) )
107 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  y  e.  NN )
108 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  k  e.  NN )
109 nnleltp1 10329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( y  <_  k  <->  y  <  ( k  +  1 ) ) )
110107, 108, 109syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( y  <_ 
k  <->  y  <  (
k  +  1 ) ) )
111107nnred 10015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  y  e.  RR )
112108nnred 10015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  k  e.  RR )
113111, 112leloed 9216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( y  <_ 
k  <->  ( y  < 
k  \/  y  =  k ) ) )
114110, 113bitr3d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( y  < 
( k  +  1 )  <->  ( y  < 
k  \/  y  =  k ) ) )
115 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ph )
116 ltp1 9848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  RR  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
117 ltnle 9155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( k  < 
( k  +  1 )  <->  -.  ( k  +  1 )  <_ 
k ) )
11893, 117mpdan 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  <  ( k  +  1 )  <->  -.  (
k  +  1 )  <_  k ) )
119116, 118mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  RR  ->  -.  ( k  +  1 )  <_  k )
120112, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_ 
k )
121 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  k  ->  (
( k  +  1 )  <_  m  <->  ( k  +  1 )  <_ 
k ) )
122121rspccv 3049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. m  e.  W  (
k  +  1 )  <_  m  ->  (
k  e.  W  -> 
( k  +  1 )  <_  k )
)
123122ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( k  e.  W  ->  ( k  +  1 )  <_ 
k ) )
124120, 123mtod 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  -.  k  e.  W )
125 ovolicc.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
126 ovolicc.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
127 ovolicc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
128 ovolicc2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
129 ovolicc2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  U  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  F )  i^i  Fin ) )
130 ovolicc2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. U )
131 ovolicc2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  U )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
132 ovolicc2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( H `  t
) )
133 ovolicc2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  A  e.  C )
134125, 126, 127, 128, 17, 129, 130, 22, 131, 32, 29, 132, 133, 28, 25, 95ovolicc2lem2 19414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  k  e.  W ) )  -> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  <_  B )
135115, 108, 124, 134syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  <_  B )
136 iftrue 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  k ) ) ) )  <_  B  ->  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  k ) ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) ) ,  B )  =  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  k ) ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) ) ,  B )  =  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) )
13830ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  K : NN --> T )
139138, 108ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( K `  k )  e.  T
)
140132ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( H `  t
) )
141140ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( H `  t
) )
142 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( t  =  ( K `  k )  ->  ( G `  t )  =  ( G `  ( K `  k ) ) )
143142fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( t  =  ( K `  k )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  =  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )
144143fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( t  =  ( K `  k )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  k ) ) ) ) )
145144breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( t  =  ( K `  k )  ->  (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B  <->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )  <_  B )
)
146 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( t  =  ( K `  k )  ->  B  =  B )
147145, 144, 146ifbieq12d 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  =  ( K `  k )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  =  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )  <_  B , 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ,  B ) )
148 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  =  ( K `  k )  ->  ( H `  t )  =  ( H `  ( K `  k ) ) )
149147, 148eleq12d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  ( K `  k )  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( H `  t
)  <->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )  <_  B , 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ,  B )  e.  ( H `  ( K `  k )
) ) )
150149rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K `  k )  e.  T  ->  ( A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( H `  t
)  ->  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  k ) ) ) ) ,  B )  e.  ( H `  ( K `
 k ) ) ) )
151139, 141, 150sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  k ) ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) ) ,  B )  e.  ( H `  ( K `  k ) ) )
152137, 151eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  e.  ( H `  ( K `  k ) ) )
15324, 25, 27, 28, 29algrp1 13065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( K `
 ( k  +  1 ) )  =  ( H `  ( K `  k )
) )
154153ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( K `  ( k  +  1 ) )  =  ( H `  ( K `
 k ) ) )
155152, 154eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  e.  ( K `  ( k  +  1 ) ) )
156138, 34, 35sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  K : NN --> U )
157108peano2nnd 10017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
158156, 157ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( K `  ( k  +  1 ) )  e.  U
)
159125, 126, 127, 128, 17, 129, 130, 22, 131ovolicc2lem1 19413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( K `  ( k  +  1 ) )  e.  U
)  ->  ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 k ) ) ) )  e.  ( K `  ( k  +  1 ) )  <-> 
( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  ( G `  ( K `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 k ) ) ) )  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 k ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
160115, 158, 159syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )  e.  ( K `
 ( k  +  1 ) )  <->  ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 k ) ) ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
161155, 160mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `
 ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  < 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
162161simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
16342adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  e.  RR )
16420ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  F : NN --> ( RR  X.  RR ) )
16522ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  G : U --> NN )
166156, 108ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( K `  k )  e.  U
)
167165, 166ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( G `  ( K `  k ) )  e.  NN )
168164, 167ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( F `  ( G `  ( K `
 k ) ) )  e.  ( RR 
X.  RR ) )
169 xp2nd 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( G `
 ( K `  k ) ) )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )  e.  RR )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  e.  RR )
171165, 158ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) )  e.  NN )
172164, 171ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( F `  ( G `  ( K `
 ( k  +  1 ) ) ) )  e.  ( RR 
X.  RR ) )
173 xp2nd 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( G `
 ( K `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
174172, 173syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
175 lttr 9152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 k ) ) ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
176163, 170, 174, 175syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  y ) ) ) )  < 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
177162, 176mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
178177imim2d 50 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 k ) ) ) ) )  -> 
( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
179178com23 74 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( y  < 
k  ->  ( (
y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  y ) ) ) )  < 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
1804breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  k  ->  (
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) )  <-> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
181162, 180syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( y  =  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
182181a1dd 44 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( y  =  k  ->  ( (
y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  y ) ) ) )  < 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
183179, 182jaod 370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( ( y  <  k  \/  y  =  k )  -> 
( ( y  < 
k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k ) ) ) ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
184114, 183sylbid 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( y  < 
( k  +  1 )  ->  ( (
y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  y ) ) ) )  < 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
185184com23 74 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m ) )  ->  ( ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `
 k ) ) ) ) )  -> 
( y  <  (
k  +  1 )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
186185expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  ( ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) )  ->  ( y  <  ( k  +  1 )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y ) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) ) )
187186a2d 24 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) )  ->  ( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  ( y  <  ( k  +  1 )  -> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) ) )
188106, 187syld 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( A. m  e.  W  k  <_  m  ->  ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) )  ->  ( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  ( y  <  ( k  +  1 )  -> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) ) )
189188expcom 425 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  /\  y  e.  NN )  ->  (
( A. m  e.  W  k  <_  m  ->  ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) )  ->  ( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  ( y  <  ( k  +  1 )  -> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
190189a2d 24 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  k  <_  m  ->  ( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  ( k  +  1 )  <_  m  ->  ( y  <  (
k  +  1 )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
19163, 74, 85, 74, 89, 190nnind 10018 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  W  k  <_  m  ->  (
y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  ( K `  y ) ) ) )  < 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) ) ) )
19245, 47, 52, 191syl3c 59 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  /\  k  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m } ) )  -> 
( y  <  k  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  y
) ) ) )  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  k
) ) ) ) ) )
1934, 8, 12, 15, 43, 192eqord1 9555 1  |-  ( (
ph  /\  ( N  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m }  /\  P  e.  { n  e.  NN  |  A. m  e.  W  n  <_  m } ) )  -> 
( N  =  P  <-> 
( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  N
) ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `  ( G `  ( K `  P
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   {crab 2709    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ifcif 3739   ~Pcpw 3799   {csn 3814   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    X. cxp 4876   ran crn 4879    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1stc1st 6347   2ndc2nd 6348   Fincfn 7109   RRcr 8989   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   NNcn 10000   ZZcz 10282   (,)cioo 10916   [,]cicc 10919    seq cseq 11323   abscabs 12039
This theorem is referenced by:  ovolicc2lem4  19416
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-ioo 10920  df-icc 10923  df-fz 11044  df-seq 11324
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