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Theorem ovolicc2lem5 19407
Description: Lemma for ovolicc2 19408. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ovolicc.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ovolicc.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ovolicc2.4  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ovolicc2.5  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ovolicc2.6  |-  ( ph  ->  U  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  F )  i^i  Fin ) )
ovolicc2.7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. U )
ovolicc2.8  |-  ( ph  ->  G : U --> NN )
ovolicc2.9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  U )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
ovolicc2.10  |-  T  =  { u  e.  U  |  ( u  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) }
Assertion
Ref Expression
ovolicc2lem5  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    u, t, A    t, B, u    t, F    t, G    ph, t    t, T    t, U, u
Allowed substitution hints:    ph( u)    S( u, t)    T( u)    F( u)    G( u)

Proof of Theorem ovolicc2lem5
Dummy variables  h  m  n  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolicc2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. U )
2 ovolicc.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32rexrd 9124 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
4 ovolicc.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
54rexrd 9124 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
6 ovolicc.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
7 lbicc2 11003 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
83, 5, 6, 7syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
91, 8sseldd 3341 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  U. U
)
10 eluni2 4011 . . 3  |-  ( A  e.  U. U  <->  E. z  e.  U  A  e.  z )
119, 10sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  U  A  e.  z )
12 ovolicc2.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  F )  i^i  Fin ) )
13 elin 3522 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  F )  i^i  Fin )  <->  ( U  e.  ~P ran  ( (,) 
o.  F )  /\  U  e.  Fin )
)
1412, 13sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U  e.  ~P ran  ( (,)  o.  F
)  /\  U  e.  Fin ) )
1514simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
16 ovolicc2.10 . . . . . . 7  |-  T  =  { u  e.  U  |  ( u  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) }
17 ssrab2 3420 . . . . . . 7  |-  { u  e.  U  |  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) }  C_  U
1816, 17eqsstri 3370 . . . . . 6  |-  T  C_  U
19 ssfi 7321 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  T  C_  U )  ->  T  e.  Fin )
2015, 18, 19sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  Fin )
211adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( A [,] B )  C_  U. U )
22 inss2 3554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
23 ovolicc2.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : U --> NN )
24 ineq1 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  t  ->  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) )
2524neeq1d 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  t  ->  (
( u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/)  <->  ( t  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) ) )
2625, 16elrab2 3086 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  T  <->  ( t  e.  U  /\  (
t  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) ) )
2726simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  T  ->  t  e.  U )
28 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : U --> NN  /\  t  e.  U )  ->  ( G `  t
)  e.  NN )
2923, 27, 28syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  NN )
30 ovolicc2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3130ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( G `  t )  e.  NN )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3229, 31syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3322, 32sseldi 3338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  e.  ( RR  X.  RR ) )
34 xp2nd 6369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  ( G `
 t ) )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  e.  RR )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR )
364adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  B  e.  RR )
37 ifcl 3767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR )
3835, 36, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR )
3926simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  T  ->  (
t  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
4039adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
41 n0 3629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) )
4240, 41sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E. y 
y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) )
432adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
44 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) )
45 elin 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B
) )  <->  ( y  e.  t  /\  y  e.  ( A [,] B
) ) )
4644, 45sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  t  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )
4746simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
484adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
49 elicc2 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
5043, 48, 49syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  ( A [,] B )  <->  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <_  B ) ) )
5147, 50mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) )
5251simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  RR )
5333adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  e.  ( RR  X.  RR ) )
5453, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR )
5551simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  A  <_  y )
5646simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  t )
5729adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( G `  t )  e.  NN )
58 fvco3 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  ( G `  t )  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  ( (,) `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
5930, 58sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( G `  t )  e.  NN )  ->  ( ( (,) 
o.  F ) `  ( G `  t ) )  =  ( (,) `  ( F `  ( G `  t )
) ) )
6057, 59syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  ( (,) `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
61 ovolicc2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  U )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
6227, 61sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
6362adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
64 1st2nd2 6378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F `  ( G `
 t ) )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( F `
 ( G `  t ) )  = 
<. ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )
>. )
6553, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  = 
<. ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )
>. )
6665fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( (,) `  ( F `  ( G `  t ) ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )
>. ) )
67 df-ov 6076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1st `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )
>. )
6866, 67syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( (,) `  ( F `  ( G `  t ) ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
6960, 63, 683eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  t  =  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
7056, 69eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
71 xp1st 6368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  ( G `
 t ) )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) )  e.  RR )
7253, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR )
73 rexr 9120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1st `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  e.  RR  ->  ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR* )
74 rexr 9120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  e.  RR  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR* )
75 elioo2 10947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR*  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR* )  ->  ( y  e.  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) ) ) ) )
7673, 74, 75syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) ) ) ) )
7772, 54, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  ( ( 1st `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) ) ) ) )
7870, 77mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
7978simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
8052, 54, 79ltled 9211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
8143, 52, 54, 55, 80letrd 9217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
8281expr 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
8382exlimdv 1646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( E. y  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
8442, 83mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
856adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A  <_  B )
86 breq2 4208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  =  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  -> 
( A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <->  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B ) ) )
87 breq2 4208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  -> 
( A  <_  B  <->  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B ) ) )
8886, 87ifboth 3762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B ) )
8984, 85, 88syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B ) )
90 min2 10767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B )
9135, 36, 90syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B )
92 elicc2 10965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR  /\  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B ) ) )
932, 4, 92syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR  /\  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B ) ) )
9493adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR  /\  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B ) ) )
9538, 89, 91, 94mpbir3and 1137 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
) )
9621, 95sseldd 3341 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e. 
U. U )
97 eluni2 4011 . . . . . . . 8  |-  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e. 
U. U  <->  E. x  e.  U  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
9896, 97sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E. x  e.  U  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
99 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  ->  x  e.  U )
100 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
10195adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
) )
102 inelcm 3674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
103100, 101, 102syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  -> 
( x  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
104 ineq1 3527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  x  ->  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =  ( x  i^i  ( A [,] B ) ) )
105104neeq1d 2611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  x  ->  (
( u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/)  <->  ( x  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) ) )
106105, 16elrab2 3086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  T  <->  ( x  e.  U  /\  (
x  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) ) )
10799, 103, 106sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  ->  x  e.  T )
108107, 100jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  -> 
( x  e.  T  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )
109108ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )  ->  (
x  e.  T  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) ) )
110109reximdv2 2807 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( E. x  e.  U  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x  ->  E. x  e.  T  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )
11198, 110mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E. x  e.  T  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
112111ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  E. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
113 eleq2 2496 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( h `  t )  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x  <->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
114113ac6sfi 7343 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Fin  /\  A. t  e.  T  E. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )  ->  E. h
( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
11520, 112, 114syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. h ( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
116115adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  U  /\  A  e.  z ) )  ->  E. h ( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
117 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  ( G `  x )  =  ( G `  t ) )
118117fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  ( F `  ( G `  x ) )  =  ( F `  ( G `  t )
) )
119118fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) )
120119breq1d 4214 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  t  ->  (
( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B  <->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B
) )
121 eqidd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  t  ->  B  =  B )
122120, 119, 121ifbieq12d 3753 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  =  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B ) )
123 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  (
h `  x )  =  ( h `  t ) )
124122, 123eleq12d 2503 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
)  <->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
125124cbvralv 2924 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
)  <->  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )
1262adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A  e.  RR )
1274adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  B  e.  RR )
1286adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A  <_  B
)
129 ovolicc2.4 . . . . . . . . 9  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
13030adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
13112adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  U  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  F )  i^i 
Fin ) )
1321adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  U. U
)
13323adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  G : U --> NN )
13461adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( z  e.  U  /\  A  e.  z
)  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  /\  t  e.  U
)  ->  ( ( (,)  o.  F ) `  ( G `  t ) )  =  t )
135 simprrl 741 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  h : T --> T )
136 simprrr 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) )
137124rspccva 3043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
)  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )
138136, 137sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( z  e.  U  /\  A  e.  z
)  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  /\  t  e.  T
)  ->  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )
139 simprlr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A  e.  z )
140 simprll 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  z  e.  U
)
1418adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
142 inelcm 3674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  z  /\  A  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( z  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
143139, 141, 142syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  ( z  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) )
144 ineq1 3527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =  ( z  i^i  ( A [,] B ) ) )
145144neeq1d 2611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) ) )
146145, 16elrab2 3086 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  T  <->  ( z  e.  U  /\  (
z  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) ) )
147140, 143, 146sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  z  e.  T
)
148 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  seq  1
( ( h  o. 
1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) )  =  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) )
149 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
z } ) ) `
 m )  =  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) ) `  n ) )
150149eleq2d 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
z } ) ) `
 m )  <->  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) ) `  n ) ) )
151150cbvrabv 2947 . . . . . . . . 9  |-  { m  e.  NN  |  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) ) `  m ) }  =  { n  e.  NN  |  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) ) `  n ) }
152 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  sup ( { m  e.  NN  |  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
z } ) ) `
 m ) } ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( { m  e.  NN  |  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
z } ) ) `
 m ) } ,  RR ,  `'  <  )
153126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 16, 135, 138, 139, 147, 148, 151, 152ovolicc2lem4 19406 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
154153anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  U  /\  A  e.  z )
)  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) )  -> 
( B  -  A
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
155154expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  U  /\  A  e.  z )
)  /\  h : T
--> T )  ->  ( A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
)  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
156125, 155syl5bir 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  U  /\  A  e.  z )
)  /\  h : T
--> T )  ->  ( A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
)  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
157156expimpd 587 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  U  /\  A  e.  z ) )  -> 
( ( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
) )
158157exlimdv 1646 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  U  /\  A  e.  z ) )  -> 
( E. h ( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
) )
159116, 158mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  U  /\  A  e.  z ) )  -> 
( B  -  A
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
16011, 159rexlimddv 2826 1  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ifcif 3731   ~Pcpw 3791   {csn 3806   <.cop 3809   U.cuni 4007   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   ran crn 4871    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1stc1st 6339   2ndc2nd 6340   Fincfn 7101   supcsup 7437   RRcr 8979   1c1 8981    + caddc 8983   RR*cxr 9109    < clt 9110    <_ cle 9111    - cmin 9281   NNcn 9990   (,)cioo 10906   [,]cicc 10909    seq cseq 11313   abscabs 12029
This theorem is referenced by:  ovolicc2  19408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-ioo 10910  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-sum 12470
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