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Theorem ovolicc2lem5 19422
Description: Lemma for ovolicc2 19423. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ovolicc.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ovolicc.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ovolicc2.4  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ovolicc2.5  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ovolicc2.6  |-  ( ph  ->  U  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  F )  i^i  Fin ) )
ovolicc2.7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. U )
ovolicc2.8  |-  ( ph  ->  G : U --> NN )
ovolicc2.9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  U )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
ovolicc2.10  |-  T  =  { u  e.  U  |  ( u  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) }
Assertion
Ref Expression
ovolicc2lem5  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    u, t, A    t, B, u    t, F    t, G    ph, t    t, T    t, U, u
Allowed substitution hints:    ph( u)    S( u, t)    T( u)    F( u)    G( u)

Proof of Theorem ovolicc2lem5
Dummy variables  h  m  n  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolicc2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. U )
2 ovolicc.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32rexrd 9139 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
4 ovolicc.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
54rexrd 9139 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
6 ovolicc.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
7 lbicc2 11018 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
83, 5, 6, 7syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
91, 8sseldd 3351 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  U. U
)
10 eluni2 4021 . . 3  |-  ( A  e.  U. U  <->  E. z  e.  U  A  e.  z )
119, 10sylib 190 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  U  A  e.  z )
12 ovolicc2.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  F )  i^i  Fin ) )
13 elin 3532 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  F )  i^i  Fin )  <->  ( U  e.  ~P ran  ( (,) 
o.  F )  /\  U  e.  Fin )
)
1412, 13sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U  e.  ~P ran  ( (,)  o.  F
)  /\  U  e.  Fin ) )
1514simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
16 ovolicc2.10 . . . . . . 7  |-  T  =  { u  e.  U  |  ( u  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) }
17 ssrab2 3430 . . . . . . 7  |-  { u  e.  U  |  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) }  C_  U
1816, 17eqsstri 3380 . . . . . 6  |-  T  C_  U
19 ssfi 7332 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  T  C_  U )  ->  T  e.  Fin )
2015, 18, 19sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  Fin )
211adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( A [,] B )  C_  U. U )
22 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
23 ovolicc2.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : U --> NN )
24 ineq1 3537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  t  ->  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) )
2524neeq1d 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  t  ->  (
( u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/)  <->  ( t  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) ) )
2625, 16elrab2 3096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  T  <->  ( t  e.  U  /\  (
t  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) ) )
2726simplbi 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  T  ->  t  e.  U )
28 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : U --> NN  /\  t  e.  U )  ->  ( G `  t
)  e.  NN )
2923, 27, 28syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  NN )
30 ovolicc2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3130ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( G `  t )  e.  NN )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3229, 31syldan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3322, 32sseldi 3348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  e.  ( RR  X.  RR ) )
34 xp2nd 6380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  ( G `
 t ) )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  e.  RR )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR )
364adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  B  e.  RR )
37 ifcl 3777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR )
3835, 36, 37syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR )
3926simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  T  ->  (
t  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
4039adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
41 n0 3639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) )
4240, 41sylib 190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E. y 
y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) )
432adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
44 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) )
45 elin 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B
) )  <->  ( y  e.  t  /\  y  e.  ( A [,] B
) ) )
4644, 45sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  t  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )
4746simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
484adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
49 elicc2 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
5043, 48, 49syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  ( A [,] B )  <->  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <_  B ) ) )
5147, 50mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) )
5251simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  RR )
5333adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  e.  ( RR  X.  RR ) )
5453, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR )
5551simp2d 971 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  A  <_  y )
5646simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  t )
5729adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( G `  t )  e.  NN )
58 fvco3 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  ( G `  t )  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  ( (,) `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
5930, 58sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( G `  t )  e.  NN )  ->  ( ( (,) 
o.  F ) `  ( G `  t ) )  =  ( (,) `  ( F `  ( G `  t )
) ) )
6057, 59syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  ( (,) `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
61 ovolicc2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  U )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
6227, 61sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
6362adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
64 1st2nd2 6389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F `  ( G `
 t ) )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( F `
 ( G `  t ) )  = 
<. ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )
>. )
6553, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  = 
<. ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )
>. )
6665fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( (,) `  ( F `  ( G `  t ) ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )
>. ) )
67 df-ov 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1st `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )
>. )
6866, 67syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( (,) `  ( F `  ( G `  t ) ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
6960, 63, 683eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  t  =  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
7056, 69eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
71 xp1st 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  ( G `
 t ) )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) )  e.  RR )
7253, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR )
73 rexr 9135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1st `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  e.  RR  ->  ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR* )
74 rexr 9135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  e.  RR  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR* )
75 elioo2 10962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR*  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR* )  ->  ( y  e.  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) ) ) ) )
7673, 74, 75syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) ) ) ) )
7772, 54, 76syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  ( ( 1st `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) ) ) ) )
7870, 77mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
7978simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
8052, 54, 79ltled 9226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
8143, 52, 54, 55, 80letrd 9232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
8281expr 600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
8382exlimdv 1647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( E. y  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
8442, 83mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
856adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A  <_  B )
86 breq2 4219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  =  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  -> 
( A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <->  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B ) ) )
87 breq2 4219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  -> 
( A  <_  B  <->  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B ) ) )
8886, 87ifboth 3772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B ) )
8984, 85, 88syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B ) )
90 min2 10782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B )
9135, 36, 90syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B )
92 elicc2 10980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR  /\  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B ) ) )
932, 4, 92syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR  /\  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B ) ) )
9493adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR  /\  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B ) ) )
9538, 89, 91, 94mpbir3and 1138 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
) )
9621, 95sseldd 3351 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e. 
U. U )
97 eluni2 4021 . . . . . . . 8  |-  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e. 
U. U  <->  E. x  e.  U  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
9896, 97sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E. x  e.  U  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
99 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  ->  x  e.  U )
100 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
10195adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
) )
102 inelcm 3684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
103100, 101, 102syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  -> 
( x  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
104 ineq1 3537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  x  ->  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =  ( x  i^i  ( A [,] B ) ) )
105104neeq1d 2616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  x  ->  (
( u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/)  <->  ( x  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) ) )
106105, 16elrab2 3096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  T  <->  ( x  e.  U  /\  (
x  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) ) )
10799, 103, 106sylanbrc 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  ->  x  e.  T )
108107, 100jca 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  -> 
( x  e.  T  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )
109108ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )  ->  (
x  e.  T  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) ) )
110109reximdv2 2817 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( E. x  e.  U  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x  ->  E. x  e.  T  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )
11198, 110mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E. x  e.  T  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
112111ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  E. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
113 eleq2 2499 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( h `  t )  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x  <->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
114113ac6sfi 7354 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Fin  /\  A. t  e.  T  E. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )  ->  E. h
( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
11520, 112, 114syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. h ( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
116115adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  U  /\  A  e.  z ) )  ->  E. h ( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
117 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  ( G `  x )  =  ( G `  t ) )
118117fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  ( F `  ( G `  x ) )  =  ( F `  ( G `  t )
) )
119118fveq2d 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) )
120119breq1d 4225 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  t  ->  (
( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B  <->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B
) )
121 eqidd 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  t  ->  B  =  B )
122120, 119, 121ifbieq12d 3763 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  =  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B ) )
123 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  (
h `  x )  =  ( h `  t ) )
124122, 123eleq12d 2506 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
)  <->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
125124cbvralv 2934 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
)  <->  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )
1262adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A  e.  RR )
1274adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  B  e.  RR )
1286adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A  <_  B
)
129 ovolicc2.4 . . . . . . . . 9  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
13030adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
13112adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  U  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  F )  i^i 
Fin ) )
1321adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  U. U
)
13323adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  G : U --> NN )
13461adantlr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( z  e.  U  /\  A  e.  z
)  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  /\  t  e.  U
)  ->  ( ( (,)  o.  F ) `  ( G `  t ) )  =  t )
135 simprrl 742 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  h : T --> T )
136 simprrr 743 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) )
137124rspccva 3053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
)  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )
138136, 137sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( z  e.  U  /\  A  e.  z
)  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  /\  t  e.  T
)  ->  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )
139 simprlr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A  e.  z )
140 simprll 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  z  e.  U
)
1418adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
142 inelcm 3684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  z  /\  A  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( z  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
143139, 141, 142syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  ( z  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) )
144 ineq1 3537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =  ( z  i^i  ( A [,] B ) ) )
145144neeq1d 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) ) )
146145, 16elrab2 3096 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  T  <->  ( z  e.  U  /\  (
z  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) ) )
147140, 143, 146sylanbrc 647 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  z  e.  T
)
148 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  seq  1
( ( h  o. 
1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) )  =  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) )
149 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
z } ) ) `
 m )  =  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) ) `  n ) )
150149eleq2d 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
z } ) ) `
 m )  <->  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) ) `  n ) ) )
151150cbvrabv 2957 . . . . . . . . 9  |-  { m  e.  NN  |  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) ) `  m ) }  =  { n  e.  NN  |  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) ) `  n ) }
152 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  sup ( { m  e.  NN  |  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
z } ) ) `
 m ) } ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( { m  e.  NN  |  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
z } ) ) `
 m ) } ,  RR ,  `'  <  )
153126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 16, 135, 138, 139, 147, 148, 151, 152ovolicc2lem4 19421 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
154153anassrs 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  U  /\  A  e.  z )
)  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) )  -> 
( B  -  A
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
155154expr 600 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  U  /\  A  e.  z )
)  /\  h : T
--> T )  ->  ( A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
)  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
156125, 155syl5bir 211 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  U  /\  A  e.  z )
)  /\  h : T
--> T )  ->  ( A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
)  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
157156expimpd 588 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  U  /\  A  e.  z ) )  -> 
( ( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
) )
158157exlimdv 1647 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  U  /\  A  e.  z ) )  -> 
( E. h ( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
) )
159116, 158mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  U  /\  A  e.  z ) )  -> 
( B  -  A
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
16011, 159rexlimddv 2836 1  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ifcif 3741   ~Pcpw 3801   {csn 3816   <.cop 3819   U.cuni 4017   class class class wbr 4215    X. cxp 4879   `'ccnv 4880   ran crn 4882    o. ccom 4885   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1stc1st 6350   2ndc2nd 6351   Fincfn 7112   supcsup 7448   RRcr 8994   1c1 8996    + caddc 8998   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   NNcn 10005   (,)cioo 10921   [,]cicc 10924    seq cseq 11328   abscabs 12044
This theorem is referenced by:  ovolicc2  19423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485
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