MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolioo Unicode version

Theorem ovolioo 18925
Description: The measure of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolioo  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A ) )

Proof of Theorem ovolioo
StepHypRef Expression
1 ioombl 18922 . . 3  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
2 mblvol 18889 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( vol * `  ( A (,) B
) ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ( vol `  ( A (,) B
) )  =  ( vol * `  ( A (,) B ) )
4 iccmbl 18923 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  dom  vol )
5 mblvol 18889 . . . . 5  |-  ( ( A [,] B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol * `  ( A [,] B
) ) )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol * `  ( A [,] B
) ) )
763adant3 975 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol * `  ( A [,] B ) ) )
81a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A (,) B )  e. 
dom  vol )
9 prssi 3771 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  { A ,  B }  C_  RR )
1093adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  { A ,  B }  C_  RR )
11 prfi 7131 . . . . . . 7  |-  { A ,  B }  e.  Fin
12 ovolfi 18853 . . . . . . 7  |-  ( ( { A ,  B }  e.  Fin  /\  { A ,  B }  C_  RR )  ->  ( vol * `  { A ,  B } )  =  0 )
1311, 10, 12sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  { A ,  B } )  =  0 )
14 nulmbl 18893 . . . . . 6  |-  ( ( { A ,  B }  C_  RR  /\  ( vol * `  { A ,  B } )  =  0 )  ->  { A ,  B }  e.  dom  vol )
1510, 13, 14syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  { A ,  B }  e.  dom  vol )
16 df-pr 3647 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
1716ineq2i 3367 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  i^i  { A ,  B } )  =  ( ( A (,) B
)  i^i  ( { A }  u.  { B } ) )
18 indi 3415 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  i^i  ( { A }  u.  { B } ) )  =  ( ( ( A (,) B )  i^i 
{ A } )  u.  ( ( A (,) B )  i^i 
{ B } ) )
1917, 18eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B )  i^i  { A ,  B } )  =  ( ( ( A (,) B )  i^i  { A } )  u.  (
( A (,) B
)  i^i  { B } ) )
20 simp1 955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
2120ltnrd 8953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  A  <  A )
22 eliooord 10710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  A  /\  A  <  B ) )
2322simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( A (,) B )  ->  A  <  A )
2421, 23nsyl 113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  A  e.  ( A (,) B ) )
25 disjsn 3693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A (,) B
)  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  ( A (,) B ) )
2624, 25sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  { A } )  =  (/) )
27 simp2 956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
2827ltnrd 8953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  B  <  B )
29 eliooord 10710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  B  /\  B  <  B ) )
3029simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( A (,) B )  ->  B  <  B )
3128, 30nsyl 113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  B  e.  ( A (,) B ) )
32 disjsn 3693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A (,) B
)  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  ( A (,) B ) )
3331, 32sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  { B } )  =  (/) )
3426, 33uneq12d 3330 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( ( A (,) B )  i^i  { A } )  u.  (
( A (,) B
)  i^i  { B } ) )  =  ( (/)  u.  (/) ) )
35 un0 3479 . . . . . . 7  |-  ( (/)  u.  (/) )  =  (/)
3634, 35syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( ( A (,) B )  i^i  { A } )  u.  (
( A (,) B
)  i^i  { B } ) )  =  (/) )
3719, 36syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  { A ,  B } )  =  (/) )
38 ioossicc 10735 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
3938a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )
40 iccssre 10731 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
41403adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
42 ovolicc 18882 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A ) )
4327, 20resubcld 9211 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
4442, 43eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A [,] B ) )  e.  RR )
45 ovolsscl 18845 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B )  /\  ( A [,] B )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( A [,] B
) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )
4639, 41, 44, 45syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
473, 46syl5eqel 2367 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
48 mblvol 18889 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  B }  e.  dom  vol  ->  ( vol `  { A ,  B } )  =  ( vol * `  { A ,  B }
) )
4915, 48syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  { A ,  B } )  =  ( vol * `  { A ,  B }
) )
5049, 13eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  { A ,  B } )  =  0 )
51 0re 8838 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
5250, 51syl6eqel 2371 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  { A ,  B } )  e.  RR )
53 volun 18902 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A (,) B )  e.  dom  vol 
/\  { A ,  B }  e.  dom  vol 
/\  ( ( A (,) B )  i^i 
{ A ,  B } )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  ( A (,) B
) )  e.  RR  /\  ( vol `  { A ,  B }
)  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
) )  =  ( ( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) ) )
548, 15, 37, 47, 52, 53syl32anc 1190 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } ) )  =  ( ( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) ) )
55 rexr 8877 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
56 rexr 8877 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
57 id 19 . . . . . 6  |-  ( A  <_  B  ->  A  <_  B )
58 prunioo 10764 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
5955, 56, 57, 58syl3an 1224 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
6059fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } ) )  =  ( vol `  ( A [,] B ) ) )
6150oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) )  =  ( ( vol `  ( A (,) B ) )  +  0 ) )
6247recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  CC )
6362addid1d 9012 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( vol `  ( A (,) B ) )  +  0 )  =  ( vol `  ( A (,) B ) ) )
6461, 63eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) )  =  ( vol `  ( A (,) B ) ) )
6554, 60, 643eqtr3d 2323 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol `  ( A (,) B ) ) )
667, 65, 423eqtr3d 2323 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A
) )
673, 66syl5eqr 2329 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   {cpr 3641   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   vol *covol 18822   volcvol 18823
This theorem is referenced by:  ovolfs2  18926  ioorcl2  18927  uniioovol  18934  uniioombllem2  18938  uniioombllem3a  18939  uniioombllem4  18941  uniioombllem6  18943  ftc1lem4  19386  ioovolcl  27742  volioo  27743
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825
  Copyright terms: Public domain W3C validator