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Theorem ovolicc2lem5 18896
Description: Lemma for ovolicc2 18897. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ovolicc.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ovolicc.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ovolicc2.4  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ovolicc2.5  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ovolicc2.6  |-  ( ph  ->  U  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  F )  i^i  Fin ) )
ovolicc2.7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. U )
ovolicc2.8  |-  ( ph  ->  G : U --> NN )
ovolicc2.9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  U )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
ovolicc2.10  |-  T  =  { u  e.  U  |  ( u  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) }
Assertion
Ref Expression
ovolicc2lem5  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    u, t, A    t, B, u    t, F    t, G    ph, t    t, T    t, U, u
Allowed substitution hints:    ph( u)    S( u, t)    T( u)    F( u)    G( u)

Proof of Theorem ovolicc2lem5
Dummy variables  h  m  n  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolicc2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. U )
2 ovolicc.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32rexrd 8897 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
4 ovolicc.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
54rexrd 8897 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
6 ovolicc.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
7 lbicc2 10768 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
83, 5, 6, 7syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
91, 8sseldd 3194 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  U. U
)
10 eluni2 3847 . . 3  |-  ( A  e.  U. U  <->  E. z  e.  U  A  e.  z )
119, 10sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  U  A  e.  z )
12 ovolicc2.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  F )  i^i  Fin ) )
13 elin 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  F )  i^i  Fin )  <->  ( U  e.  ~P ran  ( (,) 
o.  F )  /\  U  e.  Fin )
)
1412, 13sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U  e.  ~P ran  ( (,)  o.  F
)  /\  U  e.  Fin ) )
1514simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
16 ovolicc2.10 . . . . . . . . 9  |-  T  =  { u  e.  U  |  ( u  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) }
17 ssrab2 3271 . . . . . . . . 9  |-  { u  e.  U  |  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) }  C_  U
1816, 17eqsstri 3221 . . . . . . . 8  |-  T  C_  U
19 ssfi 7099 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  T  C_  U )  ->  T  e.  Fin )
2015, 18, 19sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  Fin )
211adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( A [,] B )  C_  U. U )
22 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
23 ovolicc2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G : U --> NN )
24 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  t  ->  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) )
2524neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  t  ->  (
( u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/)  <->  ( t  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) ) )
2625, 16elrab2 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  T  <->  ( t  e.  U  /\  (
t  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) ) )
2726simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  T  ->  t  e.  U )
28 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G : U --> NN  /\  t  e.  U )  ->  ( G `  t
)  e.  NN )
2923, 27, 28syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  NN )
30 ovolicc2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
31 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  ( G `  t )  e.  NN )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3230, 31sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( G `  t )  e.  NN )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3329, 32syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3422, 33sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  e.  ( RR  X.  RR ) )
35 xp2nd 6166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  ( G `
 t ) )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  e.  RR )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR )
374adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  B  e.  RR )
38 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR )
3936, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR )
4026simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  T  ->  (
t  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
4140adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
42 n0 3477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) )
4341, 42sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E. y 
y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) )
442adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
45 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) )
46 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B
) )  <->  ( y  e.  t  /\  y  e.  ( A [,] B
) ) )
4745, 46sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  t  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )
4847simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
494adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
50 elicc2 10731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
5144, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  ( A [,] B )  <->  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <_  B ) ) )
5248, 51mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) )
5352simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  RR )
5434adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  e.  ( RR  X.  RR ) )
5554, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR )
5652simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  A  <_  y )
5747simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  t )
5829adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( G `  t )  e.  NN )
59 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  ( G `  t )  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  ( (,) `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
6030, 59sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( G `  t )  e.  NN )  ->  ( ( (,) 
o.  F ) `  ( G `  t ) )  =  ( (,) `  ( F `  ( G `  t )
) ) )
6158, 60syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  ( (,) `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
62 ovolicc2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  t  e.  U )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
6327, 62sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
6463adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  ( G `  t ) )  =  t )
65 1st2nd2 6175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F `  ( G `
 t ) )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( F `
 ( G `  t ) )  = 
<. ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )
>. )
6654, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( F `  ( G `  t ) )  = 
<. ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )
>. )
6766fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( (,) `  ( F `  ( G `  t ) ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )
>. ) )
68 df-ov 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1st `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )
>. )
6967, 68syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( (,) `  ( F `  ( G `  t ) ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
7061, 64, 693eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  t  =  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
7157, 70eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  e.  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
72 xp1st 6165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  ( G `
 t ) )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) )  e.  RR )
7354, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR )
74 rexr 8893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1st `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  e.  RR  ->  ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR* )
75 rexr 8893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  e.  RR  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR* )
76 elioo2 10713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR*  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR* )  ->  ( y  e.  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) ) ) ) )
7774, 75, 76syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( ( 1st `  ( F `  ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) ) ) ) )
7873, 55, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  ( ( 1st `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  ( G `  t )
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) ) ) ) )
7971, 78mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  (
y  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
8079simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  <  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
8153, 55, 80ltled 8983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  y  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
8244, 53, 55, 56, 81letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) ) ) )  ->  A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
8382expr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
8483exlimdv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( E. y  y  e.  ( t  i^i  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ) )
8543, 84mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) )
866adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A  <_  B )
87 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  =  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  -> 
( A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <->  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B ) ) )
88 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  =  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  -> 
( A  <_  B  <->  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B ) ) )
8987, 88ifboth 3609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  <_  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B ) )
9085, 86, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B ) )
91 min2 10534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B )
9236, 37, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B )
93 elicc2 10731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR  /\  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B ) ) )
942, 4, 93syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR  /\  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B ) ) )
9594adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  RR  /\  A  <_  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  <_  B ) ) )
9639, 90, 92, 95mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
) )
9721, 96sseldd 3194 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e. 
U. U )
98 eluni2 3847 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e. 
U. U  <->  E. x  e.  U  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
9997, 98sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E. x  e.  U  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
100 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  ->  x  e.  U )
101 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
10296adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
) )
103 inelcm 3522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
104101, 102, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  -> 
( x  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
105 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  x  ->  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =  ( x  i^i  ( A [,] B ) ) )
106105neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  x  ->  (
( u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/)  <->  ( x  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) ) )
107106, 16elrab2 2938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  T  <->  ( x  e.  U  /\  (
x  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) ) )
108100, 104, 107sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  ->  x  e.  T )
109108, 101jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )  -> 
( x  e.  T  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )
110109ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( x  e.  U  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )  ->  (
x  e.  T  /\  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) ) )
111110reximdv2 2665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( E. x  e.  U  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x  ->  E. x  e.  T  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x ) )
11299, 111mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E. x  e.  T  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
113112ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  E. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )
114 eleq2 2357 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( h `  t )  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x  <->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
115114ac6sfi 7117 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Fin  /\  A. t  e.  T  E. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  x )  ->  E. h
( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
11620, 113, 115syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. h ( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
117116adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  U  /\  A  e.  z ) )  ->  E. h ( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
118 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  ( G `  x )  =  ( G `  t ) )
119118fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  ( F `  ( G `  x ) )  =  ( F `  ( G `  t )
) )
120119fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  =  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) )
121120breq1d 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  (
( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B  <->  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B
) )
122 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  B  =  B )
123121, 120, 122ifbieq12d 3600 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  =  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B ) )
124 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  (
h `  x )  =  ( h `  t ) )
125123, 124eleq12d 2364 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  t  ->  ( if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
)  <->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t )
) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) ) )
126125cbvralv 2777 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
)  <->  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )
1272adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A  e.  RR )
1284adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  B  e.  RR )
1296adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A  <_  B
)
130 ovolicc2.4 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
13130adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
13212adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  U  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  F )  i^i 
Fin ) )
1331adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  U. U
)
13423adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  G : U --> NN )
13562adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( z  e.  U  /\  A  e.  z
)  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  /\  t  e.  U
)  ->  ( ( (,)  o.  F ) `  ( G `  t ) )  =  t )
136 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  h : T --> T )
137 simprrr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) )
138125rspccva 2896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
)  /\  t  e.  T )  ->  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )
139137, 138sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( z  e.  U  /\  A  e.  z
)  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  /\  t  e.  T
)  ->  if (
( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )
140 simprlr 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A  e.  z )
141 simprll 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  z  e.  U
)
1428adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
143 inelcm 3522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  z  /\  A  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( z  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
144140, 142, 143syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  ( z  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) )
145 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =  ( z  i^i  ( A [,] B ) ) )
146145neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  ( A [,] B
) )  =/=  (/) ) )
147146, 16elrab2 2938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  T  <->  ( z  e.  U  /\  (
z  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) ) )
148141, 144, 147sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  z  e.  T
)
149 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  seq  1
( ( h  o. 
1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) )  =  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) )
150 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
z } ) ) `
 m )  =  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) ) `  n ) )
151150eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  ( B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
z } ) ) `
 m )  <->  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) ) `  n ) ) )
152151cbvrabv 2800 . . . . . . . . . . 11  |-  { m  e.  NN  |  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) ) `  m ) }  =  { n  e.  NN  |  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { z } ) ) `  n ) }
153 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  sup ( { m  e.  NN  |  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
z } ) ) `
 m ) } ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( { m  e.  NN  |  B  e.  (  seq  1 ( ( h  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
z } ) ) `
 m ) } ,  RR ,  `'  <  )
154127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 16, 136, 139, 140, 148, 149, 152, 153ovolicc2lem4 18895 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
z  e.  U  /\  A  e.  z )  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) ) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
155154anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  U  /\  A  e.  z )
)  /\  ( h : T --> T  /\  A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
) ) )  -> 
( B  -  A
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
156155expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  U  /\  A  e.  z )
)  /\  h : T
--> T )  ->  ( A. x  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  x ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  x ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  x
)  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
157126, 156syl5bir 209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  U  /\  A  e.  z )
)  /\  h : T
--> T )  ->  ( A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
)  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
158157expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  U  /\  A  e.  z ) )  -> 
( ( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
) )
159158exlimdv 1626 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  U  /\  A  e.  z ) )  -> 
( E. h ( h : T --> T  /\  A. t  e.  T  if ( ( 2nd `  ( F `  ( G `  t ) ) )  <_  B ,  ( 2nd `  ( F `
 ( G `  t ) ) ) ,  B )  e.  ( h `  t
) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
) )
160117, 159mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  U  /\  A  e.  z ) )  -> 
( B  -  A
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
161160expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  ( A  e.  z  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
) )
162161rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  U  A  e.  z  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) ) )
16311, 162mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   ~Pcpw 3638   {csn 3653   <.cop 3656   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   ran crn 4706    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   Fincfn 6879   supcsup 7209   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   (,)cioo 10672   [,]cicc 10675    seq cseq 11062   abscabs 11735
This theorem is referenced by:  ovolicc2  18897
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175
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