MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolioo Unicode version

Theorem ovolioo 19331
Description: The measure of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolioo  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A ) )

Proof of Theorem ovolioo
StepHypRef Expression
1 ioombl 19328 . . 3  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
2 mblvol 19295 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( vol * `  ( A (,) B
) ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ( vol `  ( A (,) B
) )  =  ( vol * `  ( A (,) B ) )
4 iccmbl 19329 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  dom  vol )
5 mblvol 19295 . . . . 5  |-  ( ( A [,] B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol * `  ( A [,] B
) ) )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol * `  ( A [,] B
) ) )
763adant3 977 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol * `  ( A [,] B ) ) )
81a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A (,) B )  e. 
dom  vol )
9 prssi 3899 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  { A ,  B }  C_  RR )
1093adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  { A ,  B }  C_  RR )
11 prfi 7319 . . . . . . 7  |-  { A ,  B }  e.  Fin
12 ovolfi 19259 . . . . . . 7  |-  ( ( { A ,  B }  e.  Fin  /\  { A ,  B }  C_  RR )  ->  ( vol * `  { A ,  B } )  =  0 )
1311, 10, 12sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  { A ,  B } )  =  0 )
14 nulmbl 19299 . . . . . 6  |-  ( ( { A ,  B }  C_  RR  /\  ( vol * `  { A ,  B } )  =  0 )  ->  { A ,  B }  e.  dom  vol )
1510, 13, 14syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  { A ,  B }  e.  dom  vol )
16 df-pr 3766 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
1716ineq2i 3484 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  i^i  { A ,  B } )  =  ( ( A (,) B
)  i^i  ( { A }  u.  { B } ) )
18 indi 3532 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  i^i  ( { A }  u.  { B } ) )  =  ( ( ( A (,) B )  i^i 
{ A } )  u.  ( ( A (,) B )  i^i 
{ B } ) )
1917, 18eqtri 2409 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B )  i^i  { A ,  B } )  =  ( ( ( A (,) B )  i^i  { A } )  u.  (
( A (,) B
)  i^i  { B } ) )
20 simp1 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
2120ltnrd 9141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  A  <  A )
22 eliooord 10904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  A  /\  A  <  B ) )
2322simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( A (,) B )  ->  A  <  A )
2421, 23nsyl 115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  A  e.  ( A (,) B ) )
25 disjsn 3813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A (,) B
)  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  ( A (,) B ) )
2624, 25sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  { A } )  =  (/) )
27 simp2 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
2827ltnrd 9141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  B  <  B )
29 eliooord 10904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  B  /\  B  <  B ) )
3029simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( A (,) B )  ->  B  <  B )
3128, 30nsyl 115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  B  e.  ( A (,) B ) )
32 disjsn 3813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A (,) B
)  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  ( A (,) B ) )
3331, 32sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  { B } )  =  (/) )
3426, 33uneq12d 3447 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( ( A (,) B )  i^i  { A } )  u.  (
( A (,) B
)  i^i  { B } ) )  =  ( (/)  u.  (/) ) )
35 un0 3597 . . . . . . 7  |-  ( (/)  u.  (/) )  =  (/)
3634, 35syl6eq 2437 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( ( A (,) B )  i^i  { A } )  u.  (
( A (,) B
)  i^i  { B } ) )  =  (/) )
3719, 36syl5eq 2433 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  { A ,  B } )  =  (/) )
38 ioossicc 10930 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
3938a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )
40 iccssre 10926 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
41403adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
42 ovolicc 19288 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A ) )
4327, 20resubcld 9399 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
4442, 43eqeltrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A [,] B ) )  e.  RR )
45 ovolsscl 19251 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B )  /\  ( A [,] B )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( A [,] B
) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )
4639, 41, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
473, 46syl5eqel 2473 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
48 mblvol 19295 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  B }  e.  dom  vol  ->  ( vol `  { A ,  B } )  =  ( vol * `  { A ,  B }
) )
4915, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  { A ,  B } )  =  ( vol * `  { A ,  B }
) )
5049, 13eqtrd 2421 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  { A ,  B } )  =  0 )
51 0re 9026 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
5250, 51syl6eqel 2477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  { A ,  B } )  e.  RR )
53 volun 19308 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A (,) B )  e.  dom  vol 
/\  { A ,  B }  e.  dom  vol 
/\  ( ( A (,) B )  i^i 
{ A ,  B } )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  ( A (,) B
) )  e.  RR  /\  ( vol `  { A ,  B }
)  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
) )  =  ( ( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) ) )
548, 15, 37, 47, 52, 53syl32anc 1192 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } ) )  =  ( ( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) ) )
55 rexr 9065 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
56 rexr 9065 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
57 id 20 . . . . . 6  |-  ( A  <_  B  ->  A  <_  B )
58 prunioo 10959 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
5955, 56, 57, 58syl3an 1226 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
6059fveq2d 5674 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } ) )  =  ( vol `  ( A [,] B ) ) )
6150oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) )  =  ( ( vol `  ( A (,) B ) )  +  0 ) )
6247recnd 9049 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  CC )
6362addid1d 9200 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( vol `  ( A (,) B ) )  +  0 )  =  ( vol `  ( A (,) B ) ) )
6461, 63eqtrd 2421 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) )  =  ( vol `  ( A (,) B ) ) )
6554, 60, 643eqtr3d 2429 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol `  ( A (,) B ) ) )
667, 65, 423eqtr3d 2429 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A
) )
673, 66syl5eqr 2435 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    u. cun 3263    i^i cin 3264    C_ wss 3265   (/)c0 3573   {csn 3759   {cpr 3760   class class class wbr 4155   dom cdm 4820   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Fincfn 7047   RRcr 8924   0cc0 8925    + caddc 8928   RR*cxr 9054    < clt 9055    <_ cle 9056    - cmin 9225   (,)cioo 10850   [,]cicc 10853   vol *covol 19228   volcvol 19229
This theorem is referenced by:  ovolfs2  19332  ioorcl2  19333  uniioovol  19340  uniioombllem2  19344  uniioombllem3a  19345  uniioombllem4  19347  uniioombllem6  19349  ftc1lem4  19792  itg2gt0cn  25962  ftc1cnnclem  25980  ioovolcl  27412  volioo  27413
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-rest 13579  df-topgen 13596  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-cmp 17374  df-ovol 19230  df-vol 19231
  Copyright terms: Public domain W3C validator