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Theorem ovolicc2lem5 18880
Description: Lemma for ovolicc2 18881. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ovolicc.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ovolicc.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ovolicc2.4  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ovolicc2.5  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ovolicc2.6  |-  ( ph  ->  U  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  F )  i^i  Fin ) )
ovolicc2.7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. U )
ovolicc2.8  |-  ( ph  ->  G : U --> NN )
ovolicc2.9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  U )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
ovolicc2.10  |-  T  =  { u  e.  U  |  ( u  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) }
Assertion
Ref Expression
ovolicc2lem5  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    u, t, A    t, B, u    t, F    t, G    ph, t    t, T    t, U, u
Allowed substitution hints:    ph( u)    S( u, t)    T( u)    F( u)    G( u)

Proof of Theorem ovolicc2lem5
Dummy variables  h  m  n  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolicc2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. U )
2 ovolicc.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32rexrd 8881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
4 ovolicc.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
54rexrd 8881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
6 ovolicc.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
7 lbicc2 10752 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
83, 5, 6, 7syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
91, 8sseldd 3181 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  U. U
)
10 eluni2 3831 . . 3  |-  ( A  e.  U. U  <->  E. z  e.  U  A  e.  z )
119, 10sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  U  A  e.  z )
12 ovolicc2.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  F )  i^i  Fin ) )
13 elin 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  F )  i^i  Fin )  <->  ( U  e.  ~P ran  ( (,) 
o.  F )  /\  U  e.  Fin )
)
1412, 13sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U  e.  ~P ran  ( (,)  o.  F
)  /\  U  e.  Fin ) )
1514simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
16 ovolicc2.10 . . . . . . . . 9  |-  T  =  { u  e.  U  |  ( u  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) }
17 ssrab2 3258 . . . . . . . . 9  |-  { u  e.  U  |  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) }  C_  U
1816, 17eqsstri 3208 . . . . . . . 8  |-  T  C_  U
19 ssfi 7083 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  T  C_  U )  ->  T  e.  Fin )
2015, 18, 19sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  Fin )
211adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( A [,] B )  C_  U. U )
22 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
23 ovolicc2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G : U --> NN )
24 ineq1 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  t  ->  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) )
2524neeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  t  ->  (
( u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/)  <->  ( t  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) ) )
2625, 16elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  T  <->  ( t  e.  U  /\  (
t  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) ) )
2726simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  T  ->  t  e.  U )
28 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G : U --> NN  /\  t  e.  U )  ->  ( G `  t
)  e.  NN )
2923, 27, 28syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  NN )
30 ovolicc2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
31 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  ( G `  t )  e.  NN )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3230, 31sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( G `  t )  e.  NN )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3329, 32syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3422, 33sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  e.  ( RR  X.  RR ) )
35 xp2nd 6150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  ( G `
 t ) )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  e.  RR )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR )
374adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  B  e.  RR )
38 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR )
3936, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR )
4026simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  T  ->  (
t  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
4140adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
42 n0 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) )
4341, 42sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E. y 
y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) )
442adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
45 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) )
46 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B
) )  <->  ( y  e.  t  /\  y  e.  ( A [,] B
) ) )
4745, 46sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  t  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )
4847simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
494adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
50 elicc2 10715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
5144, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  ( A [,] B )  <->  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <_  B ) ) )
5248, 51mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) )
5352simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  RR )
5434adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  e.  ( RR  X.  RR ) )
5554, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR )
5652simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  A  <_  y )
5747simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  t )
5829adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( G `  t )  e.  NN )
59 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  ( G `  t )  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  ( (,) `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
6030, 59sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( G `  t )  e.  NN )  ->  ( ( (,) 
o.  F ) `  ( G `  t ) )  =  ( (,) `  ( F `  ( G `  t )
) ) )
6158, 60syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  ( (,) `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
62 ovolicc2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  t  e.  U )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
6327, 62sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
6463adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
65 1st2nd2 6159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F `  ( G `
 t ) )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( F `
 ( G `  t ) )  = 
<. ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )
>. )
6654, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  = 
<. ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )
>. )
6766fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( (,) `  ( F `  ( G `  t ) ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )
>. ) )
68 df-ov 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1st `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )
>. )
6967, 68syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( (,) `  ( F `  ( G `  t ) ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
7061, 64, 693eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  t  =  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
7157, 70eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
72 xp1st 6149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  ( G `
 t ) )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) )  e.  RR )
7354, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR )
74 rexr 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1st `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  e.  RR  ->  ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR* )
75 rexr 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  e.  RR  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR* )
76 elioo2 10697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR*  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR* )  ->  ( y  e.  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) ) ) ) )
7774, 75, 76syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) ) ) ) )
7873, 55, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  ( ( 1st `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) ) ) ) )
7971, 78mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
8079simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
8153, 55, 80ltled 8967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
8244, 53, 55, 56, 81letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
8382expr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
8483exlimdv 1664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( E. y  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
8543, 84mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
866adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A  <_  B )
87 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  =  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  -> 
( A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <->  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B ) ) )
88 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  =  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  -> 
( A  <_  B  <->  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B ) ) )
8987, 88ifboth 3596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B ) )
9085, 86, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B ) )
91 min2 10518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B )
9236, 37, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B )
93 elicc2 10715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR  /\  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B ) ) )
942, 4, 93syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR  /\  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B ) ) )
9594adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR  /\  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B ) ) )
9639, 90, 92, 95mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
) )
9721, 96sseldd 3181 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e. 
U. U )
98 eluni2 3831 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e. 
U. U  <->  E. x  e.  U  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
9997, 98sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E. x  e.  U  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
100 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  ->  x  e.  U )
101 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
10296adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
) )
103 inelcm 3509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
104101, 102, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  -> 
( x  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
105 ineq1 3363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  x  ->  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =  ( x  i^i  ( A [,] B ) ) )
106105neeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  x  ->  (
( u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/)  <->  ( x  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) ) )
107106, 16elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  T  <->  ( x  e.  U  /\  (
x  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) ) )
108100, 104, 107sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  ->  x  e.  T )
109108, 101jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  -> 
( x  e.  T  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )
110109ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )  ->  (
x  e.  T  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) ) )
111110reximdv2 2652 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( E. x  e.  U  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x  ->  E. x  e.  T  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )
11299, 111mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E. x  e.  T  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
113112ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  E. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
114 eleq2 2344 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( h `  t )  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x  <->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
115114ac6sfi 7101 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Fin  /\  A. t  e.  T  E. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )  ->  E. h
( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
11620, 113, 115syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. h ( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
117116adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  U  /\  A  e.  z ) )  ->  E. h ( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
118 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  ( G `  x )  =  ( G `  t ) )
119118fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  ( F `  ( G `  x ) )  =  ( F `  ( G `  t )
) )
120119fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) )
121120breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  (
( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B  <->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B
) )
122 eqidd 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  B  =  B )
123121, 120, 122ifbieq12d 3587 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  =  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B ) )
124 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  (
h `  x )  =  ( h `  t ) )
125123, 124eleq12d 2351 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  t  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
)  <->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
126125cbvralv 2764 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
)  <->  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )
1272adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A  e.  RR )
1284adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  B  e.  RR )
1296adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A  <_  B
)
130 ovolicc2.4 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
13130adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
13212adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  U  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  F )  i^i 
Fin ) )
1331adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  U. U
)
13423adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  G : U --> NN )
13562adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( z  e.  U  /\  A  e.  z
)  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  /\  t  e.  U
)  ->  ( ( (,)  o.  F ) `  ( G `  t ) )  =  t )
136 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  h : T --> T )
137 simprrr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) )
138125rspccva 2883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
)  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )
139137, 138sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( z  e.  U  /\  A  e.  z
)  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  /\  t  e.  T
)  ->  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )
140 simprlr 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A  e.  z )
141 simprll 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  z  e.  U
)
1428adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
143 inelcm 3509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  z  /\  A  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( z  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
144140, 142, 143syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  ( z  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) )
145 ineq1 3363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =  ( z  i^i  ( A [,] B ) ) )
146145neeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) ) )
147146, 16elrab2 2925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  T  <->  ( z  e.  U  /\  (
z  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) ) )
148141, 144, 147sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  z  e.  T
)
149 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  seq  1
( ( h  o. 
1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) )  =  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) )
150 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
z } ) ) `
 m )  =  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) ) `  n ) )
151150eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  ( B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
z } ) ) `
 m )  <->  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) ) `  n ) ) )
152151cbvrabv 2787 . . . . . . . . . . 11  |-  { m  e.  NN  |  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) ) `  m ) }  =  { n  e.  NN  |  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) ) `  n ) }
153 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  sup ( { m  e.  NN  |  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
z } ) ) `
 m ) } ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( { m  e.  NN  |  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
z } ) ) `
 m ) } ,  RR ,  `'  <  )
154127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 16, 136, 139, 140, 148, 149, 152, 153ovolicc2lem4 18879 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
155154anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  U  /\  A  e.  z )
)  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) )  -> 
( B  -  A
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
156155expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  U  /\  A  e.  z )
)  /\  h : T
--> T )  ->  ( A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
)  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
157126, 156syl5bir 209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  U  /\  A  e.  z )
)  /\  h : T
--> T )  ->  ( A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
)  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
158157expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  U  /\  A  e.  z ) )  -> 
( ( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
) )
159158exlimdv 1664 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  U  /\  A  e.  z ) )  -> 
( E. h ( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
) )
160117, 159mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  U  /\  A  e.  z ) )  -> 
( B  -  A
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
161160expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  ( A  e.  z  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
) )
162161rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  U  A  e.  z  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
16311, 162mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   ran crn 4690    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   Fincfn 6863   supcsup 7193   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659    seq cseq 11046   abscabs 11719
This theorem is referenced by:  ovolicc2  18881
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
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